Застосування похідної для дослідження динаміки функції

5.8.1. Основні задачі

Витрати виробництва K залежать від обсягу продукції х за формулою К (х) = – 0,05 х ³ + 3375 х + 200. При яких значеннях х витрати виробництва почнуть спадати?

· Знайдемо похідну = – 0,15 х ² + 3375. Витрати спадають, коли < 0, тобто – 0,15 х ² + 3375 < 0. Звідси – 0,15 х ² + 3375 > 0 або х ² – 22500 > 0. Нерівність виконується, якщо х < – 150 або х > 150. За умовою задачі х < 0 не може бути розв’язком. Отже, витрати виробництва починають спадати при обсягах х > 150.

Темп зростання функції. Розглянемо функцію y = f (x). Швидкість її зміни визначається, як відомо, похідною .

Відносною швидкістю або темпом зростання функції називається відношення . Водночас .

Отже, темп зростання функції дорівнює її логарифмічній похідній. Наприклад, якщо , то темп зростання функції становить 51 %.

(Граничні витрати виробництва). Нехай витрати K (х) виробництва однорідної продукції є функція від кількості х цієї продукції, тобто K = K (x). Припустимо, що кількість продукції змінюється на , причому продукції відповідають витрати виробництва . Тоді приросту кількості продукції відповідає приріст витрат виробництва. Відношення є приріст витрат виробництва на одиницю приросту кількості продукції. Границя називається граничними витратами виробництва.

Граничний виторг. Нехай відома функція , якою подається ціна товару. Тоді добуток цієї функції на попит є виручка U (x). Границю називаються граничним виторгом.

Залежність фінансових зборів K від обсягу продукції х виражається формулою . При яких значеннях обсягу х фінансові збори почнуть зростати?

· Похідна . Звідси х > 100. Це означає, що коли обсяг продукції перевищує 100 грн., фінансові збори зростають.

Функцію попиту на будь-який товар можна подати у вигляді , де р — ціна товару; q — відповідний попит. Загальні витрати населення на цей товар становлять U = pq грн., а граничний виторг

.

Еластичність попиту щодо ціни подається у вигляді . Підставивши значення Е_с у формулу для , дістанемо вираз , з якого випливають такі висновки.

1. Якщо Е_с > 1, то . Отже, у разі еластичного попиту з підвищенням ціни виторг від продажу товару знижується.

2. Якщо Е_с =1, то = 0 Це означає, що коли попит найтральний, виторг від продажу даного товару не залежить від зміни ціни. Тоді q p = c, звідки де . Отже, за нейтрального попиту його розміри обернено пропорційні до ціни.

3. Якщо 0 < Е_с < 1, то 0. Якщо попит нееластичний, то з підвищенням ціни виторг зростає.

Нехай виконуються такі умови: 1) технологія виробництва не змінилася, причому основні виробничі фонди використовуються повністю; 2) K — розміри основних фондів у період t; 3) Q — обсяг виробництва предметів споживання з використанням цих фондів; 4) = β Q (t); β > 0 — залежність розміру основних фондів від обсягу виробництва предметів споживання; 5) — закон зміни приросту основних фондів за одиницю часу. З економіки відомо, що приріст основних фондів за одиницю часу є результатом капіталовкладень І; 6) — залежність капіталовкладень у період t від обсягу виробництва.

Подамо математичний аналіз принципу акселерації у вигляді таблиці.