Түйіндес бейнелеудің қасиеттері.

Теорема 5. Егер немесе бейнелеуі анықталса, онда келесі теңдіктер орынды болады:

(26)

(27)

(28)

(29)

 

Евклид кеңістігіндегі түйіндес бейнелеу

Айталық және - евклид кеңістіктері болсын. сызықтық бейнелеуін және түйіндес бейнелеуін қарастырайық. Евклид кеңістігінің маңызды ерекше белгісі, бұл – оны оған түйіндес кеңістікпен теңестіруге болады. Мұндай теңестіру базистің таңдауына тәуелсіз және кеңістіктерінің изоморфизмі болатындығынан шығады.

Теорема 6. Евклид кеңістігі өзінің түйіндес кеңістігіне эквивалентті. Яғни изоморфизмі бар болады, ол әрбір функциясына векторын сәйкес қояды, сонымен қатар

(30)

Дәлелдеу. Айталық - кеңістігінің берілген базисі болсын. Кез келген векторы үшін оның Е базисі бойынша жіктелуі:

(31)

векторының Е базисіндегі координат бағанын анықтайды:

.

сызықтық функциясын қарастырайық және айталық - Е базисіндегі осы функцияның вектор-жолы болсын, ол (4) формулаға сәйкес болады.

Е базисіндегі векторының координаттық бағанын

деп белгілейік.

скаляр көбейтіндіні координаттық формада жазайық:

(32)

мұндағы - Е базисіндегі Грам матрицасы.

Ары қарай, (4) сәйкес болады. (30)-ды координаттық формада жазайық:

Е базисіндегі Грам матрицасы ерекше емес болғандықтан, онда соңғы теңдікті -ға қатысты шешуге болады. Грам матрицасының симметриялылығынан мынаны аламыз:

(33)

Мұнда - Е базисіне ортогональ түйіндес кеңістіктің базисіндегі функциясының координаттық бағаны. Сонымен, (33)-тен және кеңістіктері изоморфты болатындығы шығады.

Осылайша, евклид кеңістігі өзінің түйіндес кеңістігіне изоморфты. Сондықтан да, евклид кеңістігін оған түйіндес кеңістігіне теңестіруге болады.

Анықтама 7.

(34)

теңдігімен анықталатын бейнелеуі бейнелеуіне түйіндес деп аталады.

Теорема 7. Егер бейнелеуі ортонормаланған базисте А матрицасына ие болса, онда сол базистегі оның түйіндес бейнелеуі матрицасына ие болады.

Мысал 7. (Евклид кеңістігінің түйіндес бейнелеуінің матрицасы). және екі евклид кеңістіктерін және олардың және , және базистерін қарастырайық, сонымен қатар, және - ортонормаланған, ал және базистері және базистерімен төмендегі қатынастар арқылы байланысқан:

Бұдан базисінен базисіне көшу матрицасы мына түрге ие болады:

ал базисінен базисіне көшу матрицасы былай болады:

Айталық сызықтық бейнелеуі және базистерінде

түріне ие болсын.

және базистерінде түйіндес бейнелеудің матрицасын табайық.

Алдымен және базистеріндегі бейнелеуінің матрицасын табайық:

.

және базистері ортонормаланған болғандықтан, онда 7-теоремаға сәйкес осы базистегі түйіндес бейнелеудің матрицасы мына түрге ие болады:

.

Онда және базистерінде түйіндес бейнелеудің матрицасы келесі түрге ие болады:

 

Дәріс 17,18

УНИТАР ЖӘНЕ ҚАЛЫПТЫ МАТРИЦАЛАР