Заметим, что в качестве функционала, имеющего экстремальную зависимость от управляющего, в реальных системах могут быть самые различные физические и технико-экономические показатели: напряжение, температура, производительность, коэффициент полезного действия и др. В большинстве случаев значения этих показателей отражают достигнутую оптимальность управляемых объектов, поэтому часто выходной параметр объекта экстремального управления (функционал J) называют показателем оптимальности.
Методы автоматического поиска в большинстве своем берут начало в вычислительной математике, где одной из наиболее распространенных задач является задача минимизации функции, называемой целевой функцией, одной или нескольких переменных. Как известно, необходимым условием экстремума функции J=J (u1, u2, …, un) является равенство
, (6.1)
где 
и еi – компоненты градиента и единичные векторы (орты) направлений компонент.
Для выполнения условия (6.1) необходимо определять компоненты градиента grad (J)и осуществлять управляющие движения в соответствии с измеренным градиентом в сторону экстремума (рабочие движения). Воздействия на объект с целью определения градиента называют пробными воздействиями.
Вопросы и задания
1. Что является предпосылкой к созданию адаптивных САУ?
2. Какие особенности и области применения различных типов адаптивных САУ в соответствии с приведенной классификацией?
3. Поясните состав структурной схемы самонастраивающейся САУ и назначение ее блоков.
4. Поясните принцип действия экстремальной САУ. Какое понятие из математики является базовым в построении экстремальных САУ?
6.2. Методы определения градиента целевой функции
Определении компонент градиента путем подачи на объект, обладающий функционалом выпуклой формы (рис.6.3), пробных воздействий может осуществляться за счет разделения пробных воздействий либо по времени, либо по частоте.
Оценка градиента с разделением по времени пробных воздействий.
В системах такого типа изучающие воздействия могут осуществляться в виде пробных шагов, подаваемых поочередно по каждой из входных переменных. В качестве пробных сигналов могут использоваться импульсы прямоугольной (рис.6.4а) и пилообразной (рис.6.4б) форм.
а). Оценка с использованием прямоугольных пробных импульсов.
Применяется для инерционных объектов.
Пусть в исходном положении вектор u имеет координаты ии..., ип. Дадим в интервале времени (0…Т) приращение с1 первой координате и1. По окончании переходного процесса измерим и запомним J=J (u1+с1, u2, …, un). Отношение
тем ближе к истинному значению частной производной производной, чем меньше с1. Аналогично поочередно могут быть определены все остальные частные производные в интервалах (Т…2Т), (2Т…3Т) и т.д. Величины пробных шагов по каждому из каналов (сi) определяются в основном чувствительностью устройств, измеряющих показатель оптимальности, и интенсивностью помех.
б). Оценка с использованием пилообразных пробных импульсов.
Применяется для безинерционных объектов.
Пусть в исходном положении вектор u имеет координаты ии..., ип. Дадим в интервале времени (0…Т) первой координате и1 линейно изменяющееся со скоростью v1 приращение.
Измеряется значение полной производной по времени для такого объекта
(6.2)
В каждый момент времени все производные 
управляющих переменных, кроме одной, равны нулю. Производная, отличная от нуля, имеет вполне определенное постоянное значение vt. Например, для 0<t<T (см. рис.6.4б)
(6.3)
При подстановке (6.3) в (6.2) для 0<t<Т получим
Пробные шаги в качестве изучающих воздействий получили наибольшее распространение из-за простоты технической реализации и простоты фильтрации помех, наложенных на показатель оптимальности. Когда величина J (t), поступающая в экстремальный регулятор, содержит, кроме показателя оптимальности, еще высокочастотную помеху f, для фильтрации помех можно использовать обычное усреднение величины у с помощью фильтра низких частот.
Рассмотренные выше способы достаточно просты в реализации и в этом их большое достоинство, однако они связаны со значительными затратами времени на поиск. Кроме того, в основу этих способов оценки составляющих градиента положено дифференцирование, что в любом случае приводит к снижению помехоустойчивости метода.
Оценка градиента с разделением пробных операций по частоте.
Наибольшее распространение среди этих методов получило синхронное детектирование - способ оценки составляющих градиента, позволяющий одновременно выполнять рабочие изменения управляющих параметров. Его применение возможно лишь тогда, когда выход объекта непрерывно контролируется, а на входе допускается подача непрерывных пробных сигналов.
