Теорема 3 (достатня ознака зростання і спадання функції на проміжку). Якщо функціяf(x)зростає (спадає) в кожній точці інтервалу (a; b),то вона (спадає) на цьому інтервалі.

ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ

Дослідження функцій можна проводити за трьома рівнями.

1-й рівень. Дослідження функції з допомогою елементарних властивостей функції.

2-й рівень. Дослідження функцій за допомогою першої похідної.

3-й рівень. Дослідження функцій за допомогою похідних другого і вищих порядків.

5.6.1. Дослідження функцій
за допомогою елементарних властивостей

До елементарних властивостей (характеристик) функції відносимо такі поняття, як область визначення і значень функції, симетричність і парність, непарність, періодичність функції, монотонність.

Твердження, на підставі яких можна встановлювати парність, непарність, періодичність і монотонність функцій, а саме:

а) функція не є парною або непарною, якщо її область визначення не симетрична відносно нуля числової прямої;

б) функція f (x) не є парною або непарною, якщо корені рівняння f (x) = 0 не розміщені симетрично відносно нуля числової прямої;

в) нехай задано функції f (x) і j(x). Якщо функція f (j(x)) визначена на Е, а j(x) парна на Е, то і f (j(x)) парна на Е. Наприклад, функція f (x) = 4^{cos x} парна на R.

г) строго монотонна функція не є періодичною;

д) якщо функції f (x) і j(x) одночасно або зростаючі, або спадні, f (j(x)) і j(x) визначені на Е, то f (j(x)) зростаюча на Е;

е) якщо функція f (x) зростаюча, а j(x) спадна або, навпаки, f (x) спадна, j(x) зростаюча, f (j(x)) і j(x) визначені на Е, то f (j(x)) спадна на Е. Наприклад, функція f (x) = 2 ^x зростаюча на R, тому f (x) = 2^{cos x} зростає на тих проміжках із R, де зростає cos x, і спадає там, де спадає cos x.

5.6.2. Ознака сталості
диференційовних функцій

Теорема 1. Нехай функціяf(x)неперервна на проміжку [a; b]і диференційовна в кожній його внутрішній точці. Для того щоб функціяf(x)була сталою на проміжку[a; b],необхідно і достатньо, аби для всіх.

Доведення. Необхідність. Оскільки за умовою , , то для всіх .

Достатність. Нехай тепер f (x) неперервна на проміжку [ a; b ] і для . Зафіксуємо точку . Візьмемо довільну точку , і застосуємо теорему Лагранжа до функції f (x) на проміжку [ х ₀; х ], якщо х ₀ < x або на проміжку [ х; х ₀], якщо х < x ₀. В обох випадках

,

де с лежить між х ₀ і х. Оскільки , то і, отже, , або для х Î[ a; b ], тобто f (x) — стала функція, яка дорівнює f (x ₀) на проміжку [ a; b ].

5.6.3. Зростання і спадання функції
в точці і на проміжку

Означення. Нехай функція f (x) визначена на проміжку (a; b) і х ₀Î(a; b). Кажуть, що f (x) зростає в точці x ₀, якщо існує окіл точки x ₀, в якому f (x) < f (x ₀) для х < x ₀, а для х > x ₀

f (x) > f (x ₀).

Аналогічно за означенням f (x) спадає в точці х ₀Î(a; b), якщо існує її окіл, в якому f (x) > f (x ₀) для х < x ₀, а f (x) < f (x ₀) для х > x ₀.

Теорема 2 (достатня ознака зростання і спадання функції в точці). Якщо функція f(x) диференційовна в точці х0Î(a; b) і f¢(x0) > 0 (f¢(x0) < 0), то f(x) зростає (спадає) в точці х0.

Доведення. Проведемо доведення для випадку, коли f¢ (x ₀) > 0. Оскільки , то існує окіл точки х ₀, в якому для х ¹ х ₀. Звідси випливає, що в цьому околі f (x) < f (x ₀) для х < x ₀, тобто f (x) зростає в точці x ₀. Аналогічно доводиться випадок, коли f¢ (x ₀) < 0.

Теорема 3 (достатня ознака зростання і спадання функції на проміжку). Якщо функціяf(x)зростає (спадає) в кожній точці інтервалу (a; b),то вона (спадає) на цьому інтервалі.

5.6.4. Ознаки монотонності
диференційовних функцій

Розглянемо деякі ознаки монотонності і строгої монотонності диференційовних на проміжку функцій.

Теорема 4 (ознака монотонності). Нехай функція f (x) неперер­вна на проміжку [ а; b ] і диференційовна в інтервалі (a; b). Тоді:

1) для того щоб функція f (x) була монотонно зростаючою на проміжку [ а; b ], необхідно і достатньо, аби виконувалася нерівність для всіх х Î(a; b);

2) для того щоб функція f (x) була монотонно спадною на проміжку [ а; b ], необхідно і достатньо, аби виконувалась нерівність для всіх х Î(a; b).

