3. Как определить постоянную времени Д-части авторулевого из условия минимума среднеквадратичной ошибки судна на курсе?
3. НЕЛИНЕЙНЫЕ САУ
3.1. Определение нелинейных САУ.
Анализ нелинейных САУ методом припасовывания
САУ является нелинейной, если в ней есть хотя бы один элемент, описываемый нелинейным либо алгебраическим, либо дифференциальных уравнений такого типа. линеаризация которого невозможна. Линеаризация может быть невозможна при наличии у характеристик точек излома, а также в тех случаях, когда сигналы звена нельзя считать малыми (см. тему 1.1).
Примеры нелинейных звеньев приведены на рис.3.1.
Достоинства нелинейных САУ:
1. Простота элементной базы (контакторы, реле и т.п.) и, соответственно, простота ее обслуживания.
2. Простота получения больших коэффициентов усиления по мощности (мощность, потребляемая катушками реле и контакторов на несколько порядков меньше мощности нагрузки, подключаемой их контактами).
Недостатки нелинейных САУ:
1. Сложность расчетов, обусловленная отсутствием аналитического описания (формул) нелинейностей.
2. Неприменимость операторного метода решения дифференциальных уравнений из-за того, что начальные условия по участкам нелинейностей не нулевые.
Для расчета нелинейных САУ разработаны эффективные специальные методы – метод фазовых переменных, гармонический метод. Вместе с этим расчет может вестись классическими методами, заключающемся в прямом интегрировании дифференциальных уравнений. К таким методам относятся методы припасовывания и точечных преобразований.
Методом припасовывания рассчитываются САУ, содержащие нелинейности кусочно-линейного типа, например, с релейные нелинейности. Суть метода в том, что последовательно решаются дифференциальные уравнения по участкам нелинейности и отдельные решения стыкуются так, чтобы координаты конца траектории предыдущего решения служили бы начальными условиями для последующей траектории за исключением тех координат, которые могут изменяться скачком. Метод припасовывания рассмотрим на примере расчета САУ, изображенной на рис.3.2.
Сначала опишем САУ системой уравнений
- дифференциальное уравнение линейного звена;
u=f (ε) - обобщенное описание нелинейности; (3.1)
ε=0-у - уравнение элемента сравнения.
Система (3.1) из трех уравнений содержит три сигнала-функции - сигнала-функции у, ε и и Нужно рассчитать выходной сигнал схемы – сигнал у, исключив из системы (3.1) сигналы ε и и. Однако, так как входным и выходным сигналами нелинейности являются, соответственно, ε и и, то желательно эти сигналы не исключать из системы уравнений, иначе бы потребовалось перестройка графика нелинейности для иных входных и выходных сигналов. Учитывая третье уравнение ε=-у системы (3.1), исключим сигнал у. Получим следующее описание САУ
(28.2)
В соответствии с графиком нелинейности сигнал и принимает только два значения: максимальное ит и минимальное –ит.
Зададимся начальным значением сигнала ε0 (точка 0 на рис.3.2). Тогда выходным сигналом нелинейности будет и=ит. Дифференциальное уравнение согласно (3.2) и его решение будут следующими
Постоянная интегрирования С1 определяется из начального условия: при t=0 должно быть 
, откуда С1=ε0. Решение примет вид
Так как производная 
, то сигнал ε будет уменьшаться. Траекторией движения на графике нелинейности будет отрезок 0-1. График переходного процесса для участка 0-1 приведен на рис.3.3.
При ε=-εт, сигнал и изменится скачком до значения –ит. На графике нелинейности этому будет соответствовать скачок 1-2.
Дифференциальное уравнение согласно (3.2) и его решение будут следующими
,
в котором отсчет времени t ведется от точки 2 графика переходного процесса.
Постоянная интегрирования С2 определяется из начального условия: при t=0 должно быть 
, откуда С2=-εт. Решение примет вид
(3.3)
Так как производная 
, то сигнал ε будет увеличиваться. Траекторией движения на графике нелинейности будет отрезок 2-3. График переходного процесса для участка 2-3 приведен на рис.3.3.
