Е) Евклид кеңістіктерінің изоморфтылығы.

Анықтама. Егер екі евклид R мен R' кеңістіктерінің элементтері (векторлары) арасында бір мәнді сәйкестік анықталып: төмендегі шарттар орындалса, онда олар изоморфты болады. Бұл жағдайда:

1) егер R кеңістігінің х, у элементтеріне R' кеңістігінің элементтері сәйкес келсе: онда элементіне элементі сәйкес келеді,

2) егер онда мұндағы — кез келген нақты сан,

3) егер онда Сонымен, олар сызықты кеңістіктер ретінде изоморфты болса және олардың екі сәйкес элементтерінің (векторларының) скаляр көбейтінділері өзара тең болса, онда екі Евклид R мен R' кеңістіктері изоморфты болады.

Теорема. Бірдей өлшемді барлық евклид кеңістіктері өзара изоморфты.

Дәлелдеуі. Теормеманы дәлелдеу үшін барлық п -өлшемді евклид кеңістіктері арнаулы алынған бір n -өлшемді евклид кеңістігіне изоморфты болатынын дәлелдесек жеткілікті. Бұл арнаулы n -өлшемді евклид R' кеңістігі ретінде 4.1-тақырыптағы 2-мысалды қарастырайық, яғни онда х' вектор кез келген п нақты сандарының жиыны: ал векторларының скаляр көбейтіндісі (4.2) формуламен өрнектеледі, яғни

п -өлшемді евклид R кеңістігін қарастыралық, ал векторлар жүйесі оның ортонормалды базисі болсын деп ұйғаралық. векторға нақты сандар жиынын, яғни векторын сәйкестендірейік. Бұл келтірілген сәйкестік бір мәнді. Енді оның изоморфты екенін дәлелдейік. Ол үшін анықтамадағы үш шартты тексерсек жеткілікті. Бірінші мен екінші шарттар орындалады. Үшінші шартты тексерелік. мен векторларының скаляр көбейтіндісі 4.10-теорема бойынша мына формуламен өрнектеледі:

ал пен векторлардың скаляр көбейтіндісі 4.1-тақырыпташ 2-мысал бойынша (4.2) формуламен өрнектеледі:

Сонымен, Теорема дәлелденді.

 

Әдебиеті: [1], [3], [4].

Дәріс 14-15.

Тақырып: Жазықтықтағы түзу.

Мақсат ы: Студенттерге аналитикалық геометрия ұғымдарымен, соның ішінде жазықтықтағы сызық теңдеулерін беру, оларға қолданылатын амалдарды үйрету. Жазықтықтағы түзу үғымы, оның берілу тәсілдерін қарастыру.

Қарастыратын сұрақтар:

1 Түзудің жалпы теңдеуі.

2 Екі түзудің арасындағы бұрыш.

3 Түзудің бұрыштық коэффицент арқылы берілу жолы.

4 Түзудің бұрыштық коэффициентпен берілген теңдеуі.

5 Түзудің кесінділік теңдеуі.

6 Түзудің нормальдық теңдеуі.

7 Түзудің жалпы теңдеуі.

8 Түзудің жалпы теңдеуін нормалдық түрге келтіру.

 

Бір (а) түзуі ордината осінің бойынан в кесіндісін қиып өтсін, абцисса осінің оң бағытымен а бұрыш жасасын. Осы түзудің теңдеуін табайық. Түзу сызықты координаталар системасында берілген шартына сәйкес жүргізіп, оның бойынан еркімізше бір М нүктесін алайық.

Осы М нүктесінен обцисса осіне МД перпендикулярын жүргізіп, осы оске парраллель ЕГ сызығын жүргіземіз.

ЕМГ тік бұрышты ұшбұрышынан:

бұрышы белгілі болса, да табылады, оны былайша белгілейік: Бұл тангенсті немесе к-ны түзудің бұрыштық коэффициенті деп атайды.

Жоғарыдағы теңдік енді былай жазылады:

Бұдан ізделінді теңдеуді табамыз:

(1)

мұндағы х пен у айнымалы шамалар, в мен к тұрақты шамалар. (1) теңдеуді түзудің бойында барлық нүктелердің координаталары қанағаттандырады. Бұл (1) теңдеу түзудің бұрыштық коэффициентімен берілген теңдеуі деп аталады. Егер түзу координаталар бас нүктесінен өтсе, Онда теңдеу мына түрде болады:

Түзудің кесінділік теңдеуі.

Түзу бас нүктеден өтпей, координаталар остерін қиып өтсін.Сонда ОВ=а6 ОД=в В(а;0)6 Д(0;в) болады.Осы түзудің теңдеуін табайық. Есептің шартына сәйкес берілген кесінділерді белгілеп, түзуді жүргізеік. Түзудің бойынан еркімізше бір М(х;у) нүктесін алып, сол нүктеден обцисса осіне МЕ перпендикулярын түсірейік. ОВ=а, ВЕ=а-х, ОД=х, ЕМ=у ОДВ және ЕМВ үшбұрышының ұқсастығынан: Осыдан іздеген түзудің теңдеуің табайық:

(2)

мұнда а мен в берілген кесінділер, х пен у бойындағы кез келген нүктенің координаталары. Осы теңдеуді (2) түзудің кесінділік теңдеуі деп атайды.

Мысал: Обцисса осінен 3-ке тең және ордината осінен 4-ке тең кесі,нділерді қиятын түзудің теңдеуін табу керек.

Шешуі: Берілген кесінділер: а=3; в=4. Сонда (2) формула бойынша түзудің теңдеуі мынандай болады: .