Тоді, якщо існує, то існує і та справджується рівність

ЗАСТОСУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОГО ЧИСЛЕННЯ ДО ОБЧИСЛЕННЯ ГРАНИЦЬ

5.4.1. Правило Лопіталя

Теорема 1. Нехай в околі точки а задано неперервно диференційовні функції f (x), j(x). Причому f (a) = j(a) = 0. Тоді в разі існування границі відношення похідних цих функцій при х ® а існує і границя відношення самих функцій при х ® а:

(1)

Доведення. Розглянемо деякий відрізок [ а, х ] з околу точки а, на якому для функцій f (x) і j(x) виконуються умови теореми Коші. Отже, між точками а і х знайдеться точка x, така що

або

. (2)

Переходячи в рівності (2) до границі при х ® а і враховуючи теорему про границю частки двох функцій, дістаємо (1). ¨

Зауваження. Правило Лопіталя можна застосовувати кількаразово, якщо для відповідної функції або похідної виконуються умови теореми Коші.

Зауваження. Функції f (x), j(x), які є неперервними та диференційовними в околі точки х = а, у самій точці а можуть не бути визначеними. Але якщо існують границі

то можна застосовувати правило Лопіталя до відношення . Якщо функції f (x) і j(x) невизначені в точці х = а, то визначаємо значення функцій f (x) і j(x) та їх граничні значення при х ® а:

Це можна зробити, оскільки ми розглядаємо границю відношення функцій, припускаючи, що в околі точки а виконується умова теореми Коші.

Теорема 2. Нехай функції f (x) і j(x) неперервні та диференційовні на півпрямій с < x < ∞ (–∞ < x < c), причому j(x) на цій півпрямій не перетворюється на нуль і водночас виконуються рівності:

Тоді, якщо існує, то існує і та справджується рівність

(3)

Доведення. Покладемо . Отже, якщо х → ∞, то z → 0. Маємо:

Розглянемо границю відношення

Якщо ця границя існує, то існує й границя . ¨

На підставі здобутих результатів можемо розглядати границі відношення нескінченно малих величин.

Границя відношення нескінченно малих величин дорівнює границі відношення їх похідних, якщо остання існує у зазначеному щойно сенсі.

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Теорема 3. Нехай функції f (x) і j(x) в околі точки х = а неперервні й диференційовні, причому . Тоді в разі виконання рівностей , та існування існує і :

. (4)

Доведення. Розглянемо деякий окіл точки а, в якому виконується умова теореми. У цьому околі візьмемо деяку точку й роз-
глядатимемо х із інтервалу a < х < а (аналогічно а < х < a).

Застосуємо до відрізка [a, х ] теорему Коші:

(a < x < х).

Отже,

За умовою . Звідси випливає, що для будь-якого малого виконується нерівність

або

. (5)

Знайдемо

Виберемо a так, щоб для заданого e справджувалася нерівність (5) і при х ® а виконувалися співвідношення: f (x) ® ∞ і j(х) ® ∞.

Тоді

або

. (6)

Перемножимо почленно (5) і (6):

. (7)

Вибираючи значення e достатньо малим і переходячи в останній нерівності до границі при х ® а, дістаємо (4).

Аналогічно розглядається випадок, коли х ® ∞. ¨

Якщо f (x) і j(x) неперервно диференційовні на півпрямій с < x < ∞ (– ∞ < x < c) , , причому існує , то існує і :

(8)

Границя відношення нескінченно великих величин дорівнює відношенню їх похідних у разі існування останніх.

1) ;

Зауваження. У формулах (4), (8) з існування границь відношення похідних випливає існування відношення функцій. Обернене твердження не буде правильним.

Обчислити .

· Згідно з правилом Лопіталя маємо:

Отже, границя даної функції не існує, оскільки не існує .

Але

Зауваження. Правило Лопіталя є ефективним методом розкриття невизначеностей. Проте застосування його не завжди дає змогу спростити здобутий вираз і знайти шуканий результат.

Знайти .

· .

Якщо застосувати правило Лопіталя вдруге, то функція під знаком границі набере початкового вигляду. Таким чином, за цим правилом не вдається розкрити невизначеність.

Але