При ε=εт, сигнал и изменится скачком до значения ит. На графике нелинейности этому будет соответствовать скачок 3-4.
Дифференциальное уравнение согласно (3.2) и его решение будут следующими
Постоянная интегрирования С3 будет равна εт. Решение примет вид
(3.4)
Так как производная , то сигнал ε будет уменьшаться. Траекторией движения на графике нелинейности будет отрезок 4-1. График переходного процесса для участка 4-1 приведен на рис.3.3.
Далее после точки 1 процесс будет повторяться по графику 1-2-3-4-1.
В САУ установится периодический процесс с графиком, отличающимся от гармонического. Такой процесс называется автоколебательным. Параметрами автоколебаний являются амплитуда ААК и период ТАК.
Амплитуда автоколебаний согласно рис.3.3 равна εт.
Период автоколебаний согласно рис.3.3 равен
(3.5)
Величину t23 определим из (3.3), подставив в него t=t23 и ε=εm,
(3.6)
Величину t41 определим из (3.4), подставив в него t=t41 и ε=-εm,
(3.7)
Период автоколебаний согласно (3.5) с учетом (3.6) и (3.7) равен
Расчет закончен.
Налицо громоздкость вычислений методом припасовывания. Более простое решение этой же задачи методом фазовых траекторий будет приведено в теме 3.5.
Вопросы и задания
1. На примере приведенных на рис.3.1 нелинейностей поясните, почему эти нелинейности нельзя линеаризовать?
2. В чем суть метода припасовывания, применяемого для расчета нелинейных САУ?
3. Дайте определение автоколебаниям и как определяются их амплитуда и период в приведенном расчете?
3.2. Определение и свойства фазовых траекторий.
Фазовые траектории линейных САУ 2-го порядка
Определение фазовых траекторий.
Метод фазовых траекторий является основным методом расчета нелинейных САУ. Основными достоинствами метода являются понижение порядка решаемых дифференциальных уравнений и наглядность решений.
Пусть САУ описывается дифференциальным уравнением вида
(3.8)
Фазовые переменные у0, у1, у2,… этого дифференциального уравнения определяется как базовый сигнал у и производные от него:
В расчетах обычно используются две у0, у1 или три у0, у1, у2 фазовые переменные. При двух фазовых переменных у0 и у1 порядок дифференциального уравнения (3.8) понижается на единицу, а решение уравнения в фазовых переменных отображается в виде фазовой траектории на плоскости с координатами у0 и у1 по осям абсцисс и ординат. При трех фазовых переменных у0 , у1 и у2 порядок дифференциального уравнения (3.8) понижается на два, а решение уравнения в фазовых переменных отображается в виде фазовой траектории в трехмерном пространстве с координатными у0 , у1 и у2. Понижение порядка дифференциального уравнения даже на единицу упрощает его решение и, как будет установлено ниже на примерах расчета, решения являются алгебраическими функциями, а не экспонентами и тригонометрическими функциями.
Свойства фазовых траекторий.
Ниже будем рассматривать приемы расчета нелинейных САУ в двух фазовых переменных у0 и у1 или у и 
. Фазовые траектории на плоскости у и обладают следующими свойствами (рис.3.4):
- в верхней полуплоскости движение по фазовым траекториям 1 осуществляется слева направо (так как в верхней полуплоскости 
и, поэтому значение у только возрастает), а в нижней – справа налево по траекториям 2;
- ось абсцисс у пересекается фазовыми траекториями 3 и 4 под прямым углом, так как на этой оси 
и, поэтому у не изменяется;
- линии отдельных траекторий 1 и 5 допускают разрывы по вертикали, если фазовое уравнение является алгебраическим, и разрывы не допускаются (линии 1 и 6), если фазовое уравнение дифференциальное любого порядка.
Фазовые траектории линейных САУ 2-го порядка.
