В) Ортонормалданған векторлар жүйесі және оның қасиеттері.

Анықтама. Егер евклид R кеңістігіндегі

(4.6)

векторлар жүйесіне

теңдіктері орындалса, онда (4.6) векторларды ортонормалданған векторлар дейміз, егер (4.7) теңдіктердің тек бірінші теңдіктері ғана орындалса, онда оны ортогоналды векторлар деп атаймыз.

Теорема. Нөлдік вектор кез келген векторға ортогонал: (х, 0) = 0, .

Дәлелдеуі. Кез келген у векторға (х, у) = 0 теңдеуі орындалсын делік. Дәлелдеу керек х=0. у = х болғанда (х, х)=0. Бұдан х = 0. Теорема дәлелденді.

Теорема (Пифагор). Егер х, у векторлары ортогонал болса: (х, у) = 0, онда

Дәлелдеуі. Егер (х, у)=0 болса, онда (4.5) формуладан соs = 0, яғни Ендеше х, у векторлары бір-біріне перпендикуляр: х у. Олай болса, тік бұрышты үшбұрыштың катеттері, оның гипотенузасы ретінде қарастырылады. Норманың анықтамасы бойынша:

 

Теорема дәлелденді.

Теорема. Ортонормалданған векторлар жүйесі сызықты тәуелсіз.

Дәлелдеуі. Берілген векторлардың сызықты тәуелсіз екенін дәлелдеу үшін

(4.8)

теңдеуді қарастырып, оның тек болғанда ғана орындалатынын дәлелдесек жеткілікті. Ол үшін (4.8) теңдеудің екі жағында l векторына скаляр көбейтелік, яғни:

Осыдан

i -дің біртіндеп 1,2,..., n мәндерін қабылдағанын және ортонормалданған векторлар екенін ескерсек, онда . Теорема дәлелденді.

Теорема. Егер евклид R кеңістігіндегі сызықты тәуелсіз векторлар жүйесі болса, онда оған сызықты тәуелді ортогоналды векторлар жүйесі мына төмендегі

(4.9)

формулалармен өрнектеледі, мұндағы

(4.10)

Дәлелдеуі. Теореманы индукция әдісімен дәлелдейміз. Іздеп отырған векторын берілген векторға тең деп аламыз: ал векторды

(4.11)

теңдеуінен анықтаймыз, мұндағы белгісіз тұрақты коэффициент. Егер болса, онда векторлары сызықты тәуелді, ал бұл теореманың шартына қарама қайшы, себебі сызықты тәуелсіз. Сондықтан, . Белгісіз коэффициентті табу үшін (4.11) тендікті векторына скаляр көбейтеміз:

Іздеп отырған вектор белгілі векторына ортогонал болу керек:

= 0. Онда

Сонымен, (4.9), (4.10) формулалардың i = 2,j=1 тең жағдайлары дәлелденді.

ортогонал векторларын (4.9)-дан, оның коэффициенттерін (4.10) формуламен өрнектелетіндей етіп векторын ізделік. Ол е_к векторды

(4.12)

теңдігінсн анықтаймыз, мұндағы белгісіз тұрақты коэффициенттер. Егер , онда векторлары сызықты тәуелді, ал ол теореманың шартына қарама қайшы. Ендеше, . Белгісіз _, тұрақты коэффициенттерді табу үшін, (4.12) теңдеуді векторларына біртіндеп скаляр кебейтіп және ортогонал векторлар екенін ескеріп, белгісіз коэффициенттері (4.10), формулалардан анықталатынын дәлелдейміз. Теорема дәлелденді.

Жоғарыдағы теореманы дәлелдеу әдісін, яғни берілген сызықты тәуелсіз векторлар жүйесінен ортогоналды векторлар жүйесін құру әдісі, ортогонализациялау тәсілі деп аталады.

Теорема. Егер евклид кеңістігіндегі ортогоналды векторлар жүйесі болса, онда оған сызықты тәуелді ортонормалданған векторлар жүйесін мына төмендегі

(4.13) (4.13)

формулалармен өрнектеуге болады.

Дәлелдеуі. Теореманы дәлелдеу үшін (4.13) формулалармен өрнектелген ортонормалданған векторлар жүйесі екенін дәлелдесек жеткілікті. Шынында да, егер болса, онда:

 

ал егер i= j болса, онда

Теорема дәлелденді.

Теорема. Кез келген п ө лшемді евклид R кеңістігінде п вектордан құрылған ортонормалданған базис бар.

Дәлелдеуі. векторлар жүйесі евклид R кеңістігінің базисі болсын делік. Сондықтан, 4.7-теорема бойынша векторларына сызықты тәуелді ортогонал векторлар жүйесін құрамыз: Енді 4.8-теореманы пайдаланып, векторларына сызықты тәуелді , ортонормалданған вектор жүйесін құрамыз, ал ол жүйе 4.6-теорема бойынша сызықты тәуелсіз, яғни евклид R кеңістігінің ортонормалды базисі. Теорема дәлелденді.

Мысал. [-1,1] сегментте анықталған дәрежесі үштен аспайтын көпмүшеліктер кеңістігіндегі ортогонал базисті табалық.

Ортогонал базисті табу үшін элементтерін базис ретінде қарастыралық. Енді 1, элементтеріне сызықты тәуелді ортогонал базис ізделік. (4.9) формула бойынша:

Мұндағы .

Сонымен,

(.9) формуладан

мұндағы

Сонымен,

Ең соңында (4.9) формуладан:

мұндағы

Сонымен,