ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ
Дослідження функцій можна проводити за трьома рівнями.
1-й рівень. Дослідження функції з допомогою елементарних властивостей функції.
2-й рівень. Дослідження функцій за допомогою першої похідної.
3-й рівень. Дослідження функцій за допомогою похідних другого і вищих порядків.
5.6.1. Дослідження функцій
за допомогою елементарних властивостей
До елементарних властивостей (характеристик) функції відносимо такі поняття, як область визначення і значень функції, симетричність і парність, непарність, періодичність функції, монотонність.
Твердження, на підставі яких можна встановлювати парність, непарність, періодичність і монотонність функцій, а саме:
а) функція не є парною або непарною, якщо її область визначення не симетрична відносно нуля числової прямої;
б) функція f (x) не є парною або непарною, якщо корені рівняння f (x) = 0 не розміщені симетрично відносно нуля числової прямої;
в) нехай задано функції f (x) і j(x). Якщо функція f (j(x)) визначена на Е, а j(x) парна на Е, то і f (j(x)) парна на Е. Наприклад, функція f (x) = 4cos x парна на R.
г) строго монотонна функція не є періодичною;
д) якщо функції f (x) і j(x) одночасно або зростаючі, або спадні, f (j(x)) і j(x) визначені на Е, то f (j(x)) зростаюча на Е;
е) якщо функція f (x) зростаюча, а j(x) спадна або, навпаки, f (x) спадна, j(x) зростаюча, f (j(x)) і j(x) визначені на Е, то f (j(x)) спадна на Е. Наприклад, функція f (x) = 2 x зростаюча на R, тому f (x) = 2cos x зростає на тих проміжках із R, де зростає cos x, і спадає там, де спадає cos x.
5.6.2. Ознака сталості
диференційовних функцій
Теорема 1. Нехай функціяf(x)неперервна на проміжку [a; b]і диференційовна в кожній його внутрішній точці. Для того щоб функціяf(x)була сталою на проміжку[a; b],необхідно і достатньо, аби для всіх.
Доведення. Необхідність. Оскільки за умовою 
, 
, то 
для всіх 
.
Достатність. Нехай тепер f (x) неперервна на проміжку [ a; b ] і для . Зафіксуємо точку 
. Візьмемо довільну точку 
, 
і застосуємо теорему Лагранжа до функції f (x) на проміжку [ х 0; х ], якщо х 0 < x або на проміжку [ х; х 0], якщо х < x 0. В обох випадках
,
де с лежить між х 0 і х. Оскільки 
, то 
і, отже, 
, або 
для х Î[ a; b ], тобто f (x) — стала функція, яка дорівнює f (x 0) на проміжку [ a; b ].
5.6.3. Зростання і спадання функції
в точці і на проміжку
Означення. Нехай функція f (x) визначена на проміжку (a; b) і х 0Î(a; b). Кажуть, що f (x) зростає в точці x 0, якщо існує окіл точки x 0, в якому f (x) < f (x 0) для х < x 0, а для х > x 0
f (x) > f (x 0).
Аналогічно за означенням f (x) спадає в точці х 0Î(a; b), якщо існує її окіл, в якому f (x) > f (x 0) для х < x 0, а f (x) < f (x 0) для х > x 0.
Теорема 2 (достатня ознака зростання і спадання функції в точці). Якщо функція f(x) диференційовна в точці х0Î(a; b) і f¢(x0) > 0 (f¢(x0) < 0), то f(x) зростає (спадає) в точці х0.
Доведення. Проведемо доведення для випадку, коли f¢ (x 0) > 0. Оскільки 
, то існує окіл точки х 0, в якому 
для х ¹ х 0. Звідси випливає, що в цьому околі f (x) < f (x 0) для х < x 0, тобто f (x) зростає в точці x 0. Аналогічно доводиться випадок, коли f¢ (x 0) < 0.
Теорема 3 (достатня ознака зростання і спадання функції на проміжку). Якщо функціяf(x)зростає (спадає) в кожній точці інтервалу (a; b),то вона (спадає) на цьому інтервалі.
5.6.4. Ознаки монотонності
диференційовних функцій
Розглянемо деякі ознаки монотонності і строгої монотонності диференційовних на проміжку функцій.
Теорема 4 (ознака монотонності). Нехай функція f (x) неперервна на проміжку [ а; b ] і диференційовна в інтервалі (a; b). Тоді:
1) для того щоб функція f (x) була монотонно зростаючою на проміжку [ а; b ], необхідно і достатньо, аби виконувалася нерівність 
для всіх х Î(a; b);
2) для того щоб функція f (x) була монотонно спадною на проміжку [ а; b ], необхідно і достатньо, аби виконувалась нерівність 
для всіх х Î(a; b).