Целью настоящего вопроса является установление на примере линейной САУ 2-го порядка соответствий между фазовыми траекториями и переходными процессами с присвоением названий фазовым траекториям и их особым точкам. Такие же соответствия существуют, в принципе, и в нелинейных САУ, что будет подтверждено соответствующими расчетами.
Пусть дифференциальное уравнение линейной САУ 2-го порядка имеет вид
Очевидно, что для этой САУ принужденное решение упр будет нулевым. От вида корней характеристического уравнения будет зависеть не только вид свободного решения, но и устойчивость САУ, т.е. придет ли система к принужденному значению.
Рассмотрим переходные процессы и фазовые траектории линейной САУ при различных корнях характеристического уравнения.
1. Корни чисто мнимые р1,2=±jω.
Переходным процессом являются незатухающие гармонические колебания (рис.3.5а)
(3.9)
Производная от у (функция веса) равна
Составим из (3.9) и производной выражение
(3.10)
Последнее выражение является фазовой траекторией, так как в него входят только фазовые переменные у и . Фазовой траекторией является эллипс, а ее особой точкой является центр (рис.3.5б).
Рис.3.5 иллюстрирует тот факт, что замкнутой эллиптической фазовой траектории соответствует незатухающий гармонический переходный процесс в линейной САУ. Аналогичные замкнутые фазовые траектории имеются в нелинейных САУ с той разницей, что фазовая траектория не является эллипсом, а, поэтому, незатухающие переходные процессы являются негармоническими.
Незатухающие негармонические колебания в нелинейных САУ называются автоколебаниями.
2. Корни комплексные р1,2=α±jβ.
Переходным процессом являются затухающие гармонические колебания (рис.3.6а) при α<0 и расходящиеся колебания (рис.3.6б) при α>0. Фазовыми траекториями являются, соответственно, сходящиеся и расходящиеся спирали, навивающиеся вокруг особых точек – фокусов.
3. Корни действительные р1=α1 и р2=α2 одинакового знака.
Переходным процессом являются затухающие экспоненциальные графики (рис.3.7а) при α1,2<0 и расходящиеся экспоненциальные графики (рис.3.7б) при α1,2>0. Фазовыми траекториями являются, соответственно, сходящиеся и расходящиеся пучки, привязанные к особым точкам – узлам.
4. Корни действительные р1=α1 и р2=α2 разного знака.
Переходным процессом являются расходящиеся экспоненциальные графики (рис.3.8а). Фазовыми траекториями являются серии расходящихся линий, которые по форме подобны седлу (рис.3.8б).
В нелинейных САУ встречаются графики фазовых траекторий подобные всем здесь рассчитанным для линейных САУ и им соответствуют те же по форме графики переходных процессов.
Если построены графики фазовых траекторий и известны аналитические зависимости (формулы) 
для этих графиков, то по ним можно рассчитать переходный процесс по формуле
(3.11)
Вывод этой формулы такой:
откуда 
и 
.
Вопросы и задания
1. Дайте определение фазовым переменным и фазовым траекториям. Какие преимущества в расчетах САУ даёт переход к фазовым переменным и траекториям?
2. Какое существует соответствие между графиками переходных процессов и фазовыми траекториями для САУ, характеристическое уравнение которых имеет мнимые корни? Дайте определение автоколебаниям.
3. Какое существует соответствие между графиками переходных процессов и фазовыми траекториями для САУ, характеристическое уравнение которых имеет комплексные корни?
4. Какое существует соответствие между графиками переходных процессов и фазовыми траекториями для САУ, характеристическое уравнение которых имеет действительные корни одинаковых знаков?
5. Какое существует соответствие между графиками переходных процессов и фазовыми траекториями для САУ, характеристическое уравнение которых имеет действительные корни разных знаков?
3.3. Расчет фазовым методом нелинейной САУ
2-го порядка с идеальным трехпозиционным реле
Структурная схема САУ приведена на рис.3.9.
Целью расчета является построение фазовой траектории для рассматриваемой САУ и на ее основе выработка заключения о характере переходного процесса в САУ.
