В других случаях устойчивость нелинейной САУ проводят либо по критериям Гурвица для гармонически линеаризованной системы, либо по частотным критериям чем-то похожим на критерий устойчивости Найквиста, либо с помощью 2-го метода Ляпунова. Критерий Гурвица для гармонически линеаризованной нелинейной САУ и частотный критерий устойчивости Попова применимы в тех случаях, когда нелинейности являются безгистерезисными. Такие нелинейности классифицируются как нелинейности k1 -типа и (k1, k2)-типа, если они целиком располагаются в заштрихованных секторах I -го и III -го квадрантов в соответствии с рис.3.29. Вторым методом Ляпунова можно исследовать на устойчивость САУ с нелинейностями любого типа. Ниже рассмотрены критерий устойчивости Гурвица для гармонически линеаризованной нелинейной САУ и частотный критерий устойчивости Попова.
1. Оценка устойчивости с помощью критерия Гурвица.
Рассмотрим нелинейную САУ 3-го порядка, содержащую нелинейность k1 -типа (рис.3.30), например, идеальное трехпозиционное реле (характеристика реле показана на рисунке пунктиром). Линеаризованная нелинейность представляет собой пропорциональное звено, значение коэффициента линеаризации q которого не превышает значения k1:
(3.32)
Для исследования данную САУ на устойчивость определим характеристический многочлен D (p) замкнутой САУ
Составим матрицу Гурвица
При условии положительности всех коэффициентов (α1+α2), α1α2 и q·k характеристического многочлена САУ будет устойчива, если положителен 2-й диагональный определить матрицы Гурвица
откуда предельное значение коэффициента q равно
С учетом ограничения 
(3.32) САУ будет устойчива с любой нелинейностью, характеристика которой не выходит за пределы k1 -сектора (рис.3.29а), если
2. Оценка устойчивости с помощью критерия Попова.
Критерий Попова применим для исследования устойчивости нелинейной САУ со стандартной структурой (рис.3.27), в которой нелинейный элемент и линейная часть включены последовательно, и САУ охвачена единичной отрицательной обратной связью.
В критерии Попова используется модифицированная частотная характеристика
,
которая получается из частотной характеристики WЛЧ (jω) линейной части вида WЛЧ (jω) =P+jQ.
На комплексной плоскости строится годограф 
Формулировка критерия устойчивости Попова зависит от вида характеристики нелинейного элемента.
Если в САУ применен элемент с нелинейностью k1 -типа (рис.3.29а), то на комплексной плоскости через точку действительной оси с координатой 
проводится пучок прямых линий h (рис.3.31а и рис.3.31б). Нелинейная САУ будет устойчива, если существует хотя бы одна прямая линия h, проведенная через точку с координатой , которая не пересекает годограф модифицированной частотной характеристики линейной части (рис.3.31а). В противном случае САУ будет неустойчива (рис.3.31б).
Если в САУ применен элемент с нелинейностью (k1, k2) - типа (рис.3.29б), то на комплексной плоскости через две точки действительной оси с координатами 
и 
проводится пучок парабол h (рис.3.31в). Нелинейная САУ будет устойчива, если существует хотя бы одна парабола, которая не пересекала бы годограф модифицированной частотной характеристики линейной части. В противном случае САУ будет неустойчива.
Вопросы и задания
1. Назовите особенности исследования на устойчивость нелинейных САУ.
2. Поясните способ оценки устойчивости нелинейной САУ с помощью критерия Гурвица.
3. Поясните способ оценки устойчивости нелинейной САУ с помощью критерия Попова.
4 ИМПУЛЬСНЫЕ САУ
4.1. Импульсные и цифровые САУ.
Виды модуляции непрерывных сигналов
Импульсными называются САУ, в которых содержится хотя бы один блок, в котором информация передается и обрабатывается в импульсном виде. Цифровые САУ являются разновидностью импульсных с той особенностью, что импульсная информация в цифровых САУ представлена виде шины (совокупности) сигналов одинаковой амплитуды. Значение цифрового сигнала является кодовой комбинацией двоичных значений (0 или 1) сигналов разрядов шины.
