, (4)
Монотонно зростаюча по х (неспадна). Якщо функція f(x) строго опукла, то F(x, x0) — строго зростаюча.
Справджується й обернена теорема.
Теорема 4. Якщо функціяf(x)задана в інтервалі(а; b)і для будь-якої точки функція
,
неспадна, то f (x) опукла (а; b), якщо 
строго зростаюча, то f (x) строго опукла на (а; b).
Теорема 5 (третя ознака опуклості функції). Функція f (x) строго опукла в інтервалі (а; b) тоді і тільки тоді, коли для будь-яких х 1 < x 2 < x 3 із (а; b).
.
Очевидно, що 
є критерієм для опуклої функції.
5.5.4. Властивості опуклих і вгнутих функцій
Нехай функціяf(x)опукла в інтервалі(а; b) с Î (а; b).Тоді існують кінцеві ліва і права похідні в точці а, тобто і, причому.
Якщо функція f(x) опукла (строго опукла) в інтервалі(а; b),то для будь-яких точоксіd,c < d, інтервалу виконується нерівність
Похідні і монотонно зростають (відповідно строго зростають) в (а; b).
Якщо функціяf(x)опукла в інтервалі(а; b),то вона неперервна в ньому.
Доведення. Із властивості 2 випливає, що f (x) в будь-якій точці с Î (а; b) має скінченні ліву та праву похідні:
тому
тобто
Отже, маємо неперервність функції f (x) у точці с. ♦
5.5.5. Критерії опуклості та вгнутості
диференційовних функцій
Теорема 1. Для того щоб диференційовна в інтервалі(a; b)функціяf(x)була опуклою (вгнутою), необхідно і достатньо, щоб її похіднаf¢(x)у цьому інтервалі була монотонно зростаючою (монотонно спадною).
Дослідити функцію 
на опуклість.
● Маємо 
і похідну f¢ (x) можна вважати і неспадною, і незростаючою. Тому функція f (x) опукла і вгнута не в строгому розумінні. ●
Знайти проміжки опуклості і вгнутості функції
.
● Оскільки 
, то задача зводиться до знаходження проміжків монотонності похідної f¢ (x). Скориставшись умовами монотонності, знайдемо, що 
, звідки робимо висновки, що 
для 
і 
для х < 0.
Отже, f¢ (x) зростає на проміжку (0; + ¥) і спадає на проміжку (–¥; 0). Звідси функція f (x) строго опукла на проміжну (0; + ¥) і спадає на проміжку (–¥; 0).
Теорема 2. Нехай функція f (x) двічі диференційовна на проміжку [ a; b ].
1) Для того щоб функція f (x) була опуклою (вгнутою) на проміжку [ a; b ], необхідно і достатньо, щоб 
для будь-якого х Î [ a; b ].
Для того щобf(x)була строго опуклою (строго вгнутою) на проміжку[a; b], необхідно і достатньо, щоб виконувалась попередня умова і щоб, крім того, не існувало інтервалу (с; d)Ì[a; b],в якому.
Наслідок. Нехай функція f (x)двічі диференційовна на проміжку [ a; b ]. Якщо 
для всіх х Î [ a; b ], то f (x)строго опукла (строго вгнута) на [ a; b ].
У підрозділі 5.5.4 було дано означення опуклої, строго опуклої, вгнутої і строго вгнутої функцій незалежно від їх диференційовності. Проте, якщо функція f (x) диференційовна в інтервалі, то в основу означення можна покласти будь-які умови (критерії) її опуклості і вгнутості. Часто ж означення опуклості і вгнутості диференційовної функції пов’язують з характерним для неї розміщенням дотичних до графіків цих функцій. Як відомо, рівняння дотичної до кривої у = f (x) в точці х 0 записується у вигляді
. (1)
Скажемо, що дотична (1) лежить не вище від графіка функції в інтервалі (a; b), якщо для всіх х Î (a; b) виконується умова
(2)
дотична (1) лежить нижче від графіка функції f (x) в інтервалі (a; b), якщо для всіх х Î (a; b), х ¹ х 0, виконується умова
. (3)
Аналогічно визначається поняття «дотична лежить вище» і «дотична лежить не нижче» за допомогою заміни знаків у нерівностях (2) і (3) на протилежні. Справджується теорема.
Теорема 3. Для того щоб диференційовна функціяf(x)була опуклою (вгнутою) в інтервалі(a; b),необхідно і достатньо, щоб у будь-якій точці графіка функціїf(x)в інтервалі(a; b)дотична до графіка лежала не вище (не нижче) від графіка функції.
Теорема 4. Для того щоб диференційовна функція f(x) була строго опуклою (строго вгнутою) в інтервалі (a; b), необхідно і достатньо, щоб у будь-якій точці графіка функції f(x) в інтервалі (a; b) дотична до графіка лежала нижче (вище) графіка функції f (x).