Расчет выполняется в следующей последовательности:
1. Описываем САУ системой обыкновенных уравнений:
- дифференциальное уравнение линейного звена;
u=f (ε) - обобщенное описание нелинейности; (3.12)
ε=0-у - уравнение элемента сравнения.
Система (3.12) из трех уравнений содержит три сигнала-функции - сигнала-функции у, ε и и Нужно рассчитать выходной сигнал схемы – сигнал у, исключив из системы (3.12) сигналы ε и и. Однако, так как входным и выходным сигналами нелинейности являются, соответственно, ε и и, то желательно эти сигналы не исключать из системы уравнений, иначе потребуется перестройка графика нелинейности для иных входных и выходных сигналов, что сделать непросто. Учитывая третье уравнение ε=-у системы (3.12), исключим сигнал у. Получим следующее описание САУ
(3.13)
2. Преобразуем дифференциальное уравнение системы (3.13) в фазовое дифференциальное уравнение, которое будет содержать только фазовые переменные ε и 
и не будет содержать время t. Выполним преобразования
и 
(3.14)
Система (3.13) обыкновенных уравнений после подстановки в нее (3.14) превратится в систему фазовых уравнений
(3.15)
Так как система фазовых уравнений содержит дифференциальное уравнение, то на фазовой траектории не должно быть разрывов и скачков по любой оси - ε и (см. рис.3.4).
3. Подготавливаем фазовую плоскость к построению фазовых траекторий путем выделения на ней областей, в которых значение выходного сигнала и описывается формулой. Так как выходной сигнал и нелинейности принимает всего три значения (-ит, 0 и ит ), то таких формул будет три – и=-ит, и=0 и и=ит. Поэтому, областей на фазовой плоскости будет также три.
Из графика нелинейности, приведенной на рис.3.9, видно, что при ε<-εm значение выходного сигнала нелинейности равно –ит, при ε>εm значение выходного сигнала нелинейности равно ит, а при -εт ≤ ε ≤ εт равно 0. Разбиение фазовой плоскости в соответствии с этими условиями на три области приведено на рис.3.10. Области отделены друг от друга линиями переключения ЛП1 и ЛП2, так как на этих линиях изменяются скачком (переключаются) значения сигнала и.
4. Задавшись начальными условиями ε0 и 
, решаем дифференциальное уравнение системы по областям, очерченными линиями переключения ЛП1 и ЛП2.
а). Область с и=ит. Дифференциальное фазовое уравнение согласно (3.15)
и его решение
Это парабола 0-1, симметричная относительно оси ε, с ветвями, направленными справа налево.
б). Область с и=0. Дифференциальное фазовое уравнение согласно (3.15)
и его решение
(3.16)
Это прямая линия 1-2, параллельная оси ε.
в). Область с и=-ит. Дифференциальное фазовое уравнение согласно (3.15)
и его решение
Это парабола 2-3, симметричная относительно оси ε, с ветвями, направленными слева направо.
г). Область с и=0. Это прямая линия 3-4 (3.16), параллельная оси ε.
5. Заключение о характере переходного процесса в САУ.
На рис.3.10 обозначены косой чертой одинаковые по величине отрезки. Их равенство следует из свойства симметричности графиков парабол и параллельности к оси абсцисс линий (3.16). Значит, фазовая траектория будет замкнутой линией, а переходный процесс будет периодическим незатухающим. Замкнутая линия - не эллипс и, поэтому, в САУ установятся автоколебания.
Вопросы и задания
1. Составьте систему обыкновенных уравнений, описывающую рассмотренную нелинейную САУ.
2. Переведите систему обыкновенных уравнений в систему фазовых переменных. Почему из системы фазовых уравнений нежелательно исключать те переменные, которые являются входным и выходным сигналом нелинейного элемента?
3. Как с учетом графика нелинейности производится разбиение на области фазовой плоскости? Поясните смысл линий переключения.
4. Как рассчитываются и стыкуются между собой участки фазовой траектории?
5. Как установить замкнутость фазовой траектории?