Доведення. Проведемо доведення першого пункту теореми.
Необхідність. Нехай функція f (x) неперервна і неспадна на [ а; b ] і має скінченну похідну f¢ (x) в інтервалі (a; b). Покажемо, що f¢ (x) ³ 0 для х Î(a; b). За умовою для будь-якого х Î(a; b) існує 
. Крім того, для 
із (a; b) f (t) ³ f (x) і, отже, для t > х
,
тому
,
що і доводить необхідність.
Достатність. Нехай функція f (x) неперервна на проміжку [ а; b ] і 
для будь-яких х Î(a; b). Задамо довільні х 2 і х 1 із [ а; b ] за умови х 2 > х 1. За теоремою Лагранжа 
, звідки 
.
Отже, для х 1 і х 2 із (а; b) при х 2 > х 1 дістаємо f (x 2) ³ f (x 1), тобто функція f (x) зростає.
Теорема 5 (ознака строгої монотонності). Нехай функція f (x) неперервна на проміжку [ а; b ] і диференційовна в інтервалі (a; b). Для того щоб функція f (x) була зростаючою (спадною) на проміжку [ а; b ], необхідно і достатньо виконання двох умов :
1) f¢ (x) ³ 0 (f¢ (x) £ 0) для будь-якого х Î(a; b);
2) рівність f¢ (x) = 0 не повинна виконуватися в жодному інтервалі, що лежить в [ а; b ].
Теорема 6 (достатня ознака строгої монотонності). Нехай функція f (x) неперервна на проміжку [ а; b ] і диференційовна в інтервалі (a; b). Якщо f¢ (x) > 0 для всіх х Î(a; b), то f (x) зростає на [ а; b ], якщо ж f¢ (x) < 0 для всіх х Î(a; b), то f (x) спадає на [ а; b ].
5.6.5. Дослідження диференційовної функції
на монотонність
1. Знайти нулі функції f¢ (x), тобто корені рівняння f¢ (x) = 0 (якщо вони є), і розбити інтервал (a; b) за допомогою знайдених коренів х 1, х 2, …, хk, a < x 1 < x 2 < … < xk < b, на інтервалі (а; х 1), (х 1; х 2), …, (хk– 1; хk), (хk; b).
2. Визначити знак похідної на кожному із таких інтервалів. Якщо при цьому виявиться, що на двох сусідніх інтервалах 
похідна f¢ (x) має один і той самий знак, то функція строго монотонна в інтервалі 
; 
. Наприклад, якщо f¢ (x) > 0, то функція f (x) зростаюча, якщо f¢ (x) < 0, то f (x) спадна.
Строга монотонність за теоремою 6 зберігається, якщо до частинного інтервалу приєднати його кінці, на яких за умовою функція неперервна. Якщо f (x) на проміжку [ а; b ] неперервна, а в інтервалі (a; b) похідна f¢ (x) не перетворюється на нуль, то на проміжку [ а; b ] функція f (x) буде строго монотонною, а саме при f¢ (x) > 0 — зростаючою, при f¢ (x) < 0 — спадною.
Знайти інтервали зростання і спадання функції
.
● Маємо
,
звідки
Похідна f¢ (x) неперервна для х Î(– ¥; + ¥) і перетворюється на нуль лише в точках х = 0, х = 1, х =3, тому вона в інтервалах (– ¥; 0), (0; 1), (1; 3) і (3; + ¥) зберігає знак. Оскільки f¢ (– 1) > 0, 
, f¢ (2) < 0,
f¢ (5) > 0, f¢ (х) > 0, якщо х Î(– ¥; 0), f¢ (х) > 0, х Î(0; 1), f¢ (х) < 0, х Î(1; 3), f¢ (х) > 0, х Î(3; + ¥).
Тому функція f (x) зростає на інтервалах (– ¥; 0); (0; 1); (3; + ¥) і спадає на інтервалі (1; 3).
5.6.6. Поняття максимуму
та мінімуму на множині
Нехай функція f (x) визначена на числовій множині Е.
Означення. Функція f (x) на множині Е має найбільше значення В або максимум (найменше значення А або мінімум), коли існує точка х 0Î Е така, що для всіх х Î Е виконується умова
Позначатимемо:
Максимум (мінімум) функції на множині інколи називають абсолютним максимумом (абсолютним мінімумом).
Можна помітити, що коли 
, то 
. Також 
, коли 
. Отже, коли функція f (x) на множині Е має максимум (мінімум), то цей максимум (мінімум) збігається з верхньою (нижньою) межею значень функції на множині Е.
