Түйіндес кеңістіктің базисі

Анықтама 3. векторы және ковекторы бір-біріне ортогональ деп аталады, егер болса.

Айталық, кеңістігінде базисі берілсін. векторының Е базисі бойынша (2) – жіктелуіндегі векторының -шы координатын қарастырайық. (2) жіктелудің бірмәнділігінен кеңістігінен бір бекітілген базисті таңдап алғанда координаты – бұл сан, векторымен бірмәнді анықталады.

(8)

формуласымен анықталатын бейнелеуін қарастырайық.

Векторларды қосқанда олардың координаты Е базисінде қосылады, ал векторды санға көбейткенде, оның координаттары осы санға көбейтіледі. Бұдан жоғарыда анықталған бейнелеу сызықты болады: Ендеше, кеңістігінде әрбір базисін таңдау кеңістігінен алынған қандай да бір функционалдар жиынтығымен байланысады. функционалдары базисінің координаттық функционалдары деп атайды. Олар үшін

(9)

(9) қатынасты биортогональдық қатынасы деп, ал (9) қатынасты қанағатандыратын және векторлар жүйесі биортогональды деп аталады, және деп белгіленеді.

Теорема 1. координаттық функционалдары сызықтық тәуелсіз және кеңістігінде базис құрайды.

Дәлелдеу. базисінде нөлге тең координаттық функционалдардың сызықтық комбинациясын қарастырайық:

(10)

(10) сол жақ бөлігі нөлдік функционал болып табылады. Ендеше, оның мәні базистік векторында нөлге тең:

(11)

қосылғыштан тұратын (9) биортогональдық қатынастың негізінде (11) сол жақ бөлігінде тек қана -ші қосылғыш қана қалады, сонымен қатар . Сондықтан да, (11)-ден болады. кез келген болғандықтан, енді (10) сызықтық комбинацияның тривиальдығы және координаттық функционалдардың сызықтық тәуелсіздігі шығады.

Теореманы дәлелдеуді аяқтау үшін кез келген функционалы координаттық функционалдың сызықтық комбинациясына жіктелуі мүмкін.

кеңістігінен кез келген векторын қарастырайық. Онда (3) жіктеуден векторында функционалының мәні үшін (8) ескеріп мынаны аламыз:

(12)

Мұнда – тан алынған сандар жиынтығы. векторы кез келген болғандықтан алынған теңдікті функционалдар теңдігі ретінде жазуға болады:

(13)

(13) формула кез келген функционалын координаттық функционалдардың сызықтық комбинациясына жіктелуі болып табылады. Мұндай сызықтық комбинацияның коэффициенттері базистік векторында функционалының мәніне тең болады.

Салдар 1. кеңістігінің кез келген Е базисі үшін кеңістігіне тиісті, болатындай жалғыз ғана базисі бар болады.

Анықтама 4. кеңістігінде базисінің координаттық функционалдарынан құралған базисі Е үшін түйіндес базис деп аталады.

Мысал 1. (Биортогональды базистер). кеңістігін және оның базисін қарастырайық:

болатындай базисін табайық.

Кез келген сызықтық функциясы

ережесі бойынша векторына әрекет етеді. (9) биортогональдық қатынасын қолданып, ізделінді функциялар үшін белгісіз параметрлерін анықтайық. функциясы үшін бұл шарт мына түрге ие болады:

Дәл осылай функциясы үшін бұл шарт мына түрге ие болады:

Бұл теңдеулер жүйесін шешейік:

Табылған парметрлермен ізделінді функцияларды жазайық:

Осылайша, ізделінді базис

скаляр көбейтіндінің мәні биортогональды базисте басқа базистерге қарағанда жеңіл есептелетіндігін көрсетейік.

Айталық және – сәйкесінше және кеңістіктеріндегі екі кез келген базис болсын. Е базисіндегі жіктелуі (2) түрге ие болатын векторының скаляр көбейтіндісін және базисі бойынша жіктелген ковекторын қарастырайық:

(14)

скаляр көбейтіндіні базисіндегі ковектордың және Е базисінде векторының координаты арқылы өрнектейік:

(15)

Егер және базистері биортогональ болса, яғни , онда (9) биортогональдық қатынасының негізінде (15) теңдік ықшамдалып мына түрге ие болады:

Осылайша,биортогональ базисте скаляр көбейтіндінің мәні оңай есептеледі.

Биортогональ базисте вектордың және ковектордың координаттарын анықтайтын өрнекті табайық. Ол үшін мынаны есептейік:

Ендеше,

(16)

Ары қарай мынадай есептеу жүргізейік:

Онда,

(17)

Мысал 2. (вектордың және ковектордың координаттары). Е базисінде 1-мысалдағы векторының координатын биортогональ базисін қолданып анықтайық. (16) сәйкес мынаны аламыз:

1-мысалдағы базисінде ковектордың координатын Е биортогональ базисін қолданып анықтайық. (17) сәйкес мынаны аламыз: