Теорема 2 (перша ознака опуклості).

Для того щоб функція f(x) була опуклою на проміжку [a, b], необхідно і достатньо, аби виконувалася умова: для довільних х1 і х2 із [a, b] і будь-якого a, 0 £ a £ 1

. (2)

Для того щоб функція f(х) була вгнутою на проміжку [а; b], необхідно і достатньо, аби виконувалася умова: для довільних х1 і х2 із [а; b] і будь-якого a, 0 £ a £ 1

. (3)

Доведення. Доведемо першу частину теореми для опуклої функції.

Необхідність. Нехай функція f (х) опукла на [ a, b ]. Це означає, що

— опукла множина.

Задамо довільно х ₁ і х ₂ із [ а; b ]. Тоді

і з огляду на опуклість множини дістанемо: точки (х; у) відрізка, що сполучає точки (х ₁; f (x ₁)) і (х ₂; f (x ₂)), мають належати А, тобто точки (a х ₁ + (1 – a) х ₂; a f (x ₁) + (1 – a) f (x ₂))повинні належати А, а це означає, що

,

тобто необхідна умова виконується.

Достатність. Нехай тепер виконується умова (2). Доведемо, що

— опукла множина, тобто для будь-яких двох точок (х ₁; у ₁) і (х ₁; х ₂) із А, де у ₁ ³ f (x ₁), у ₂ ³ f (x ₂), точки (a х ₁ + (1 – a) х ₂; a у ₁ +(1 – a) у ₂) із А при 0 £ a £ 1.

Справді, для х = a х ₁ + (1 – a) х ₂; у = a у ₁ +(1 – a) у ₂ згідно з (1) дістанемо

Це означає, що А — опукла множина.

Доведення другої частини теореми очевидне. Якщо функція f (х) вгнута, то – f (х) буде опуклою і для неї виконуватиметься нерівність (1):

,

звідки

.

На підставі доведеної теореми опуклу і вгнуту функції визначають відповідно до умов (2) і (3). Більш того, на окремі випадки строго опуклої і строго вгнутої функцій також поширюються дещо змінені умови (2) і (3).

Означення. 1. Функція f (х) на проміжку [ a; b ] називається опуклою (вгнутою), якщо для будь-яких двох точок х ₁ і х ₂ із [ a; b ] і будь-якого a, 0 £ a £ 1, виконується нерівність

2. Функція f (x) на проміжку [ a, b ] називається строго опуклою (строго вгнутою), якщо для будь-яких точок х ₁ і х ₂ із [ a, b ], х ₁ ¹ х ₂, і будь-якого a, 0 < a < 1, виконується нерівність

Геометрична ілюстрація

Рис. 5.25 Рис. 5.26

Геометрично умова (2) означає, що точки хорди, яка сполучає дві точки графіка опуклої функції f (x), лежать не нижче від графіка функції. Для строго опуклої функції точки такої хорди лежать вище від графіка функції, тобто якщо f (x) — строго опукла функція, то для будь-яких двох точок (х ₁; f (x ₁)) і (х ₂; f (x ₂)), х ₁ < x < x ₂, хорда, що сполучає ці дві точки, має задовольняти умову у > f (x).

У разі строго вгнутої функції f (x), навпаки, для точок (х; у) хорди, яка сполучає точки (х ₁; f (x ₁)), (х ₂; f (x ₂)) графіка у = f (x) має виконуватись умова у < f (x).

На рис. 5.25 і 5.26 подано графіки строго опуклої і строго вгнутої функцій.

Лінійна функція f (x) = аx + b опукла і одночасно вгнута (не строго), оскільки для неї одночасно виконуються умови (1) і (2), в яких нестрогі нерівності перетворюються на рівності.

Показати, що функція f (x) = x ² строго опукла для дійсних х.

● Справді, нехай х ₁ і х ₂ — дійсні числа, х ₁ ¹ х ₂. Тоді

Отже, за умовою (1) функція f (x) = x ² опукла; для x ₁ = x ² і
0 < a < 1 дістанемо строгу нерівність, звідки f (x) = x ² — строго опукла функція.

Без доведення наведено такі ознаки опуклості.