Импульсные САУ классифицируются по форме импульсов, виду импульсной модуляции и наличию кодового представления импульсов.
В качестве носителя импульсной информации может быть взят импульс любой формы: прямоугольный, треугольный, экспоненциальный и т.д. С точки зрения простоты расчетов импульсных САУ лучше всего использовать импульсы прямоугольной формы. В частности, в микропроцессорных САУ используются импульсы прямоугольной формы. У прямоугольного импульса имеются три характеристики: амплитуда А, период Т и длительность τ (рис.4.1). Вместо длительности импульса τ ещё используют производные величины
- коэффициент заполнения и 
- скважность
Операция преобразования непрерывного сигнала в последовательность импульсов называется импульсной модуляцией. Для сигналов прямоугольной формы различают три вида модуляции – амплитудно-импульсная (АИМ), широтно-импульсная (ШИМ) и частотно-импульсная (ЧИМ).
Амплитудно-импульсная модуляция - АИМ
При АИМ значение непрерывного (аналогового) сигнала x (t) преобразуется в амплитуду Ап импульса (рис.4.1), где п – номер импульса. Период Т следования импульсов и их длительность τ постоянные величины. Если длительность τ импульсов равна периоду Т их следования, то АИМ превращается в ступенчатую модуляцию (рис.4.1б), при которой отдельные импульсы примыкают друг к другу с обоих их сторон. Наиболее простыми являются методы расчета импульсных САУ с сигналами ступенчатого типа. Нужно также учесть, что микропроцессорные САУ работают с импульсными сигналами ступенчатого вида. Поэтому, далее будут детально рассмотрены импульсные САУ с импульсами ступенчатого вида.
Широтно-импульсная модуляция - ШИМ
При ШИМ значение непрерывного (аналогового) сигнала x (t) преобразуется в длительность τп импульса (рис.4.2а), где п – номер импульса. Период Т следования импульсов и их амплитуда А постоянные величины.
Данный вид модуляции используется в схемах силовых цепей, например, в импульсных регуляторах постоянного напряжения (рис.4.2б). Методы расчета импульсных САУ с ШИМ-сигналами чрезвычайно сложные. На практике применяется следующий прием: расчеты в импульсных САУ выполняются на базе сигналов АИМ, а при выводе АИМ сигналы достаточно несложно преобразуются в ШИМ-сигналы (см. тему 4.2).
Частотно-импульсная модуляция – ЧИМ (упрощенно – ЧМ)
При ЧМ значение непрерывного (аналогового) сигнала x (t) преобразуется в частоту fn следования импульсов (рис.4.3), где п – номер импульса. Амплитуда А импульсов и их длительность τ постоянные величины.
Сигналы с ЧИМ менее всего чувствительны к помехам. Методы расчета импульсных САУ с ЧМ-сигналами чрезвычайно сложные. На практике применяется следующий прием: расчеты в импульсных САУ выполняются на базе сигналов АИМ, а при выводе АИМ сигналы достаточно несложно преобразуются в ЧМ-сигналы.
По результатам рассмотрения различных видов импульсной модуляции непрерывных сигналов можно сделать тот вывод, что в расчетах импульсных САУ лучше всего использовать сигнал АИМ, а при учете ориентации на техническую реализацию импульсных САУ на базе микропроцессорной техники, использовать АИМ-сигнал с коэффициентом заполнения γ=1 (сигнал ступенчатой модуляции).
Рассмотрим особенности цифрового представления АИМ-сигналов в виде двоичных кодов. Цифровые двоичные коды изменяются дискретно и, поэтому, они в принципе не могут точно передать амплитуду импульса АИМ. Так, например, при разрядности кода, равной 4, число кодовых комбинаций составляет 24=16, и при минимальном шаге изменения кода, равном единице младшего разряда кода, максимальная погрешность кодового представления составляет 
. Это довольно большая погрешность. Уменьшить погрешность можно путем увеличения разрядности кода. Например, при восьмиразрядном коде количество кодов равно 28=256, а максимальная погрешность составляет 
.
