5.8.1. Основні задачі
Витрати виробництва K залежать від обсягу продукції х за формулою К (х) = – 0,05 х 3 + 3375 х + 200. При яких значеннях х витрати виробництва почнуть спадати?
· Знайдемо похідну 
= – 0,15 х 2 + 3375. Витрати спадають, коли < 0, тобто – 0,15 х 2 + 3375 < 0. Звідси – 0,15 х 2 + 3375 > 0 або х 2 – 22500 > 0. Нерівність виконується, якщо х < – 150 або х > 150. За умовою задачі х < 0 не може бути розв’язком. Отже, витрати виробництва починають спадати при обсягах х > 150.
Темп зростання функції. Розглянемо функцію y = f (x). Швидкість її зміни визначається, як відомо, похідною 
.
Відносною швидкістю або темпом зростання функції називається відношення 
. Водночас 
.
Отже, темп зростання функції дорівнює її логарифмічній похідній. Наприклад, якщо 
, то темп зростання функції становить 51 %.
(Граничні витрати виробництва). Нехай витрати K (х) виробництва однорідної продукції є функція від кількості х цієї продукції, тобто K = K (x). Припустимо, що кількість продукції змінюється на 
, причому продукції 
відповідають витрати виробництва 
. Тоді приросту кількості продукції відповідає приріст 
витрат виробництва. Відношення 
є приріст витрат виробництва на одиницю приросту кількості продукції. Границя 
називається граничними витратами виробництва.
Граничний виторг. Нехай відома функція 
, якою подається ціна товару. Тоді добуток 
цієї функції на попит є виручка U (x). Границю 
називаються граничним виторгом.
Залежність фінансових зборів K від обсягу продукції х виражається формулою 
. При яких значеннях обсягу х фінансові збори почнуть зростати?
· Похідна 
. Звідси х > 100. Це означає, що коли обсяг продукції перевищує 100 грн., фінансові збори зростають.
Функцію попиту на будь-який товар можна подати у вигляді 
, де р — ціна товару; q — відповідний попит. Загальні витрати населення на цей товар становлять U = pq грн., а граничний виторг
.
Еластичність попиту щодо ціни подається у вигляді 
. Підставивши значення Ес у формулу для 
, дістанемо вираз 
, з якого випливають такі висновки.
1. Якщо Ес > 1, то 
. Отже, у разі еластичного попиту з підвищенням ціни виторг від продажу товару знижується.
2. Якщо Ес =1, то = 0 
Це означає, що коли попит найтральний, виторг від продажу даного товару не залежить від зміни ціни. Тоді q p = c, звідки 
де 
. Отже, за нейтрального попиту його розміри обернено пропорційні до ціни.
3. Якщо 0 < Ес < 1, то 
0. Якщо попит нееластичний, то з підвищенням ціни виторг зростає.
Нехай виконуються такі умови: 1) технологія виробництва не змінилася, причому основні виробничі фонди використовуються повністю; 2) K — розміри основних фондів у період t; 3) Q — обсяг виробництва предметів споживання з використанням цих фондів; 4) 
= β Q (t); β > 0 — залежність розміру основних фондів від обсягу виробництва предметів споживання; 5) 
— закон зміни приросту основних фондів за одиницю часу. З економіки відомо, що приріст основних фондів за одиницю часу є результатом капіталовкладень І; 6) 
— залежність капіталовкладень у період t від обсягу виробництва.
Подамо математичний аналіз принципу акселерації у вигляді таблиці.
