Якщоnнепарне, то функція f(x)в точці x0 екстремуму не має.

Дослідити на екстремум функцію

f (x) = х ³ – 3 х ² + 3 х +5. ·

· Знаходимо похідну f¢ (x) = 3 х ² – 6 х + 3. Рівняння f¢ (x) = 0 має одну стаціонарну точку х = 1, тому f¢ (1) = 0. Далі,

.

Отже, f ¢(1) = f ²(1) = 0, але f ²¢(1) ¹ 0. За теоремою в стаціонарній точці х = 1 функція f (x) екстремуму не має.

Теорема 4. Нехай функція f (x) диференційовна в околі стаціонарної точки х ₀, а в самій стаціонарній точці має похідну другого порядку. Тоді:

1) якщо f ²¢(х ₀) > 0, то функція f (x) в точці х ₀ має мінімум;

2) якщо f ²¢(х ₀) < 0, то функція f (x) в точці х ₀ має максимум;

3) якщо f ² (х ₀) = 0, то в точці х ₀ може бути екстремум, а може і не бути.

Доведення. Нехай f ²¢(х ₀) > 0, тоді, ураховуючи, що х ₀ — стаціонарна точка (f ¢(х ₀) = 0), дістаємо

.

Оскільки границя виразу в точці х ₀ додатна, то існує окіл точки х ₀, що для всіх x < x ₀ f¢ (x) < 0, а для x> x ₀ f¢ (x) > 0 із вказаного околу. У точці х ₀ функція f (x) неперервна, тому за теоремою 2 в точці х ₀ функція має мінімум.

Аналогічно доводиться теорема про максимум функції f (x) в точці х ₀, якщо f ²¢(х ₀) < 0.

Дослідити на екстремум функцію f (x) = х ⁶.

· Маємо f¢ (x) = 6 х ⁵. Стаціонарна точка одна: х = 0.

1) За теоремою 2 при переході через стаціонарну точку х = 0 похідна f¢ (x) змінює знак з мінуса на плюс. Отже, у точці х = 0 функція f (x) має строгий мінімум.

2) За теоремою 3 маємо f ¢¢ (х) = 30 х ⁴, f ²¢(х) = 120 х ³, f ⁽⁴⁾(x) = 360 х ², f ⁽⁵⁾(x) = 720 х, f ⁽⁶⁾(x) = 720, причому f ¢(0) = f ²(0) = f ²¢(0) = 0, але f ⁽⁶⁾(0) = 720 > 0. Оскільки число 6 парне, то за теоремою 3 в точці х = 0 функція f (x) має строгий мінімум.

3) Оскільки f ¢(0) = 0, f ²(0) = 0, то теорема 4 не дає відповіді про екстремум функції в стаціонарній точці х = 0.

4) Дослідження функції на екстремум можна виконати і без використання диференційовності. Оскільки | х | > 0 для х ¹ 0 і |0| = 0, то і х ⁶ = 0 для х = 0, звідки функція f (x) = х ⁶ у точці х = 0 має строгий мінімум.

Цей приклад показує, що при дослідженні функції f (x) на екстремум треба звернути увагу на вид самої функції, щоб обрати найбільш раціональний спосіб розв’язування конкретної задачі.

5.6.10. Найбільше і найменше
значення функції на проміжку
(абсолютний екстремум)

1. Знаходження найбільших і найменших значень функції на проміжку. Розглянемо деякі випадки знаходження найбільших і найменших значень функцій на проміжку, коли функція неперервна і диференційовна на всьому проміжку за винятком точок, де в неї немає скінченної похідної.

І. Нехай функція f (x) неперервна на проміжку [ a; b ], диференційовна в інтервалі (a; b) і має скінченне число стаціонарних точок.

Алгоритм знаходження найбільшого і найменшого значень функції f (x) на проміжку [ a; b ].

1. Знайти корені рівняння f¢ (x) = 0, х Î(a; b), тобто стаціонарні точки (якщо вони є).

2. Обчислити значення функції f (x) на кінцях проміжку [ a; b ] і в усіх стаціонарних точках (не обов’язково виясняти, чи буде в них екстремум).

3. На підставі порівняння всіх знайдених значень функції ви­брати найбільше і найменше. Вони є відповідно найбільшим і найменшим значеннями функції f (x) на проміжку [ a; b ].

Знайти найбільше і найменше значення функції

на проміжку [0,01; 100].

● У даному випадку похідна в інтервалі [0,01; 100] має тільки один корінь — х = 0,2. Обчислимо значення функції в стаціонарній точці х = 0,2 і на кінцях проміжку [0,01; 100]:

.

Звідси

.