Теорема. Крива, тоді і тільки тоді має асимптоту, коли існують скінченні границі

, . (1)

Доведення. Необхідність. Нехай пряма є асимптотою кривої , тобто виконується умова

.

Тоді

.

Це можливо лише у випадку:

,

звідки

,

причому — скінченне за умовою, оскільки пряму задано. Далі за умовою знаходимо , , причому — скінченне.

Достатність. Нехай тепер виконується умова (1), де k і b — скінченні границі, тоді , тобто за означенням — асимптота кривої .

Доведення теореми у випадку, коли , здійснюється аналогічно, потрібно лише замінити на .

Знайти асимптоти функції .

· У точці функція має розрив другого роду, тому — вертикальна асимптота. Знайдемо похилу асимптоту. За теоремою

, .

, .

Отже, пряма є асимптотою функції при (рис. 5.49).

Рис. 5.49

Чи має функція похилі асимптоти?

· Функція похилих асимптот не має, оскільки не існує границі .

Знайти похилі асимптоти кривої .

· Областю визначення кривої є частина площини, де . Застосовуючи теорему про побудову асимптот, дістаємо

,

.

Отже, пряма є асимптотою кривої при .

3. Горизонтальні асимптоти. Якщо в похилій асимптоті функції маємо , то таку похилу асимптоту називають горизонтальною асимптотою функції. Отже, горизонтальна асимптота — частинний випадок похилої — відшукується як похила асимптота за умов

,

і має вигляд . До речі, умову можна не перевіряти, якщо — скінченна границя, оскільки в такому разі границя завжди дорівнює нулю. Звідси можемо зробити висновок.

Для того щоб пряма була горизонтальною асимптотою функції , , , необхідно і достатньо, щоб існувала скінченна границя .

Знайти горизонтальні асимптоти функції .

· Маємо

, .

Отже, горизонтальні асимптоти (5.50).

Рис. 5.50

5.7.3. Загальний план дослідження функції

1. Знайти область визначення та значення функції, заданої формулою, якщо таку область не зазначено.

2. Дослідити функцію на парність, непарність, періодичність.

3. З’ясувати точки перетину функції з вісями координат.

4. Дослідити функцію на неперервність.

5. Знайти асимптоти графіка функції (якщо вони існують).

6. З’ясувати, як функція поводиться на кінцях кожного з проміжків області визначення (знайти границі функції на кінцях цих проміжків, якщо вони є).

7. Дослідити функцію на диференційовність.

8. Дослідити функцію на монотонність та екстремуми. Знайти екстремуми і значення функції в точках екстремуму.

9. Дослідити функцію на опуклість (вгнутість): знайти інтер­вали опуклості (вгнутості), а також точки перегину функції.

10. Знайти найбільше і найменше значення функції (якщо вони існують).

11. Побудувати графік функції.

Побудуємо графік функції .

1. Функція не існує в точках . Тому область визначення функції

2. Функція непарна, оскільки . З огляду на непарність функції достатньо побудувати її графік лише при .

Функція неперіодична.

3. Точки перетину з осями координат:

з віссю Ох:

(0; 0) — точка перетину з віссю Ох.

з віссю Оу:

(0; 0) — точка перетину з віссю Оу.

4. Функція невизначена в точці тому ці точки є «підозрілими» на розрив. Знайдемо односторонні границі в точці :

Точки — точки розриву другого роду.

— область неперервності функції.

5. Знаходимо асимптоти функції. Насамперед з’ясовуємо, що прямі — вертикальні асимптоти. (Це випливає з означення вертикальних асимптот та п. 4.)

Шукаємо похилу асимптоту

;

.

Отже, — похила асимптота.

6. В п. 4 знайдені односторонні границі функції в точках . Залишилось знайти границі функції, коли і

7. Знайдемо першу похідну від функції у (вона існує на D (x)):

8. Дослідимо функцію на монотонність і знайдемо точки екстремуму. Для знаходження стаціонарних точок прирівнюємо першу похідну до нуля:

Зважаючи на зауваження п. 2, розглядатимемо дослідження функції при

, коли ,

, коли

Тому — точка максимуму, — точка мінімуму.

9. Знайдемо другу похідну функції у:

Точка х = 0 може бути точкою перегину, бо Перевіримо це за критерієм. Визначимо знак в околі точки х = 0

Друга похідна змінює в точці х = 0 свій знак, тому функція має точку перегину х = 0, на проміжку (0; 1) функція опукла, (1, +∞) — функція вгнута.

10. Найбільше та найменше значення функції не існують.

11. Побудуємо графік функції, враховуючи дослідження.

Рис. 5.51

5.7.4. Дослідження та побудова
графіка функції, заданої параметрично

Функцію, задану параметрично, досліджують так само, як явно задані функції. Обчислюють першу та другу похідні і за їх допомогою будують графік.

Побудуємо графік функції

· Зауважимо, що в разі заміни t на t + 2p змінна х набуває приросту 2p:

Тому достатньо побудувати частину графіка при . Решту графіка дістаємо, перенісши вісь х.

1. При скінченних значеннях t значення х, у обмежені. Оскільки величина у завжди обмежена, то вертикальних асимптот немає. Відшукуємо похилі асимптоти:

;

не існує;

похилих асимптот також немає.

2. Знайдемо проміжки додатності та від’ємності функцій

, .

3. Знайдемо проміжки зростання та спадання функцій. Знайдемо критичну точку.

.

Якщо t = 0, t = 2p, то .

Отже, при t = 0, t = 2p не існує.

При t = p Þ . Отже, при t = p.

Визначаємо характер критичних точок.

У загальному випадку зі зростанням параметра t функція х зростає:

у точці при Þ і при Þ ,
отже, у точці t = 0 — маємо min;

у точці при Þ при Þ ,
отже, у точці t = p — маємо max;

у точці при Þ при Þ ,
отже, у точці t = 2p — маємо min;

у точках , маємо вертикальну дотичну, а в точці — горизонтальну.

4. Обчислюємо екстремальні значення функції:

t = 0	y = 0	x = 0;
t = p	y = 2	x = p;
t = 2p	y = 0	x = 2p.

5. Знаходимо проміжки опуклості та вгнутості.

Обчислюємо другу похідну:

.

Похідна скрізь від’ємна, крива вгнута (рис. 5.56).

Рис. 5.56

6. Дістали графік функції.