На підставі із цих теорем можна дати таке означення.
Означення. Диференційовна функція f (x) називається опуклою (вгнутою) в інтервалі (a; b), якщо в будь-якій точці графіка функції f (x) із інтервалу (a; b) дотична до графіка лежить не вище (не нижче) від графіка функції (рис. 5.27).
Означення. Диференційовна функція f (x) називається строго опуклою (строго вгнутою) в інтервалі (a; b), якщо в будь-якій точці графіка функції f (x) із інтервалу (a; b) дотична до графіка лежить нижче (вище) графіка функції f (x).
Геометрична ілюстрація
Рис. 5.27
Зауваження. У деяких підручниках розглядаються тільки строго опуклі і строго вгнуті диференційовні функції. Дослідження на опуклість і вгнутість зводиться до дослідження монотонності її похідної f¢ (x). Якщо функція f (x) двічі диференційовна, то для дослідження f¢ (x) на монотонність можна застосувати критерій для нестрогої і строгої монотонності функції на проміжку. При цьому графік строго опуклої функції f (x) називають кривою у = f (x), повернутою опуклістю вниз (або кривою, повернутою вгнутістю вгору), а графік строго вгнутої функції f (x) називають кривою у = f (x), повернутою вгнутістю (або кривою, повернутою опуклістю вгору).
Показати, що крива 
всюди вгнута догори.
● Маємо 
За наслідком із теореми функція 
строго опукла в інтервалі (– ¥; + ¥), отже, крива скрізь вгнута догори.
Дослідити криву 
на напрямок вгнутості.
● Функція 
визначена в інтервалі (– 1; + ¥). У цьому інтервалі
і 
в точках х 1 = 0 і 
.
Методом інтервалів знаходимо, що 
в інтервалі (–1; 0), 
в інтервалі 
і 
в інтервалі 
. За наслідком із теореми доходимо висновку, що в інтервалах (– 1; 0) і крива вгнута донизу, а в інтервалі 
вгнута вгору.
5.5.6. Точки перегину
Нехай функція f (x) диференційовна в інтервалі (а; b) за винятком, можливо, точки с Î (а; b), в якій вона неперервна і або не диференційовна, або має нескінченну похідну.
Означення. Точка с називається точкою перегину кривої
у = f (x), де х Î (а; b), якщо існує такий окіл точки с, в якому для
х < с крива у = f (x) опукла, а для х > с крива у = f (x) вгнута, або якщо для х < с крива у = f (x) вгнута, а для всіх х > с опукла.
Рис. 5.28
При цьому точку графіка (с; f (c)) також називають точкою перегину (рис. 5.28).
Геометрична інтерпретація. Точка с є точкою перегину кривої, якщо при переході через точку с крива у = f (x) має перегин, переходячи від опуклої до вгнутої, або навпаки. У самій же точці с функція f (x) або диференційовна, тобто крива у = f (x) має дотичну, не паралельну осі Оу, або неперервна (має дотичну, паралельну осі Оу).
Знайти точки перегину кривої 
.
· Маємо
.
Для х < 0 похідна у ¢(х) є зростаючою, а для х > 0 — спадною. Звідси для х < 0 крива вгнута вгору, а для х > 0 вгнута вниз, в точці
х = 0 функція неперервна і має нескінченну похідну. Отже, точка х = 0 є точкою перегину. Інших точок перегину немає (рис. 5.29).
Рис. 5.29
5.5.7. Необхідна і достатня умови
існування точок перегину
Теорема 1 (необхідна умова). Нехай функція f (x) двічі диференційовна в околі точки с і функція f² (х) неперервна в точці с. Якщо точка с є точкою перегину кривої у = f (x) тоді f² (с) = 0.
Доведення. Проведемо доведення від супротивного. Нехай
f² (с) ¹ 0. Оскільки функція f² (х) неперервна в точці с і f² (с) ¹ 0, то існує окіл точки с, в якому f² (х) зберігає знак f² (с). За умовою функція f (x) у зазначеному околі буде або опуклою (якщо f² (с) > 0), або вгнутою (якщо f² (с) < 0) і точка х = с не буде точкою перегину кривої у = f (x). Здобута суперечність доводить теорему. ¨
Із означення точки перегину кривої у = f (x) та умов опуклих диференційовних функцій випливають такі достатні умови наявності точок перегину.
Теорема 2. Якщо функція f (x) диференційовна в деякому околі точки с і для х < с цього околу f¢ (х) зростає, а для х > с спадає або, навпаки, для х < с похідна f¢ (х) спадає, а для х > с зростає, то х = с буде точкою перегину у = f (x).
Теорема 3. Якщо функціяf(x)двічі диференційовна в деякому околі точки с іf² (х) < 0длях < сцього околу,а f² (х) > 0длях > сабо, навпаки, f² (х) > 0для х < с, а f² (х) < 0длях > с,то точка сбуде точкою перегину кривої.