Доведення. Проведемо доведення першого пункту теореми.

Необхідність. Нехай функція f (x) неперервна і неспадна на [ а; b ] і має скінченну похідну f¢ (x) в інтервалі (a; b). Покажемо, що f¢ (x) ³ 0 для х Î(a; b). За умовою для будь-якого х Î(a; b) існує . Крім того, для із (a; b) f (t) ³ f (x) і, отже, для t > х

,

тому

,

що і доводить необхідність.

Достатність. Нехай функція f (x) неперервна на проміжку [ а; b ] і для будь-яких х Î(a; b). Задамо довільні х ₂ і х ₁ із [ а; b ] за умови х ₂ > х ₁. За теоремою Лагранжа , звідки .

Отже, для х ₁ і х ₂ із (а; b) при х ₂ > х ₁ дістаємо f (x ₂) ³ f (x ₁), тобто функція f (x) зростає.

Теорема 5 (ознака строгої монотонності). Нехай функція f (x) неперервна на проміжку [ а; b ] і диференційовна в інтервалі (a; b). Для того щоб функція f (x) була зростаючою (спадною) на проміжку [ а; b ], необхідно і достатньо виконання двох умов :

1) f¢ (x) ³ 0 (f¢ (x) £ 0) для будь-якого х Î(a; b);

2) рівність f¢ (x) = 0 не повинна виконуватися в жодному інтервалі, що лежить в [ а; b ].

Теорема 6 (достатня ознака строгої монотонності). Нехай функція f (x) неперервна на проміжку [ а; b ] і диференційовна в інтервалі (a; b). Якщо f¢ (x) > 0 для всіх х Î(a; b), то f (x) зростає на [ а; b ], якщо ж f¢ (x) < 0 для всіх х Î(a; b), то f (x) спадає на [ а; b ].

5.6.5. Дослідження диференційовної функції
на монотонність

1. Знайти нулі функції f¢ (x), тобто корені рівняння f¢ (x) = 0 (якщо вони є), і розбити інтервал (a; b) за допомогою знайдених коренів х ₁, х ₂, …, х_k, a < x ₁ < x ₂ < … < x_k < b, на інтервалі (а; х ₁), (х ₁; х ₂), …, (х_{k– 1}; х_k), (х_k; b).

2. Визначити знак похідної на кожному із таких інтервалів. Якщо при цьому виявиться, що на двох сусідніх інтервалах похідна f¢ (x) має один і той самий знак, то функція строго монотонна в інтервалі ; . Наприклад, якщо f¢ (x) > 0, то функція f (x) зростаюча, якщо f¢ (x) < 0, то f (x) спадна.

Строга монотонність за теоремою 6 зберігається, якщо до частинного інтервалу приєднати його кінці, на яких за умовою функція неперервна. Якщо f (x) на проміжку [ а; b ] неперервна, а в інтервалі (a; b) похідна f¢ (x) не перетворюється на нуль, то на проміжку [ а; b ] функція f (x) буде строго монотонною, а саме при f¢ (x) > 0 — зростаючою, при f¢ (x) < 0 — спадною.

Знайти інтервали зростання і спадання функції

.

● Маємо

,

звідки

Похідна f¢ (x) неперервна для х Î(– ¥; + ¥) і перетворюється на нуль лише в точках х = 0, х = 1, х =3, тому вона в інтервалах (– ¥; 0), (0; 1), (1; 3) і (3; + ¥) зберігає знак. Оскільки f¢ (– 1) > 0, , f¢ (2) < 0,
f¢ (5) > 0, f¢ (х) > 0, якщо х Î(– ¥; 0), f¢ (х) > 0, х Î(0; 1), f¢ (х) < 0, х Î(1; 3), f¢ (х) > 0, х Î(3; + ¥).

Тому функція f (x) зростає на інтервалах (– ¥; 0); (0; 1); (3; + ¥) і спадає на інтервалі (1; 3).

5.6.6. Поняття максимуму
та мінімуму на множині

Нехай функція f (x) визначена на числовій множині Е.

Означення. Функція f (x) на множині Е має найбільше значення В або максимум (найменше значення А або мінімум), коли існує точка х ₀Î Е така, що для всіх х Î Е виконується умова

Позначатимемо:

Максимум (мінімум) функції на множині інколи називають абсолютним максимумом (абсолютним мінімумом).

Можна помітити, що коли , то . Також , коли . Отже, коли функція f (x) на множині Е має максимум (мінімум), то цей максимум (мінімум) збігається з верхньою (нижньою) межею значень функції на множині Е.