Зауважимо, що функція на заданій множині може і не мати максимуму або мінімуму.
Знайти найбільше і найменше значення функції:
f (x) = х 2, х Î Е = {– 1, 0, 1, 2, 3}.
● Маємо 
f (x) = f (3) = 9, 
.
5.6.7. Поняття максимуму і мінімуму функції
в точці (локальний екстремум)
Нехай функція f (x) визначена на проміжку [ а; b ] і х 0 — внутрішня точка проміжку: х 0Î(a; b).
Означення. Функція f (x) в точці х 0 має максимум, якщо існує окіл точки х 0, що для всіх х, х ¹ х 0, цього околу виконується нерівність f (x) £ f (x 0). Саме значення f (x 0) називатимемо максимумом (локальним максимумом) функції f (x) в точці x 0 і позначатимемо max f (x) = f (x 0).
Функція f (x) в точці х 0 має мінімум, якщо існує окіл точки х 0, що для всіх х (х ¹ х 0), які належать цьому околу, буде виконуватись нерівність f (x) ³ f (x 0). При цьому саме значення f (x 0) називатимемо мінімумом (локальним мінімумом) функції f (x) в точці х 0 і позначатимемо min f (x) = f (x 0).
Рис. 5.31
Далі, якщо для х ¹ х 0 у даному околі точки х 0 
, функція f (x) має строгий максимум (строгий мінімум).
Максимум і мінімум функції в точці об’єднує спільний термін — екстремум (локальний екстремум) функції в точці.
5.6.8. Необхідна умова екстремуму.
Стаціонарні і критичні точки функції
Нехай функція f (x) визначена і диференційовна в інтервалі (a; b).
Означення. Точки інтервалу (a; b), в яких похідна f¢ (x) перетворюється в нуль (f¢ (x) = 0), називаються стаціонарними точками функції f (x) в інтервалі (a; b).
Геометрична інтерпретація. Кожна стаціонарна точка х 0Î(a; b) функції f (x), диференційовної в інтервалі (a; b), характеризується тим, що дотична до кривої у = f (x) в точці (х 0; f (x 0)) паралельна осі абсцис, оскільки кутовий коефіцієнт цієї дотичної 
.
Нехай функція f (x) неперервна на відрізку [ a; b ] і диференційовна на проміжку (a; b) за винятком, можливо, скінченного числа точок, в яких функція не має похідної.
Теорема 1. Для того щоб точка х 0 була точкою екстремуму функції, визначеної в околі цієї точки, необхідно, щоб похідна функції в цій точці дорівнювала нулю (f¢ (x) = 0) або функція була недиференційовна в цій точці.
Доведення випливає з теореми Ферма.
Означення. Для функції f (x), неперервної на відрізку [ а; b ] і диференційовної на інтервалі (a; b) (за винятком, можливо, скінченного числа точок, де не існує похідної f¢ (x) в цьому інтервалі), точки, де її похідна дорівнює нулю або не існує, називатимемо критичними її точками на проміжку [ а; b ], або точками, «підозрілими» на екстремум функції f (x) на проміжку [ а; b ].
Знайти критичні точки функції
.
● Маємо f¢ (x) = х 2 – 5 х + 6. Розв’язавши рівняння f¢ (x) = 0, дістанемо х = 2 і х = 3. Оскільки функція f (x) диференційовна, то критичними точками будуть лише стаціонарні, тобто точки х = 2 і х = 3.
5.6.9. Достатні умови строгого екстремуму
Нехай функція f (x) диференційовна в деякому околі точки х 0, за винятком, можливо, самої точки х 0. Будемо говорити, що похідна f¢ (x) при переході через точку х 0 змінює знак із плюса на мінус, якщо існує такий окіл 
точки х 0, що для 
f¢ (x) > 0, а для 
f¢ (x) < 0. Аналогічно f¢ (x) при переході через точку х 0 змінює знак із мінуса на плюс, якщо існує окіл точки х 0, що для 
f¢ (x) < 0, а для f¢ (x) > 0.
Нарешті, f¢ (x) при переході через точку х 0 не змінює знака, якщо для і для f¢ (x) зберігає один і той самий знак (буде або додатна, або від’ємна).
Теорема 2. Нехай функція f (x) диференційовна в околі точки х 0, за винятком, можливо, самої точки х 0, в якій f (x) неперервна. Тоді:
1) якщо при переході через точку х 0 похідна f¢ (x) змінює знак з плюса на мінус, то в точці х 0 функція f (x) має строгий максимум;
2) якщо при переході через точку х 0 похідна f¢ (x) змінює знак з мінуса на плюс, то в точці х 0 функція f (x) має строгий мінімум;
