Екі түзу арасындағы бұрыш. Параллельдік және перпендикулярлық шарттары. Нүктеден түзуге дейінгі қашықтығы.

d₁ және d₂ түзулері өздерінің сәйкес жалпы теңдеулері арқылы берілсін дейік:

А₁х+В₁у+С=0, А₂х+В₂у+С=0

Бұрыштық коэффициенттері к₁= , к₂=

Егер d₁ ÷÷ d₂, онда к₁ = к₂.

Егер d₁ d₂, онда к₁ = .

Екі түзу арасындағы бұрыш tg .

M(x₀,y₀) нүктеден түзуге дейінгі қашықтығы d=

Қайталау сұратары:

Жазықтықтағы түзүдің теңдеулері.

Екі түзу арасындағы бұрыш.

Параллельдік және перпендикулярлық шарттары.

Нүктеден түзуге дейінгі қашықтығы.

 

Әдебиеті: [1], [3], [4].

 

Дәріс 16-17.

Тақырып: Екінші ретті сызықтар және олардың канондық теңдеулері. Эллипс. Гипербола. Парабола.

Мақсаты:Екінші ретті сызықтар, олардың конондық теңдеулерін қарастыру.

Қарастыратын сұрақтар:

1 Жазықтықтағы екінші ретті сызықтар.

2 Шеңбер.

3 Эллипс, оның қасиеттері.

4 Гипербола, оның қасиеттері.

5 Парабола, оның қасиеттері

 

 

Екінші ретті сызық төмендегі теңдеу арқылы беріледі:

Ах² + 2Вху + Су² + 2Dx + 2Ey + F = 0.

 

Бұл теңдеу төменде келтірілген теңдеулердің біріне келтірілетіндей координаталар жүйесі (тік бұрышты болуы міндетті емес) болуы мүмкін.

 

1) - эллипстің теңдеуі.

2) - “жорамал” эллипстің теңдеуі.

3) - гиперболаның теңдеуі.

4) a²x² – c²y² = 0 – екі қиылысушы түзудің теңдеуі.

5) y² = 2px –параболаның теңдеуі.

6) y² – a² = 0 –екі параллель түзудің теңдеуі.

7) y² + a² = 0 –“жорамал” екі параллель түзулердің теңдеуі.

8) y² = 0 – беттесуші түзулер.

9) (x – a)² + (y – b)² = R² –шеңбердің теңдеуі.

 

Шеңбер.

(x – a)² + (y – b)² = R² (1) шеңбердің центрінің координаталары (a; b) болады.

Мысал. 2x² + 2y² – 8x + 5y – 4 = 0 теңдеуі арқылы берілген шеңбердің центрінің координаталары мен радиусын тап..

Шешу. Шеңбердің центрі мен радиусын табу үшін теңдеуді (1) теңдеу түріне келтіріп аламыз. Ол үшін теңдеудің сол жағындағы көпмүшенің толық квадратын бөлеміз.

x² + y² – 4x + 2,5y – 2 = 0

x² – 4x + 4 –4 + y² + 2,5y + 25/16 – 25/16 – 2 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² – 25/16 – 6 = 0

(x – 2)² + (y + 5/4)² = 121/16

 

Бұл теңдеуден мынаны табамыз: О(2; -5/4); R = 11/4.

 

 

Эллипс және оның қасиеттері

Анықтама. Эллипс деп фокустары деп аталатын нүктелерден қашықтықтарының қосындысы сол фокустары арақашықтығынан (F₁F₂ = 2c) артық болатын тұрақты 2 а санына тең болатын жазықтықтағы нүктелердің геометриялық орнын айтады, оны былайша белгілейді:

F₁М + F₂М = 2 а (2).

 

у

М

r₁

r₂

F₁ O F₂

 

F₁, F₂ – эллипстің фокустары. F₁ = (-c; 0); F₂(c; 0), F₁F₂ = 2c.

с – фокустары ар қашықтығының жартысы; 2 а - тұрақты шама. F₁М және F₂М қашықтықтарын r₁ = F₁М, r₂= F₂М деп белгілесек, онда (2) теңдік мына түрде жазылады:

r₁ + r₂ = 2 а (2¹)

Екі нүктені ара қашықтығының формуласы бойынша:

.

Бұл теңдеуді түрлендіріп, эллипстің жабайы (канондық) теңдеуін табайық:

х ²+2сх+с²+ у² = 4а² – 4а

а теңдіктің екі жағын а - ға бөліп, квадраттайық:

х² -2сх +с²+у² = (а -

х² -2сх +с²+у² =

а²х²+а²у²+а²с²= а⁴ + с²х²,

(а²- с²) х²+а²у²+ = а² (а² - с²),

а> с болғандықтан, а² - с²> 0 болады, сондықтан а² - с²= в² (3) деп белгілейміз.

 

Сонда в² х²+а²у²+ = а² в² шығады, осыдан (4), мұндағы х пен у -

эллипстің бойындағы кез келген нүктелердің координаталары, а – эллипстің үлкен жарты өсі, в – оның кіші жарты өсі. (4) теңдеу эллипстің жабайы (канондық) теңдеуі деп аталады.

Теорема. Эллипстің фокустық ара қашықтығы мен жарты өстері мынадай қатынас бойынша байланысады:

a² = b² + c².

Дэлелдеу: Егер М нүкте эллипстің вертикаль осьпен қиылысу нүктесінде болса, онда r₁ + r₂ = 2 (Пифагор теоремасы бойынша). Егер М нүкте эллипстің горизонталь осьпен қиылысу нүктесінде болса, онда r₁ + r₂ = a – c + a + c. Эллипстің анықтамасы бойынша r₁ + r₂ – қосынды тұрақты шама, ендеше жоғарыдағы екі теңдікті теңестіріп, мынадай теңдік аламыз:

a² = b² + c² .

Анықтама. = с/a қатынас эллипстің эксцентриситеті деп аталады. с < a

болғандықтан, < 1 болады.