Достоинства импульсных САУ на базе микропроцессоров:
1. Высокая точность обработки информации, так как обработка ведется по программе. Программа нечувствительна к дестабилизирующим факторам.
2. Возможна реализация алгоритмов обработки высокой сложности, что трудно реализуемо в САУ не импульсного типа.
3. Возможно управление одним микропроцессорным устройством большим числом (десятки-сотни) объектов, которое реализуется в режиме разделения времени, когда объекты обслуживаются микропроцессорным устройством последовательно и при большой тактовой частоте процессора создается иллюзия того, что все объекты будто бы обслуживаются одновременно.
Вопросы и задания
1. Какие САУ называются импульсными и цифровыми? Назовите основные достоинства импульсных САУ.
2. Поясните принцип амплитудно-импульсной модуляции и области применения АИМ в САУ.
3. Поясните принцип широтно-импульсной модуляции и области применения ШИМ в САУ.
4. Поясните принцип частотно-импульсной модуляции и области применения ЧИМ в САУ.
5. Поясните принцип цифровой модуляции их области её применения в САУ.
4.2. Схемы импульсных модуляторов
Рассмотрим схемы амплитудно-импульсных модуляторов и преобразователь АИМ сигнала в сигнал ШИМ.
Схемы амплитудно-импульсных модуляторов
1. Устройство выборки-хранения (УВХ) применяется только в импульсных, но не в цифровых САУ. Схема УВХ приведена на рис.4.4.
Ко входу ОУ, имеющем большое входное сопротивление (входной каскад ОУ выполнен на полевом транзисторе), подключен запоминающий конденсатор СЗ. Конденсатор СЗ периодически на малое время подключается к аналоговому сигналу и (t) через аналоговый ключ на полевом транзисторе VT и принимает значение и (пТ). Выходной сигнал ОУ, включенного по схеме повторителя в коэффициентом передачи равным 1. Выходной сигнал иИ (t) является ступенчатым, амплитуда которого равна и (пТ).
2. Устройство цифровой модуляции и демодуляции (рис.4.5).
Многовходовой АЦП по сигналам микропроцессора МП по очереди через период Т подключается к аналоговым сигналам ui (t), преобразует их в цифровые коды Кui. Об окончании преобразования очередного аналогового сигнала АЦП сообщает микропроцессору, который переписывает образовавшийся код в оперативное запоминающее устройство ОЗУ, и переводит АЦП в пассивный режим (преобразования в аналогового сигнала в нем останавливаются). Далее МП обрабатывает по программе цифровой код Кui, превращая его в код выходного сигнала Куi. По сигналу МП код Куi преобразуется с помощью ЦАП в аналоговый сигнал уi (t).
Все коды - Кui и Куi – будучи сформированными сохраняются неизменными в течение периода Т, минимальная величина которого определяется задержкой, вызванной работой программы микропроцессора.
Устройство преобразования АИМ сигнала в ШИМ сигнал
Необходимость преобразования амплитудно-модулированного сигнала в широтно-импульсный отмечена в теме 4.1. Принцип преобразования поясняется рис.4.6.
Пусть импульсы АИМ сигналов с амплитудами Ai действуют в течение времени Т – периода следования импульсов. Площадь, занимаемая импульсом, отмечена штриховкой под углом 45о, и равна
Площадь, занимаемая ШИМ сигналом длительностью τi с постоянной амплитудой А, отмечена штриховкой под углом -45о, и равна
Из условия равенства площадей Si.АИМ и Si.ШИМ получаем формулу пересчета амплитуды Ai АИМ сигнала в длительность τi ШИМ сигнала
(4.1)
Преобразование (4.1) может быть выполнено как на аналоговых, так и на цифровых устройствах. В последнем случае преобразование осуществляется по программе, которая по величине Ai формирует выходной импульс длительностью τi пропорциональной Ai (рис.4.7).
Вопросы и задания
1. Поясните принцип действия УВХ как амплитудно-импульсного модулятора.