Пусть до начала определения компонент градиента grad (J)на п входов многомерного безинерционного объекта экстремального управления (рис.6.5) поступают управляющие сигналы и1, и2, …, ип. Функционал J имеет некоторое начальное постоянное значение. Для определения компонент градиента к сигналам и1, и2, …, ип добавляются суммированием пробные гармонические сигналы е1, е2, …, еп небольшой амплитуды (в сравнении со значениями сигналов и1, и2, …, ип) вида
Обязательным условием является неравенство друг другу частот 
пробных сигналов.
Естественно, реакцией на все пробные сигналы будет изменение функционала J на величину, которую обозначим как 
.
Представляя выход J=J (х)объекта в окрестности рабочей точки с начальными значениями управляющих сигналов и1, и2, …, ип в ряд Тейлора. Учитывая малость амплитуд пробных сигналов ei, в разложении в ряд можно ограничиться членами, содержащими частные производные только первого порядка:
Сигнал 
поступает на один из входов блока умножения всех синхронных детекторов СДi. На другой вход всех блока умножения всех СДi поступают пробные сигналы (пока без учета ФСУi). Далее, для определенности, рассмотрим работу СД1.
Выходной сигнал w1 блока умножения, согласно рис.6.5, будет следующим
Фильтром низкой частоты ФНЧ1 выделяется среднее значение сигнала w1, которое равно
(6.4)
Второй интеграл суммы (6.4) равен
(6.5)
Остальные интегралы суммы (6.4) равны нулю, так как их значения равны средним значениям гармонических сигналов (синусоид и косинусоид). Поэтому значение сигнала g1 равно значению (6.5)
Если на вычисление функционала J влияет инерционность объекта ОУ, то пробные сигналы заводятся в блоки умножения синхронных детекторов предварительно получив сдвиг по фазе в ячейках фазосмещающих устройств ФСУi.
Таким образом, выходные сигналы g1, g2, …, gn всех синхронных детекторов прямо пропорциональны компонентам 
градиента функционала J. Так как все компоненты градиента определяются одновременно, то время определения их в совокупности минимально.
При практической реализации синхронного детектирования достаточную фильтрацию осуществляет обычный RC- фильтр низких частот.
Формулы (6.4) и (6.5) для синхронного детектора были выведены в предположении, что рабочие сигналы иi изменяется значительно медленнее, чем пробные сигналы ei.
Большим достоинством метода синхронного детектирования является простота поиска экстремума в многомерных объектах ОУ. В этом случае поисковые сигналы имеют разные частоты для разных каналов (рис.6.5), благодаря чему на каждом из синхронных детекторов СД вычисляется частная производная по соответствующей переменной.
В методе синхронного детектирования в качестве поисковых (пробных и опорных) сигналов могут использоваться, кроме синусоидальных, другие периодические сигналы. Например, удобным для технической реализации является меандр.
Синхронное детектирование обладает большой помехоустойчивостью благодаря операции усреднения в противоположность способам с разделением пробных воздействий во времени, где осуществляется дифференцирование выходного сигнала объекта.
Вопросы и задания
1. Поясните способ оценки градиента с разделением по времени пробных воздействий.
2. Как выглядят выходные сигналы целевой функции в способе синхронного детектирования в зависимости от положения рабочей точки относительно экстремальной точки целевой функции?
3. Поясните принцип действия схемы оценки градиента методом синхронного детектирования.
4. Как работает синхронный детектор?
5. Как учитывается схемой синхронного детектирования инерционность объекта управления?
6.3. Организация рабочих операций
в экстремальной САУ
Процедура определения частных производных градиента является пробным шагом в алгоритме работы экстремальной САУ. Далее в системе осуществляется рабочее движение (рабочий шаг) - движения к экстремуму. Достоинством сочетания такого пробного и рабочего шагов состоит в четкой математической обоснованности выбора вида рабочего шага в зависимости от результатов пробного, а именно, нужно двигаться в направлении возрастания градиента. Однако не всегда такое сочетание шагов возможно и оно может стать причиной слишком медленного движения к экстремуму целевой функции. Одним из аргументов, ставящих под сомнение эффективность сочетания пробного шага, определяющего градиент, и рабочего движения по направлению градиента является вид целевой функции J в области изменения управляющих сигналов и1, и2, …, ип (рис.6.6). Если целевая функция имеет единственную экстремальную точку (рис.6.6а), то эффективны градиентные методы, а при большем числе экстремальных точек (рис.6.6б) нужно применять другие способы.
