Ауыстырулар жиынын ішкі жиындарға бөліктеу

Айталық – бекітілген нөмірлер жүйесі және - қосымша нөмірлер жүйесі болсын. Демек, . қосымша нөмірлер жүйесі бар кез келген нөмірлер жүйесін алайық және төмендегідей дәрежелі ауыстыруларды қарастырамыз:

Барлық осындай бекітілген ауыстырулар жиынын

деп белгілейік. Кез келген нөмірлер жүйесіне

санын сәйкес қояйық.

Лемма 1. Бекітілген жүйесінде ішкі жиыны әр түрлі үшін қиылыспайды және олардың бірігуі барлық дәрежелі ауыстырулар жиынын береді. Егер болса, онда

болады.

Лаплас теоремасы. Айталық – өлшемді квадрат матрица болсын. деп алып, кез келген бағандардың жүйесін бекітейік. Онда матрицасының анықтауышын есептеу бекітілген бағанның минорын және оның қосымша минорын есептеуге әкеледі:

Дәлелдеуі. 1-лемманың негізінде мынаны аламыз:

Бірінші және екінші жақша сәйкесінше және береді.

( шамасын минорының алгебралық толықтауышы деп атайды. Осылайша, Лаплас теоремасы былай тұжырымдалады, кез келген бағандар жүйесін таңдап алғанда матрицаның анықтауышы, берілген бағандарда орналасқан барлық мүмкін минорлардың, олардың алгебралық толықтауышына көбейтілген қосындысына тең.

болғандықтан, онда Лаплас теоремасын былай да тұжырымдауға болады: кез келген жолдар жүйесін таңдап алғанда матрицаның анықтауышы, берілген жолда орналасқан, барлық мүмкін минорлардың, олардың алгебралық толықтауышына көбейтілген қосындысына тең.

Блокты-үшбұрышты матрица анықтауышы

ретті блокты-үшбұрышты матрицаны қарастырайық:

Алғашқы бағанның (немесе жолдың) жүйесі үшін Лаплас теоремасының қолданылуы келесі маңызды формуланы береді:

.

ДӘРІС 9, 10

СКЕЛЕТТІК ЖІКТЕУ

Айнымалыларды ажырату және матрицалар

Екі айнымалының функциясын оқыған кезде айнымалысы ажыратылған

функциясының немесе мынадай функциялардың қосындысы түріндегі

айнымалысы ажыратылған функциялардың маңызы зор.

Айталық өлшемді матрица берілсін. Оның элементтерін дискретті айнымалыларынан алынған функция ретінде қарастыруға болады. Бұл жағдайда айнымалыларды ажырату дегеніміз, білдіреді.

Бұдан жол мен бағанның көбейтіндісі болатындығы шығады:

, .

Скелеттік жіктеу

Айталық, болсын. Бұл жерде – «бағанды жолға» түріндегі матрицалардың қосындысы:

Ал бұл екі матрицаның көбейтіндісі түріндегі теңдікті береді:

(*)

бұны матрицасының скелеттік жіктелуі деп атайды. Яғни матрицасының әрбір бағаны матрицасының бағанының сызықты комбинациясын, ал матрицасының әрбір жолы матрицасының жолының сызықты комбинациясын құрайды дегенді білдірерді. Бұдан келесі теорема шығады.

Теорема. матрицасының бағанына созылған сызықты қабықшаның өлшемі оның жолына созылған сызықтық қабықшаның өлшемімен сәйкес келеді:

.