Знайдемо точки перегину кривої 
.
· Знайдемо першу та другу похідну функції:
; 
,
, якщо 
;
, якщо 
;
, якщо 
.
Отже, точки 
є точками перегину
·
Рис. 5.30.
Теорема 4. Нехай f (x) в околі точки с має похідні до n -го порядку включно, причому f (n)(х) неперервна в точці с, і
нехай f² (с) = f¢² (с) = … = f (n – 1)(с) = 0, але f (n)(с) ¹ 0. Тоді,
якщо n ³ 3 непарне, то точка с буде точкою перегину кривої
у = f (x).
Знайти точки перегину кривої 
.
· Маємо
Оскільки 
, але 
, то за теоремою 4 х = 0 є точкою перегину. Інших точок перегину немає, оскільки 
для 
(не виконуються умови точок перегину).
ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ
Дослідження функцій можна проводити за трьома рівнями.
1-й рівень. Дослідження функції з допомогою елементарних властивостей функції.
2-й рівень. Дослідження функцій за допомогою першої похідної.
3-й рівень. Дослідження функцій за допомогою похідних другого і вищих порядків.
5.6.1. Дослідження функцій
за допомогою елементарних властивостей
До елементарних властивостей (характеристик) функції відносимо такі поняття, як область визначення і значень функції, симетричність і парність, непарність, періодичність функції, монотонність.
Твердження, на підставі яких можна встановлювати парність, непарність, періодичність і монотонність функцій, а саме:
а) функція не є парною або непарною, якщо її область визначення не симетрична відносно нуля числової прямої;
б) функція f (x) не є парною або непарною, якщо корені рівняння f (x) = 0 не розміщені симетрично відносно нуля числової прямої;
в) нехай задано функції f (x) і j(x). Якщо функція f (j(x)) визначена на Е, а j(x) парна на Е, то і f (j(x)) парна на Е. Наприклад, функція f (x) = 4cos x парна на R.
г) строго монотонна функція не є періодичною;
д) якщо функції f (x) і j(x) одночасно або зростаючі, або спадні, f (j(x)) і j(x) визначені на Е, то f (j(x)) зростаюча на Е;
е) якщо функція f (x) зростаюча, а j(x) спадна або, навпаки, f (x) спадна, j(x) зростаюча, f (j(x)) і j(x) визначені на Е, то f (j(x)) спадна на Е. Наприклад, функція f (x) = 2 x зростаюча на R, тому f (x) = 2cos x зростає на тих проміжках із R, де зростає cos x, і спадає там, де спадає cos x.
5.6.2. Ознака сталості
диференційовних функцій
Теорема 1. Нехай функціяf(x)неперервна на проміжку [a; b]і диференційовна в кожній його внутрішній точці. Для того щоб функціяf(x)була сталою на проміжку[a; b],необхідно і достатньо, аби для всіх.
Доведення. Необхідність. Оскільки за умовою 
, 
, то 
для всіх 
.
Достатність. Нехай тепер f (x) неперервна на проміжку [ a; b ] і для . Зафіксуємо точку 
. Візьмемо довільну точку 
, 
і застосуємо теорему Лагранжа до функції f (x) на проміжку [ х 0; х ], якщо х 0 < x або на проміжку [ х; х 0], якщо х < x 0. В обох випадках
,
де с лежить між х 0 і х. Оскільки 
, то 
і, отже, 
, або 
для х Î[ a; b ], тобто f (x) — стала функція, яка дорівнює f (x 0) на проміжку [ a; b ].
5.6.3. Зростання і спадання функції
в точці і на проміжку
Означення. Нехай функція f (x) визначена на проміжку (a; b) і х 0Î(a; b). Кажуть, що f (x) зростає в точці x 0, якщо існує окіл точки x 0, в якому f (x) < f (x 0) для х < x 0, а для х > x 0
f (x) > f (x 0).
Аналогічно за означенням f (x) спадає в точці х 0Î(a; b), якщо існує її окіл, в якому f (x) > f (x 0) для х < x 0, а f (x) < f (x 0) для х > x 0.
Теорема 2 (достатня ознака зростання і спадання функції в точці). Якщо функція f(x) диференційовна в точці х0Î(a; b) і f¢(x0) > 0 (f¢(x0) < 0), то f(x) зростає (спадає) в точці х0.
Доведення. Проведемо доведення для випадку, коли f¢ (x 0) > 0. Оскільки 
, то існує окіл точки х 0, в якому 
для х ¹ х 0. Звідси випливає, що в цьому околі f (x) < f (x 0) для х < x 0, тобто f (x) зростає в точці x 0. Аналогічно доводиться випадок, коли f¢ (x 0) < 0.