Все способы сочетания пробных и рабочих шагов, классифицируются на градиентные, использующие информацию о градиенте целевой функции, и другие (не градиентные), такую информацию не использующие. К градиентным относятся методы градиента и наискорейшего спуска. К другим относятся методы покоординатной оптимизации и сканирования, симплекс-метод и метод случайного поиска.
Градиентные методы
Градиентные методы применяются для организации рабочих шагов в САУ, целевая функция которых имеет один экстремум (рис.6.6а).
Метод градиента
При этом методе рабочий шаг Δ u пропорционален градиенту
где а — коэффициент, т.е. по каждому из управляющих каналов рабочее воздействие пропорционально соответствующей частной производной.
Идею этого метода удобно рассмотреть для случая двух управляющих параметров на плоскости, где нанесены линии постоянного значения (линии уровня) оптимизируемой функции (рис.6.7). Линии уровня представляют собой замкнутые кривые, причем линии, соответствующие большему значению J (для случая экстремума - максимума) находятся внутри линий, соответствующих меньшему значению J. Кроме того, большему значению градиента соответствует более близкое расположение друг к другу линий уровня.
На рис.6.7 показана траектория поиска по методу градиента (1-2-3-4) в плоскости управляющих переменных и1 и и2. В каждой из точек 1, 2, 3 производится вычисление градиента и делается рабочий шаг: 1-2, 2-3, 3-4. Направление рабочего шага совпадает с нормалью к линиям уровня, а величина шага тем больше, чем больше модуль градиента. До завершения движения по выбранному направлению, заключающемуся в перемещении по всем направлениям на величины, равные частным производным, вычисление градиента блокируется. Так, на траектории 1-2 произошло два пересечения линии уровня, причем после второго пересечения произошло явное удаление от экстремума целевой функции.
Метод наискорейшего спуска (крутого восхождения)
Рабочий шаг при этом проводится в направлении градиента, однако величина его определяется не модулем градиента, а условием достижения экстремума в направлении градиента. На рис.6.6 показана траектория поиска по методу наискорейшего спуска (5-6-7-8). Линия рабочего шага 5-6, например, касается одной из линий уровня. В момент касания 6 движение по выбранному направлению останавливается и в точке 6 останова снова вычисляется градиент и организуется движение по вектору 6-7 и т.д.
Из рис.6.7 видно, что шаг 6-7 значительно больше, чем шаг 5-6, хотя модуль градиента для точки 5 больше, чем для точки 6, о чем можно судить по расстоянию между линиями уровня. Также видно, что в сравнении с градиентным методом пройдено расстояние 5-7, которое больше расстояния 1-3, и точка 7 находится ближе точки 3 к точке экстремума целевой функции.
При сравнении двух описанных методов установлено, что наименьшее число шагов для попадания в окрестность экстремальной точки требуется при применении метода наискорейшего спуска. Речь идет о числе шагов, получаемом путем усреднения для различных траекторий поиска по какой-либо области начальных условий.
Не градиентные методы
Не градиентные методы применяются для организации рабочих шагов в САУ, когда количество управляющих сигналов и1, и2, …, ип слишком велико (несколько десятков), когда целевая функция имеет несколько экстремумов (рис.6.6б) и также в случаях, когда требование простоты блока адаптации (БА на рис.6.2) является решающим фактором.
Метод покоординатной оптимизации (метод Гаусса-Зайделя)
Этот метод наиболее часто применяется в системах, где для многопараметрической оптимизации (поиска экстремума для объектов с несколькими управляющими входами) используются простые одноканальные экстремальные регуляторы, позволяющие находить экстремум функции одного переменного. При таком методе поиска изменяется один из управляющих параметров (при всех остальных зафиксированных и, поэтому, неизменных) до тех пор, пока не будет достигнут экстремум по этому параметру. После этого начинается аналогичный поиск экстремума по другой переменной при всех остальных зафиксированных.
Траектория поиска по методу Гаусса-Зайделя показана на рис.6.7 (9-10-11-12-13). Как видно, вначале изменяется и2 при и1=const до точки касания линии движения с линией уровня (точка 10), где выполняется условие dJ/du2=0. Затем аналогично изменяется переменная и1 и т. д.
Метод случайного поиска (метод Монте Карло)
Если целевая функция имеет несколько экстремумов (рис.6.6б) и нет абсолютно никакой информации о расположении экстремальных точек в области управляющих сигналов и1, и2, …, ип, то эффективным может быть метод случайного поиска. Суть метода в том, что задаются случайные значения управляющим сигналам и1, и2, …, ип и этим на ощупь определяются области возможных экстремумов. Естественно, затраты времени на осуществление случайного поиска будут большими.
