Економічні задачі
Лінійна функція y = kx + b та її графік застосовуються для опису економічних залежностей між прямо пропорційними змінними.
Рис. 3.66
|
Початкова врожайність деякої зернової культури на малопридатних для землеробства землях становила 12 ц/га. Завдяки застосуванню інтенсивної технології передбачається щорічне її зростання на 2 ц/га. Записати закон зміни врожайності у як функції часу х. Обчислити її значення для п’ятого року застосування зазначеної технології (х = 5).
· Якщо х — час у роках, то виразом
у = 12 + 2 х подається шуканий закон зміни врожайності за час х. Звідси при х = 5 дістаємо: у = 12 + 2 · 5 = 12 + 10 = 22 (ц/га).
Знайдений результат унаочнюється графіком. (Рис. 3.66) ·
Рівняння виду 
може розглядатися як математична модель лінійної економічної залежності між змінними х та у, коли відомі дві різні пари (х 0; у 0), (х 1; у 1) значень цих змінних.
Повні витрати на виготовлення 5 умовних одиниць деякої продукції становлять 5,5 млн грн., а для виготовлення 10 таких одиниць — 9 млн грн. Знайти функцію витрат виробництва, вважаючи її лінійною. Визначити витрати на виготовлення 7 умовних одиниць продукції.
· За умовою задачі маємо дві пари чисел, які можемо тлумачити як координати двох точок (5; 5,5) і (10; 9) шуканої прямої. Згідно із записаним щойно рівнянням прямої, яка проходить через дві задані точки, дістаємо:
, або 
.
Отже, 
.
Підставивши в останню рівність значення х = 7, обчислимо шукані витрати: 
(млн грн.).
Повні витрати з перевезення вантажу залізничним і автомобільним транспортом подаються відповідно залежностями:
і 
,
де х, км, — відстань, на яку здійснюється перевезення; у — транспортні витрати.
Знаючи, що 0 < a1 < a2 i 0 < b2 < b1, встановити, яким видом транспорту і на яку відстань дешевше перевозити вантаж.
Рис. 3.67
· За умовою побудуємо прямі І і ІІ та знайдемо координати точок їх перетину як розв’язок системи рівнянь:
Отже, точка А перетину прямих І і ІІ має координати 
. Це означає, що при 
повні витрати з перевезення вантажу обома видами транспорту однакові й становлять 
(грн.). Розглядаючи графік рис. 3.68, доходимо висновку, що коли 
(км), дешевшими є автомобільні перевезення, а коли 
(км) — залізничні.
Бригада, що складається з х робітників-ремонтників і бригадира, виконуючи певне замовлення, щомісяця одержувала загалом 3000 грн. заробітної плати. Подати заробітну плату члена бригади виразом, коли відомо, що вона в усіх однакова і 50 грн. з належної кожному суми становлять різні відрахування.
· Заробітна плата у подається так:
,
а після відрахувань — у вигляді відповідної різниці:
.
Це рівняння гіперболи, горизонтальною асимптотою якої є пряма 
, а вертикальною — пряма 
. Рис. 3.68. ·
Лінії, які задані рівняннями
називаються лініями гіперболічного типу.
Такі лінії часто застосовуються в багатьох галузях знань. Наприклад, у фізиці такого виду графіки відповідають закону всесвітнього тяжіння Ньютона 
, закону Ома 
і т. ін.
Одне із застосувань таких ліній в економіці пов’язане з ім’ям італійського економіста Парето, який сформулював закон розподілу прибутків у капіталістичному суспільстві.
Закон Парето. Число у осіб, котрі мають прибуток не менш як х, можна визначити за формулою:
Зауваження. Закон Парето достатньо точно описує розподіл великих прибутків, але не справджується для низьких.
Нехай у деякому капіталістичному суспільстві розподіл прибутків серед особливо багатих осіб визначається так:
(1)
де у — число осіб, прибуток яких не менший від х.
Визначити: 1) число осіб, прибуток яких не менший від 105 дол.;
2) найменший прибуток серед 100 особливо багатих осіб.
· 1. За формулою (1) і умовою задачі маємо:
Отже, у даному суспільстві 300 осіб мають прибуток не менш як 105 дол.
2. Згідно з формулою (1) знаходимо 
. Якщо у = 100,
маємо
або
Таким чином, найменший прибуток серед 100 особливо багатих осіб становить 173 200 дол. ·
Вправи для самостійного розв’язування
Координати точок
1. Визначити координати вершин прямокутника, сторони якого паралельні осям координат, якщо координати кінців його діагоналі (– 4, 3) і (3, – 2).
2. Визначити координати вершин правильного трикутника зі стороною завдовжки 6, якщо центр його збігається з початком координат, а одна зі сторін паралельна осі абсцис.
3. Менша діагональ ромба дорівнює його стороні а. Визначити координати вершини ромба, узявши більшу його діагональ за вісь абсцис, а меншу — за вісь ординат.
4. Визначити координати вершин правильного трикутника, сторона якого дорівнює 12, якщо центр його збігається з початком координат, а одна зі сторін паралельна осі ординат.
5. Дано правильний шестикутник, сторона якого а. Визначити координати вершин цього шестикутника, якщо початок координат збігається з його центром, вісь ординат — з однією з діагоналей, а вісь абсцис перпендикулярна до двох протилежних сторін.
6. З початку координат як із центра накреслено коло радіусом r. Визначити координати кінця радіуса, нахиленого до осі абсцис під кутом 60°.
7. З початку координат як із центра накреслено коло радіусом r. Визначити координати кінця радіуса, нахиленого до осі абсцис під кутом 30°.
