2) коэффициенты а1, а2 и т.д. из выражения S (z) (4.33) переходят на соответствующие места в выражении суммы S (п).
На основании изложенного можно осуществлять переход от ДПФ корректирующего устройства к вычислениям над его входными и выходными импульсами по, так называемым, разностным уравнениям. Для наглядности рассмотрим числовой пример.
Пример
Пусть ДПФ корректирующего устройства имеет вид (4.32).
Составим разностное уравнение для расчета текущего значения выходного импульса и (п) корректирующего устройства.
Решение
1. Приведем выражение (4.32), поделив числитель и знаменатель его на z в максимальной степени:
2. Составим операторное уравнение корректирующего устройства
3. Осуществляем переход к уравнению над значениями решетчатых функций сигналов u (z) и ε (z)
Получено разностное уравнение, связывающее арифметическими действиями входные и выходные импульсы корректирующего устройства.
4. Текущее значение выходного сигнала и (п) корректирующего устройства вычисляется по выражению
(4.35)
Структура выражения (4.35) показывает, что для определения текущего значения выходного сигнала и (п) корректирующего устройства необходимо взять предшествующие значения выходного и (п-1) и входного ε (п-1) сигналов, предшествующие на 2 такта значения и (п-2) и ε (п-2) и предшествующие на 3 такта значения и (п-3) и ε (п-3) и выполнить над ними вычисления. Предшествующие значения необходимо хранить в оперативном запоминающем устройстве микропроцессорного управляющего устройства.
5. Алгоритм вычислений и (п) по (4.35) является циклическим и имеет вид, приведенный на рис.4.26.
Вопросы и задания
1. Дайте определение смещенной решетчатой функции и их сумме.
2. Выведите формулу для вычисления значения произвольного п-го импульса решетчатой функции суммы смещенных сигналов.
3. Что такое "разностное уравнение" и как оно выводится из ДПФ корректирующего устройства?
4. Поясните алгоритм работы корректирующего устройства.
4.10. Определение дискретных передаточных функций
микропроцессорных устройств, реализующих
работу непрерывных устройств
Применяемые в непрерывных САУ регуляторы, корректирующие устройства, фильтры, фазовращатели и другие устройства могут быть реализованы не только на непрерывных элементах, но и на микропроцессорной технике. Для микропроцессорной реализации непрерывных устройств необходимо рассчитать их ДПФ так, как это было рассмотрено в теме 4.4, и дальше выйти на разностное уравнение так, как это было рассмотрено в теме 4.9. Этим путем можно получить разностное уравнение, которым точно воспроизводится процедура преобразования входного сигнала устройства в выходной его сигнал при любом законе изменения входного сигнала.
Однако этот путь является громоздким, требующем объемных расчетов и преобразований. В практике проектирования микропроцессорных систем автоматики охотнее пользуются более простым методом, хотя расчеты по нему имеют погрешность. Суть метода состоит в прямом переходе, минуя z- изображения, от дифференциальных уравнений, описывающих работу устройства. к разностному. Ниже на двух примерах рассмотрен этот метод. Результаты легко обобщаются на любые другие устройства.
1. Микропроцессорная реализация ПИ-регулятора
Передаточная функция W (p) ПИ-регулятора, его дифференциальное уравнение и переходный процесс u (t):
(4.36)
(4.37)
Точное определение производной 
содержит предельный переход по переменной t, изменение которой Δt стремится к нулю. В импульсных САУ шаг изменения времени ограничен периодом Т следования импульсов. Поэтому производная может быть определена только приближенно
, (4.38)
где ип – текущее и ип-1 – предшествующее значения сигнала и.
Применим (4.38) к дифференциальному уравнению (4.36)
, (4.39)
откуда получим формулу для вычисления текущего значения ип выходного импульса ПИ-регулятора в микропроцессорном исполнении
(4.40)
Выражение (4.40) является, по существу, разностным уравнением, воспроизводящем дискретно работу ПИ-регулятора. Явственно видно, что вывод разностного уравнения при исходно заданной непрерывной передаточной функции гораздо проще, чем вывод с использованием z -изображений. Но при проделанном выводе была использована всего лишь одна приближенная замена (4.38) непрерывной производной на ее дискретный аналог. Поэтому, следует ожидать, что и разностное уравнение (4.40) также будет неточным.