2. Поясните принцип действия микропроцессорного амплитудно- импульсного модулятора.
3. Поясните принцип действия преобразователя АИМ-сигнала в ШИМ-сигнал.
4.3. Способы описания импульсных сигналов.
Особенности соответствия оригиналов и изображений
Сложность аналитического описания импульсных сигналов обусловлена следующими причинами:
1) импульсы являются дискретными сигналами и их число в выделенной в САУ линии связи не ограничено (бесконечное большое число);
2) каждый импульс из бесконечной их последовательности не описывается аналитически формулой.
При определенных допущениях обе проблемы разрешимы в рамках новых методов математического описания импульсных сигналов. Существуют 4 формы (способа) описания импульсных сигналов:
1) решетчатая функция (РФ);
2) импульсная функция (ИФ);
3) преобразование Лапласа от импульсной функции;
4) z -изображение от импульсной функции.
1. Решетчатая функция
Если x (t) – непрерывный сигнал, то решетчатой функцией называется множество значений непрерывного сигнала, определенных в дискретные моменты времени, совпадающие с моментами съема импульса амплитудно-импульсным модулятором
или – упрощенно, 
(4.2)
Графическим представлением РФ являются столбики, заканчивающиеся точкой (рис.4.8).
Достоинствами описания импульсов решетчатыми функциями являются:
1) РФ является действительной характеристикой (амплитудой) каждого импульса бесконечной их последовательности;
2) РФ входит во все другие формы описания импульсных сигналов.
Недостатками описания импульсов решетчатыми функциями являются:
1) РФ не является аналитическим (формульным) описанием импульсов, а представляет собой бесконечное множество элементов вида х (пТ) (4.2);
2) реализации (столбики) РФ не являются реализациями физического сигнала и, поэтому, невозможно рассчитать реакцию любого физического звена на импульсы РФ.
2. Импульсная функция ИФ
Составим произведение п -го импульса на δ -импульс, смещенный вправо на п тактов (рис.4.9а). Получим п -й импульс импульсной функции
,
который обладает следующими свойствами:
1) при t=nT импульс сигнала 
имеет бесконечно большую амплитуду, бесконечно малую длительность и площадь S (n) равную значению х (п);
2) при t≠nT значение равно нулю.
Определим импульсную функцию как сумму отдельных импульсов :
(4.3)
В выражении (4.3) время t изменяется непрерывно, а функция 
изменяется дискретно, принимая значениях в моменты t=nT, а остальное время – нулевое.
Графическим представлением ИФ являются бесконечно высокие столбики, заканчивающиеся стрелкой, у которых имеется волнистая вставка-вырезка, ограничивающая высоту столбиков (рис.4.9б).
Достоинствами описания импульсов импульсными функциями являются:
1) ИФ является формулой, объединяющей бесконечную последовательность импульсов математическим знаком суммирования;
2) ИФ содержит физические сигналы, на каждый из которых может быть рассчитана реакция физического звена – функция веса k (t)(см. тему 1.1).
Недостатками импульсной функции является:
1) аналитическое описание ИФ имеет формулу бесконечного суммирования, которую довольно сложно использовать в инженерных расчетах;
2) ИФ представляет собой физически нереализуемую функцию из-за ее бесконечной высоты отдельных импульсов.
3. Преобразование Лапласа от импульсной функции
Выполним вычисления преобразование Лапласа от ИФ:
(4.4)
Вычислим интеграл в квадратных скобках
(4.5)
Интеграл от бесконечной величины дал конечный результат. Это поясняется тем, что преобразование Лапласа основано на интегрировании (4.4) и им определяется площадь δ- функции, которая, по определению, равна единице.
Подставляем (4.5) в (4.4)
(4.6)
В последнее выражение входят только конечные величины, и в этом его преимущество перед ИФ, содержащей под знаком суммирования величины бесконечно больших значений.
Недостаток формулы (4.6) в том, что она является суммой бесконечного ряда и, поэтому, ее сложно использовать в инженерных расчетах.