3.4. Расчет фазовым методом нелинейной САУ
2-го порядка 
с гистерезисным двухпозиционным реле
Структурная схема САУ приведена на рис.3.11.
Целью расчета является построение фазовой траектории для рассматриваемой САУ и на ее основе выработка заключения о характере переходного процесса в САУ.
Последовательность расчета та же, что описана в теме 3.3. Пункты 1 и 2 расчета те же, что в теме 3.3.
3. Подготавливаем фазовую плоскость к построению фазовых траекторий путем выделения на ней областей, в которых значение выходного сигнала и описывается одной формулой. Так как выходной сигнал и нелинейности принимает всего два значения (-ит, и ит ), то таких областей на фазовой плоскости будет две, в каждой из которых сигнал и неизменен.
Значение выходного сигнала u нелинейности равно ит в следующих случаях (рис.3.11):
- если сигнал ε принадлежит участку 0-1-0 нелинейности (ε>εm) независимо направления движения по нему; на плоскости 
(рис.3.12) этому условию соответствует область, лежащая правее линии а-b-с;
- если сигнал ε принадлежит участку 0-2, на котором ε>-εm и одновременно движение по нему происходит справа налево, т.е. значение ε уменьшается (); на плоскости (рис.3.12) этому условию соответствует область, ограниченная ломанной линией с-b-d-e.
Объединение выделенных областей даёт область, расположенную правее ломанной линии a-b-d-e, в которой и=ит. Левее этой линии расположена область, в которой и=-ит. Линия a-b-d-e называется линией переключения ЛП, при пересечении которой фазовой траекторией скачком изменяется (переключается) знак сигнала и.
4. Задавшись начальными условиями ε0 и , решаем дифференциальное уравнение системы по областям, очерченным линией переключения ЛП.
а). Область правее ЛП с и=ит. Дифференциальное фазовое уравнение согласно (3.15)
и его решение
Это парабола 1-2, симметричная относительно оси ε, с ветвями, направленными справа налево.
б). Область левее ЛП с и=-ит. Дифференциальное фазовое уравнение согласно (3.15)
и его решение
Это парабола 2-3, симметричная относительно оси ε, с ветвями, направленными слева направо.
5. Заключение о характере переходного процесса в САУ.
На рис.3.12 обозначены одинаковыми косыми чертами одинаковые по величине отрезки. Видно, что фазовая траектория является расходящейся спиралью (подобно рис.3.6б). САУ неустойчива.
Вопросы и задания
1. Поясните процедуру разбиения фазовой плоскости на области с постоянными значениями управляющего сигнала "и".
2. Обоснуйте спиральную форму фазовой траектории.
3.5. Расчет фазовым методом нелинейной САУ
1-го порядка с гистерезисным двухпозиционным реле
Структурная схема САУ приведена на рис.3.13.
Целью расчета является построение фазовой траектории для рассматриваемой САУ и на ее основе выработка заключения о характере переходного процесса в САУ.
1. Описываем САУ системой обыкновенных уравнений:
(3.17)
Система (3.17) из трех уравнений содержит три сигнала - сигнала-функции у, ε и и Нужно рассчитать выходной сигнал схемы – сигнал у, исключив из системы (3.17) сигналы ε и и. Однако, так как входным и выходным сигналами нелинейности являются, соответственно, ε и и, то желательно эти сигналы не исключать из системы уравнений, иначе потребуется перестройка графика нелинейности для иных входных и выходных сигналов, что сделать непросто. Учитывая третье уравнение ε=-у системы (3.17), исключим сигнал у. Получим следующее описание САУ
(3.18)
2. В систему (3.18) входят только фазовые переменные ε и и не входит как явная переменная время t. Значит система (3.18) является фазовой системой уравнений. Так как система фазовых уравнений содержит только алгебраические уравнения, то на фазовой траектории может быть разрыв (скачок) по оси (рис.3.4).
3. Этот пункт такой же, как пункт 3 в теме 31.
4. Задавшись начальными условиями ε0 и (рис.3.14), строим линии фазовых траекторий по областям, очерченным линией переключения ЛП.