Для оценки погрешности в работе ПИ-регулятора от приближенного определения производной по (4.38), рассчитаем переходный процесс для микропроцессорного ПИ-регулятора и сравним его точным переходным процессом (4.37). Особенностью вычислений текущего значения сигнала ип по формуле (4.40) является то, что ип вычисляется рекуррентно, через предшествующие значения сигналов и и ε. С таким выражением ип невозможно оценить погрешность работы дискретного ПИ-регулятора. Нужно перейти от рекуррентных вычислений к формульным, в которых значение ип рассчитывалось бы в функции номера п импульса.
Вывод формулы для вычисления сигнала ип в функции п выполним на примере, когда на входе ПИ-регулятора действует сигнал единичного скачка со значениями входных импульсов с момента времени t=0
До момента t=0, естественно, нужно считать, что 
.
Вычисления значений выходного сигнала ип ПИ-регулятора при п=0, 1, 2,… проводим по формуле (4.40):
| Номер п импульса | Вычисления ип | |
| 0 | u0 = 0 + bT +a (1-0) =a+bT | |
| 1 | u1 = u0 + bT +a (1-1) =a+bT+bT | |
| 2 | u2 = u1 + bT +a (1-1) =a+bT+2bT | (4.41) |
| : | : | |
| п-1 | un-1 = un-2 + bT +a (1-1) =a+bT+ (n-1) bT | |
| п | un = un-1 + bT +a (1-1) =a+bT+nbT |
В последней строке системы (4.41) содержится искомая формула для вычисления сигнала ип в функции номера п импульса.
Теперь рассчитаем решетчатую функцию для выходного сигнала (4.37) непрерывного ПИ-регулятора. Эта решетчатая функция получается при замене в (4.37) непрерывного времени t на дискретное время пТ:
Графики переходных процессов для непрерывного uп (t) и импульсного un ПИ-регуляторов построены на рис.4.27. Отличаются графики друг от друга на величину ип-ип (t)= a+bT+nbT- a+bnT=bT. Это и есть величина погрешности работы дискретного ПИ-регулятора.
Для уменьшения этой погрешности нужно уменьшать как параметр b, так и период Т следования импульсов. Параметр b обратно пропорционален постоянной времени ТИ интегральной части ПИ-регулятора. Поэтому с увеличением ТИ различие между графиками un (t) и un уменьшается.
Следует отметить, что погрешность величиной bT возникает при отработке ПИ-регулятором входного сигнала типа единичного скачка. При другом входном сигнале, погрешность также будет другой, причем существуют следующая закономерность – с увеличением скорости изменения входного сигнала погрешность интегратора также возрастает. Для дискретного ПИ-регулятора. рассчитанного с использованием z -изображений, такой зависимости погрешности от скорости изменения входного сигнала не существует.
2. Микропроцессорная реализация фильтра низкой частоты (ФНЧ)
ФНЧ пропускает сигналы низких частот и задерживает сигналы высоких частот. Схема ФНЧ 2-го порядка на аналоговых элементах приведена на рис.4.28. Передаточная функция и дифференциальное уравнение фильтра имеют вид
(4.42)
Вторая производная в дискретном варианте будет иметь вид
(4.43)
Подставляем в (4.42) выражения (4.38) и (4.43). Получаем разностное уравнение
откуда может быть найдено текущее значение ип выходного сигнала ФНЧ.
В заключение следует отметить, что для дискретных устройств, воспроизводящих работу непрерывных, независимо от того, каким методом получены их разностные уравнения, погрешность их работы можно уменьшить путем увеличения частоты следования импульсов 
или, что эквивалентно, уменьшения периода Т их следования.
Вопросы и задания
1. Назовите методы вывода разностных уравнений, воспроизводящих работу непрерывных устройств. Перечислите достоинства и недостатки методов и сформулируйте области их применения.
2. Как выводятся разностные уравнения непосредственно из дифференциальных уравнений 1-го порядка, описывающих непрерывные устройства? Из-за чего возникает погрешность вывода разностного уравнения?