Зауважимо, що функція на заданій множині може і не мати максимуму або мінімуму.

Знайти найбільше і найменше значення функції:

f (x) = х ², х Î Е = {– 1, 0, 1, 2, 3}.

● Маємо f (x) = f (3) = 9, .

5.6.7. Поняття максимуму і мінімуму функції
в точці (локальний екстремум)

Нехай функція f (x) визначена на проміжку [ а; b ] і х ₀ — внутрішня точка проміжку: х ₀Î(a; b).

Означення. Функція f (x) в точці х ₀ має максимум, якщо існує окіл точки х ₀, що для всіх х, х ¹ х ₀, цього околу виконується нерівність f (x) £ f (x ₀). Саме значення f (x ₀) називатимемо максимумом (локальним максимумом) функції f (x) в точці x ₀ і позначатимемо max f (x) = f (x ₀).

Функція f (x) в точці х ₀ має мінімум, якщо існує окіл точки х ₀, що для всіх х (х ¹ х ₀), які належать цьому околу, буде виконуватись нерівність f (x) ³ f (x ₀). При цьому саме значення f (x ₀) називатимемо мінімумом (локальним мінімумом) функції f (x) в точці х ₀ і позначатимемо min f (x) = f (x ₀).

Рис. 5.31

Далі, якщо для х ¹ х ₀ у даному околі точки х ₀ , функція f (x) має строгий максимум (строгий мінімум).

Максимум і мінімум функції в точці об’єднує спільний термін — екстремум (локальний екстремум) функції в точці.

5.6.8. Необхідна умова екстремуму.
Стаціонарні і критичні точки функції

Нехай функція f (x) визначена і диференційовна в інтервалі (a; b).

Означення. Точки інтервалу (a; b), в яких похідна f¢ (x) перетворюється в нуль (f¢ (x) = 0), називаються стаціонарними точками функції f (x) в інтервалі (a; b).

Геометрична інтерпретація. Кожна стаціонарна точка х ₀Î(a; b) функції f (x), диференційовної в інтервалі (a; b), характеризується тим, що дотична до кривої у = f (x) в точці (х ₀; f (x ₀)) паралельна осі абсцис, оскільки кутовий коефіцієнт цієї дотичної .

Нехай функція f (x) неперервна на відрізку [ a; b ] і диференційовна на проміжку (a; b) за винятком, можливо, скінченного числа точок, в яких функція не має похідної.

Теорема 1. Для того щоб точка х ₀ була точкою екстремуму функції, визначеної в околі цієї точки, необхідно, щоб похідна функції в цій точці дорівнювала нулю (f¢ (x) = 0) або функція була недиференційовна в цій точці.

Доведення випливає з теореми Ферма.

Означення. Для функції f (x), неперервної на відрізку [ а; b ] і диференційовної на інтервалі (a; b) (за винятком, можливо, скінченного числа точок, де не існує похідної f¢ (x) в цьому інтервалі), точки, де її похідна дорівнює нулю або не існує, називатимемо критичними її точками на проміжку [ а; b ], або точками, «підозрілими» на екстремум функції f (x) на проміжку [ а; b ].

Знайти критичні точки функції

.

● Маємо f¢ (x) = х ² – 5 х + 6. Розв’язавши рівняння f¢ (x) = 0, дістанемо х = 2 і х = 3. Оскільки функція f (x) диференційовна, то критичними точками будуть лише стаціонарні, тобто точки х = 2 і х = 3.

5.6.9. Достатні умови строгого екстремуму

Нехай функція f (x) диференційовна в деякому околі точки х ₀, за винятком, можливо, самої точки х ₀. Будемо говорити, що похідна f¢ (x) при переході через точку х ₀ змінює знак із плюса на мінус, якщо існує такий окіл точки х ₀, що для f¢ (x) > 0, а для f¢ (x) < 0. Аналогічно f¢ (x) при переході через точку х ₀ змінює знак із мінуса на плюс, якщо існує окіл точки х ₀, що для f¢ (x) < 0, а для f¢ (x) > 0.

Нарешті, f¢ (x) при переході через точку х ₀ не змінює знака, якщо для і для f¢ (x) зберігає один і той самий знак (буде або додатна, або від’ємна).

Теорема 2. Нехай функція f (x) диференційовна в околі точки х ₀, за винятком, можливо, самої точки х ₀, в якій f (x) неперервна. Тоді:

1) якщо при переході через точку х ₀ похідна f¢ (x) змінює знак з плюса на мінус, то в точці х ₀ функція f (x) має строгий максимум;

2) якщо при переході через точку х ₀ похідна f¢ (x) змінює знак з мінуса на плюс, то в точці х ₀ функція f (x) має строгий мінімум;