Когда области возможных экстремумов установлены, то на заключительном этапе можно перейти к градиентным методам или к методу Гаусса-Зайделя.
Если в процессе работы САУ может измениться карта целевой функции, то нужно эпизодически возвращаться к чистому случайному поиску.
Метод сканирования (полного перебора)
Если целевая функция имеет несколько экстремумов и о расположении экстремальных точек в области управляющих сигналов и1, и2, …, ип, нет никакой информации, то наряду со случайным поиском может оказаться эффективным перебор значений всех управляющих сигналов – метод сканирования. Теоретически такой перебор потребует неограниченного времени. Для сокращения времени выхода на точку глобального экстремума нужно методом проб и ошибок наращивать величины изменений Δи1, Δи2, …, Δип управляющих сигналов и сочетать полный перебор со случайным выбором начальной точки движения.
Симплекс-метод (метод триангуляции)
Этот является улучшенных вариантом метода покоординатной оптимизации.
Симплексом называют простейшие фигуры в соответствующих пространствах. На рис.6.8 показаны симплексы: одномерный — отрезок прямой (рис.6.8а), двумерный - треугольник (рис.6.8б), трехмерный—четырехгранная пирамида (рис.6.8в).
Идея симплекс-метода поясняется на примере двумерной задачи (рис.6.9). Как и раньше, оптимизируемая функция, имеющая максимум, изображается на плоскости с помощью линий уровня. В исходной области в трех точках (1, 2, 3), являющихся вершинами симплекса, определяются соответственно значения целевой функции: J1, J2 и J3. Эти значения упорядочиваются по величине, например, пусть получено 
. Следующая точка 4 находится как зеркальное отображение вершины симплекса с наименьшим значением функции J1 относительно стороны, опирающейся на точки со значениями J2 и J3. Образуется новый симплекс J2, J3 и J4. Вычисляется значение целевой функции J4 в точке 4 образовавшегося симплекса (2, 3, 4). Пусть для него получено соотношение 
. Следующая точка 5 находится как зеркальное отображение вершины J2 относительно стороны, опирающейся на точки J3 и J4. Подобным образом осуществляется шаг за шагом движение к экстремальной точке по траектории (5-6-7-8-9-10-11-12).
Как показывают числовые эксперименты, симплекс-метод по времени поиска экстремума эффективнее метода покоординатной оптимизации, так как, по существу, позволяет совершать движение одновременно по всем сигнала управления и1, и2, …, ип. Кроме того, симплекс-метод позволяет находить локальные экстремумы, для чего нужно периодически случайным образом задавать три начальных точки в плоскости сигналов управления. Возможен также симплекс-метод с изменяющейся длиной стороны симплекса, а именно, в начале движения нужно задавать большое значение с длины стороны симплекса, а по мере приближения к экстремуму длину с стороны нужно уменьшать.
Симплекс-метод позволяет решать задачи оптимизации в самых сложных ситуациях, когда количественная оценка оптимизируемой функции затруднена и удается получать лишь качественные суждения типа: "в этой точке значение J – наихудшее", так как для дальнейшего движения важно указать лишь одну наихудшую точку.
Вопросы и задания
1. Какие методы движения к экстремуму применяются в экстремальных САУ? Что нужно учитывать при выборе такого метода?
2. Поясните градиентные методы.
3. Поясните методы покоординатной оптимизации, случайного поиска и сканирования.
4. Поясните симплекс-метод.
6.4. Пример экстремальной САУ асинхронного
электропривода по минимуму потребляемого тока
Электродвигатель как элемент электропривода должен обеспечить заданные значения момента М и частоты вращения ω (рис.6.10). Если требуется регулирование частоты вращения, то для питания АД целесообразно использовать в качестве источника питания преобразователь частоты (ПЧ) с раздельным регулированием величины U и частоты f напряжения статора АД. Частота вращения ω практически целиком определяется частотой f напряжения статора АД. Если частота вращения ω АД, однажды установленная, не меняется, то это значит, что частота f питающего напряжения зафиксирована.
От источника питания АД потребляет ток IS. Величина тока IS зависит от величин U и f напряжения статора и величины момента сопротивления МС нагрузки. Качественно эти зависимости выглядят следующим образом:
1. При изменениях момента сопротивления нагрузки МС пропорционально ему изменяется ток статора IS;
2. При значительном понижении величины U напряжения статора и зафиксированной частоте f двигатель, чтобы развить вращающий момент равный моменту сопротивления МС нагрузки, ток статора должен возрасти, так как
~ 
где ωД – частота вращения вала АД, которая прямо пропорциональна частоте f питающего напряжения;
η и cosφ – к.п.д. и коэффициент мощности АД.