3. Как оценить величину погрешности работы дискретного устройства? Почему для получения оценки погрешности нужно иметь формулу для вычисления выходного сигнала дискретного устройства в функции его номера?
4. От чего зависит погрешность работы дискретного устройства и как её можно уменьшить?
5. Как выводятся разностные уравнения непосредственно из дифференциальных уравнений 2-го порядка, описывающих непрерывные устройства? Из-за чего возникает погрешность вывода разностного уравнения?
5. ОПТИМАЛЬНЫЕ САУ
5.1. Постановка задач оптимального управления.
Вариационные методы теории оптимальных САУ
Оптимальными называются САУ, которые обеспечивают регулирование, доставляющее экстремум показателям качества, например, работа с максимальной производительностью, минимальным потреблением энергии, максимальным к.п.д. и т.д. Указанную суть оптимальных САУ и особенности постановки и решения задач оптимальных САУ рассмотрим на примере нескольких простейших примеров.
1. Задача о кратчайшем расстоянии (min L) между двумя точками (рис.5.1).
Между двумя точками может быть бесконечное множество траекторий (маршрутов), каждой из которых можно сопоставить обобщенную характеристику L – длину траектории. На плоскости (рис.5.1а) ответ очевиден: из всех возможных траекторий 1, 2 или 3 кратчайшей будет прямая линия 2. Если между точками А и В имеется препятствие, например, холм (рис.5.1б), то очевидно только то, что по прямой линии движение невозможно, а определение кратчайшей линии, которая будет состоять из прямых и криволинейных отрезков, проходящих по склону холма, является сложной для решения задачей.
2. Задача о форме провисающей цепи корабельного якоря, форме провисающих проводов линии электропередачи и т.п. Оказывается, что провисающие якорная цепь, провода и т.п. всегда принимают такую форму, при которой сумма W потенциальных энергий элементарных масс цепи или провода принимает минимальное значение (min W), т.е. изменение формы цепи или провода происходит до тех пор, пока это понижает их потенциальную энергию.
3. Задача об управлении электродвигателем по максимуму к.п.д. Необходимо найти такой закон изменения напряжения его питания, чтобы в процессе выполнения заданного объема работы были бы минимальны тепловые потери в его обмотках. Такое управление максимизирует к.п.д.
Решение рассмотренных задач не элементарно, а основано на строгих математических теориях, в которых обязательными компонентами являются аргумент и функция. В математической постановке задач оптимального управления содержание и смысл аргумента и функции отличается от аналогичных понятий, используемых в классической высшей математике. В классической высшей математике связь между аргументом х и функцией у является точечной, а именно: числовому значению аргумента сопоставляется числовое значение аргумента в виде аналитической функции y=f (x). В задачах оптимального управления аргументом является формула, которая является аналитическим (формульным) описанием траектории (в рассмотренной задаче 1), линии (в задаче 2), закона изменения во времени (в задаче 3) и т.п. Функцией является число (точечное значение), которое является обобщенной характеристикой формульного аргумента: длина пути в задаче 1, потенциальная энергия в задаче 2, величина потерь энергии в задаче 3 и т.п.
Связь между формульным аргументом и числовой функцией называется функциональной связью, а аналитическая запись этой связи называется функционалом.
В качестве функционала чаще всего используют определенный интеграл
(5.1)
Подинтегральное выражение F является аргументом функционала и одновременно функцией от точечных аргументов, например, 
. Сам же интеграл J является числом, что подходит под определение функции функционала.
Смысл решения задач оптимального управления состоит в определении такой аналитической зависимости y=f (t), при которой значение функционала J экстремально – минимально или максимально. Определенное таким образом решение называется экстремалью. Так, в задаче 1 необходимо найти такое аналитическое описание траектории, у которой длина будет минимальна, в задаче 2 необходимо найти такую форму провисающей цепи, чтобы потенциальная энергия цепи была бы минимальна, в задаче 3 необходимо найти такой закон изменения во времени питающего напряжения, чтобы тепловые потери в электродвигателе были бы минимальны и т.п.
Для решения задач оптимального управления существуют специальные математические методы. Ниже будут рассмотрены два самых распространенных метода: классический вариационный метод и метод принципа максимума Понтрягина.