4. z-изображение от импульсной функции
В выражении (4.6) выполним подстановку 
. Получим z -изображение от импульсной функции
(4.7)
Пока явственно видно, что запись z -изображение менее громоздка в сравнении с записью преобразованием Лапласа от импульсной функции 
.
Теперь развернем z -изображение (4.7) в ряд
(4.8)
Видно, что ряд представляет собой сумму произведений значений решетчатой функции х (п) на отрицательные степени символа z, причем значение отрицательного показателя степени совпадает с номером импульса,
С формальной точки зрения z -изображение представляют собой сумму членов геометрической прогрессии. Основание геометрической прогрессии, каким является символ 
, по модулю меньше единицы, так как именно положительном значении действительной части оператора р вычисляется преобразование Лапласа (4.4).Поэтому геометрический ряд (4.8) в принципе может сходиться, а прогрессия может быть свернута в конечную формулу.
Рассчитаем z -изображение от единичного скачка (рис.4.10). Для него значение решетчатой функции, взятое непосредственно из графика 1 (t), равно х (0) =1, х (1) =1, х (2) =1,…, х (п) =1. Подставляем эти значения РФ в выражение (4.8) и вычисляем сумму геометрической прогрессии
Выполненный расчет показал, что z -изображение от единичного скачка оказалось конечной формулой. В этой формуле в упакованном виде содержится информация о любом импульсе из бесконечной их последовательности. Для извлечения этой информации (распаковки z -изображения в конечной форме) необходимо произвести деление многочлена числителя на многочлен знаменателя:
Результатом деления является ряд
,
в котором коэффициенты при степенях символа z имеют значения 1. Они же, согласно (4.8) являются значениями решетчатой функции х (п). Так как для всех п≥0 значения х (п) =1, оригиналом данного изображения является единичный скачок, для которого 1 (t) =1 при t≥0.
Аналогично приведенному вычислению z -изображения от единичного скачка можно вычислить z -изображения от любых других сигналов. Для типовых сигналов САУ такие вычисления выполнены и приведены в табл.4.1.
Таблица 4.1
Основные формулы z -преобразования
| Оригинал x (t) | Изображение х (р) по Лапласу | z -изображение x (z) |
| δ (t) | 1 | 1 |
| δ (t-nT) | 
| 
|
| 1(t) | 
| 
|
| Оригинал x (t) | Изображение х (р) по Лапласу | z -изображение x (z) |
| t | 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
| 
| 
|
Особенности соответствия оригиналов и изображений
Принцип действия модуляторов состоит в том, что периодически с непрерывного сигнала x (t) снимается мгновенное значение и запоминается на период Т. В промежутке между съемами значений аналогового сигнала x (t) для импульсов сигнал x (t) может изменяться произвольным способом (рис.4.11) по графикам x1 (t), x2 (t), x3 (t) и т.п. Эта особенность импульсных САУ закреплена в использовании решетчатой функции для описания импульсов (рис.4.8). Графики решетчатой функции визуально плохо воспринимаются. В условиях неопределенности действительного графика x (t) оригинала для лучшего восприятия решетчатой функции будем соединять ее вершины прямыми линиями, т.е. линиями графика x2 (t).
Очевидно, что неопределенность в определении действительного графика x (t) будет уменьшаться с уменьшением периода Т следования импульсов. Если τmin – минимальный период гармонической составляющей разложения в ряд Фурье функции x (t), то период Т следования импульсов, при котором возможно по значениям решетчатой функции однозначно восстановить график x (t), определяется неравенством Котельникова
Т ≤ 0,5∙τmin
Вопросы и задания
1. Поясните способ описания импульсных сигналов решетчатыми функциями и назовите достоинства и недостатки способа.
2. Поясните способ описания импульсных сигналов импульсными функциями и назовите достоинства и недостатки способа.
3. Поясните способ описания импульсных сигналов изображениями их по Лапласу и назовите достоинства и недостатки способа.
4. 3. Поясните способ описания импульсных сигналов z-изображениями и назовите достоинства и недостатки способа.