3. При значительном повышении величины U напряжения статора и фиксированной частоте f магнитопровод статора входит в насыщение, поэтому резко уменьшается индуктивное сопротивление АД по цепи основного магнитного потока и ток статора возрастает. Объяснением этому являются следующие три положения:
- амплитуда Фт магнитного потока статора прямо пропорциональна напряжению U, приложенному к катушкам статора,
U~4,44·f·w·Фт;
- напряженность Н магнитного поля статора прямо пропорциональна току IS в его обмотках;
- связь между напряженностью Н и магнитным потоком Фт нелинейная и, следовательно, нелинейна связь между током IS и напряжением U, причем ток IS растет быстрее напряжения U, например, при увеличении напряжения U на 20% ток IS возрастает в 2…3 раза (рис.6.11).
Таким образом, на качественном уровне установлено возрастание тока статора АД как при чрезмерном уменьшении, так и при чрезмерном увеличении напряжения статора, если частота питающего напряжения постоянна. Отсюда следует, что должно существовать такое напряжение U питания статора, при котором ток статора IS минимален.
Такие зависимости представлены на рис.6.12 для малой МН и большой БН механической нагрузок.
Рассмотрим работу адаптивного асинхронного электропривода, приняв качестве управляемого сигнала напряжение U статора АД, а в качестве целевой функции – ток статора IS, который нужно минимизировать.
Примем большую первоначальную загрузку АД и режим его электропотребления, обозначенный точкой 0 на графике БН с током I0. Далее блок адаптации выполняет совмещено пробные и рабочие шаги:
1). Напряжение U уменьшается на величину ΔU. По истечении времени переходного процесса в обмотках статора АД его ток примет значение I1, соответствующее точке 1. Вычисляется разность токов ΔI10=I1-I0 . Так как изменение тока положительное (ΔI10>0), то шаг 0-1 сделан в неверном направлении.
2). Напряжение U увеличивается на величину ΔU. По истечении времени переходного процесса в обмотках статора АД его ток примет значение I0, соответствующее точке 0.
3). Напряжение U увеличивается на величину ΔU. По истечении времени переходного процесса в обмотках статора АД его ток примет значение I2, соответствующее точке 2. Вычисляется разность токов ΔI20=I2-I0. Так как изменение тока отрицательное (ΔI20<0), то шаг 0-2 сделан в верном направлении..
4). Напряжение U увеличивается на величину ΔU. По истечении времени переходного процесса в обмотках статора АД его ток примет значение I3, соответствующее точке 3. Вычисляется разность токов ΔI32=I3-I2 . Так как изменение тока положительное (ΔI32>0), то шаг 2-3 сделан в неверном направлении.
5). Снова возврат на точку 2 и определение тока I2.
6). Шаг в точку 0 и повторение уже вышеописанных шагов.
САУ будет совершать автоколебания за счет повторяющихся проходов точек по цепи 0-2-3-2-0-2-3-…. Ток статора будет удерживаться на минимальном уровне в окрестности точки 2.
Пусть в тот момент, когда напряжение статора было равным U0, соответствовало точке 0 на графике БН, нагрузка АД уменьшилась, так что график IS (U) принял форму графика МН (рис.6.11). Измеренный при этом ток стал равным I4. Так как изменение тока ΔI24=I2-I4, то этот шаг воспримется блоком адаптации как правильный. Поэтому следующий шаг будет сопровождаться уменьшением напряжения U с выходом на точку 6. Далее блок адаптации, двигаясь по графику МН, выйдет в окрестность точки 7. Автоколебания установятся по цепи точек 7-8-7-6-7-…. Ток статора будет удерживаться на минимальном уровне в окрестности точки 7.
Для уменьшения амплитуда автоколебаний необходимо уменьшать шаг ΔU, а для ускорения выхода на минимум тока – нужно ΔU увеличивать. Таким образом очевидна целесообразность изменения шага ΔU в зависимости от близости к точке минимума тока. В качестве критерия изменения величины шага ΔU можно принять величину ΔI изменения тока статора на очередном шаге. При уменьшении ΔI, что свидетельствует о приближении к точке минимума графика, нужно также уменьшать шаг ΔU.