Основные формулы и теоремы вариационного исчисления
Вариационное исчисление позволяет отыскивать экстремали функционала,
Основной теоремой вариационного исчисления является теорема Эйлера: если функция у=у (t) доставляет экстремум интегралу J, то она должна удовлетворять следующему дифференциальному уравнению (уравнению Эйлера):
(5.2)
Решение уравнения Эйлера называется экстремалью.
Применим уравнение Эйлера для определения формы линии на плоскости (рис.5.1а), которая кратчайшим способом соединяет две точки – А и В.
Длина элементарного участка траектории согласно рис.5.1а равна
Длина всей линии
. Здесь 
Находим частные производные от F и производную по аргументу х
(5.3)
Подставляем (5.3) в уравнение Эйлера (5.2)
,
откуда
Это уравнение прямой линии, соединяющей точки А и В. Постоянные интегрирования находятся из условия прохождения прямой чрез точки А и В.
В общем случае уравнение Эйлера является дифференциальным уравнением второго порядка, и в решение его входят две произвольные постоянные. Эти произвольные постоянные должны быть определены из граничных условий. Простейшим случаем граничных условий является условие, чтобы кривая у (t) проходила через две заданные точки: 
.
В частных случаях уравнение Эйлера может превращаться в дифференциальное уравнение 1-го порядка, или даже в уравнение, не содержащее производных. Соответственно должно уменьшаться и число задаваемых граничных условий.
Уравнение Эйлера является необходимым, но не достаточным условием, т.е. функции, удовлетворяющие уравнению (5.2), в некоторых случаях могут не доставлять экстремума. Для того чтобы решения уравнения Эйлера доставляли экстремум функционалу (5.1), достаточно, чтобы они не имели самосопряженных точек (условие Якоби) и выполнялось условие (Лежандра):
- для минимума и 
- для максимума функционала (5.1).
Задача о разыскании экстремума функционала (5.1) является простейшей задачей вариационного исчисления. Существуют обобщения (варианты) вариационных задач, постановка которых несколько шире простейшей.
Первым обобщением простейшей задачи является пространственная задача, когда функционал зависит от нескольких функций у1, у2, … (в классическом понимании), входящих в подинтегральную функцию F (функция F является аргументом функционала)
(5.4)
В этом случае нам нужно найти п функций от t, т.е. у1, у2…уn, которые при подстановке в (5.4) доставят экстремум функционалу J. Эти функции находятся из системы п уравнений Эйлера:
Другим (особенно нужным для задач автоматического управления) обобщением простейшей задачи вариационного исчисления является задача на условный экстремум, когда функции yi (t), входящие в функционал (5.4), должны удовлетворять еще некоторым добавочным условиям. Наиболее общим случаем задачи на условный экстремум является общая задача Лагранжа, когда n функций у1, у2,…, уn, доставляющих максимум функционалу (5.4), удовлетворяют еще системе, состоящей из k интегральных, m дифференциальных и l алгебраических выражений:
 |
(5.5)
В этом случае составляется m уравнений Эйлера для промежуточной функции L, определяемой равенством:
(5.6)
где λ1, λ2,…,λk – постоянные числа, а λk+1 (t),…, λk+m+l (t) - произвольные функции от t. Итого для определения n функций у и k+m+l функций λ (t) имеем систему из n+m+k+l уравнений: n уравнений Эйлера и k+m+l уравнений (5.6).
Следующим обобщением простейшей задачи вариационного исчислений является задача отыскания экстремума функционала, зависящего не только от первой, но и от старших производных искомой функции:
решение ищем из уравнения Эйлера—Пуассона:
,
которое является в общем случае дифференциальным уравнением порядка 2n. Для полного определения искомой функции у (t) необходимы 2n граничных условий, которые могут быть заданы, например, путем задания значений функции у (t) и (п-1) ее производных в точках t1 и t2.
Самым сложным обобщением простейшей задачи вариационного исчисления является задача, в которой на искомую функцию у (t) накладываются дополнительные ограничения в виде неравенств.
Заданное неравенство или система неравенств ограничивают некоторую область, и искомая функция у (t), доставляющая экстремум, может заключаться только внутри этой допустимой области и не может выходить за ее пределы.
Поэтому при решении этой задачи (называемой часто задачей на ограниченную вариацию) могут встретиться следующие три возможности:
1. Решение уравнения Эйлера целиком находится внутри допустимой области и нигде не выходит за ее пределы. В этом случае искомая функция целиком определяется уравнением Эйлера, и наличие неравенств на решение не влияет.
2. Решение уравнения Эйлера целиком находится вне допустимой области. В этом случае экстремальное значение функционала (5.1) будет достигаться тогда, когда функцией у (t), входящей в (5.1), будет являться граница допустимой области. Решением будет граничная кривая.
3. Решение уравнения Эйлера пересекает границу допустимой области. В этом случае экстремум будет достигаться на кривой, "склеенной" из кусков экстремалей и кусков граничных кривых.
Наиболее сложным для исследования является третий случай. В нем мы должны не только найти уравнения экстремалей и уравнения границы допускаемой области, но и координаты точек "склеивания". Найти эти точки помогает следующая теорема: в точках "склеивания" касательная к экстремали и касательная к граничной кривой должны совпадать.
Наконец, надо отметить, что экстремум может достигаться на "ломаных экстремалях", имеющих точки разрыва в первой или в старших производных. В этом случае в точках разрыва ti должны выполняться условия Вейерштрасса-Эрдмана:
Индекс ti-0 означает, что производные берутся при t, стремящемся к ti слева, а ti+0 означает, что t стремится к ti справа. Условия Вейерштрасса-Эрдмана являются теми добавочными условиями, которые позволяют нам найти угол наклона касательных к искомой функции у (t) в точках излома и тем самым полностью определить ее.
Экстремум может достигаться на разрывных функциях и на функциях, удовлетворяющим неравенствам
(5.7)
Нахождение экстремалей в этом случае методами вариационного исчисления чрезвычайно сложно и часто невозможно. Для решения подобных задач эффективен принцип максимума Понтрягина (см. тему 5.8).
Вопросы и задания
1. Приведите и поясните особенности задач на поиск оптимальных решений.
2. Что такое функционал и в чем его отличие от классической функции?
3. Что такое экстремаль и как её найти в простейшем случае?
4. Поясните решение задачи нахождения линии кратчайшей длины, соединяющей две точки на плоскости.
5. Приведите формулировку и метод решения вариационной задачи, зависящей от нескольких функций.
6. Приведите формулировку и метод решения вариационной задачи, на решение которой наложены ограничения в виде алгебраических и интегральных равенств.
7. Приведите формулировку и метод решения вариационной задачи, решение которой склеиваются от отдельных линий.
8. Приведите формулировку и метод решения вариационной задачи, на решение которой наложены ограничения в виде алгебраических и интегральных неравенств.
5.2. Оптимальное управление ДПТ с независимым
возбуждением при постоянном моменте сопротивления
Функционалом является угол поворота α ротора ДПТ за заданное время Т
(5.8)
Уравнением связи является уравнение динамики электропривода, записанное в относительных единицах,
(5.9)
Ограничением является заданное количество тепла, выделившееся в обмотке якоря за время Т,
(5.10)
Расширенная функция
(5.11)
Уравнение Эйлера (по переменной ω) от расширенной функции и его решение
(5.12)
Из последнего уравнения ряда (5.12) следует оптимальный закон изменения частоты вращения
(5.13)
Подстановка (5.13) в уравнение (5.9) и вычисления позволяют найти оптимальный закон изменения тока
(5.14)
Проведенные расчеты показали, что при оптимальном управлении частота вращения должна изменяться по параболическому закону (5.13), а ток – по линейному (5.14).
Постоянные интегрирования С1, С2 и коэффициент λ 0 определяются с учетом граничных условий ω 0 и ωТ для частоты вращения и заданных тепловыделений QЗ.
Примем условие, что в начале и конце движения ДПТ неподвижен: ω 0= ωТ =0. Тогда из (5.13) следуют:
(5.15)
После подстановки (5.15) в (5.13) и (5.14) оптимальные законы примут вид
(5.16)
Ток iОПТ в начале движения (при t=0) должен превышать момент нагрузки М. Тогда из (5.16) следует: λ0<0.
Для определения коэффициента λ 0 при М=0 вычислим интеграл (5.10):
