Унитар матрицалардың анықтамасы және қасиеттері

векторлар жүйесі ортогональ деп аталады, егер

Егер де бұл векторлар нормаланған болса, яғни

онда мұндай жүйені ортонормаланған деп атайды.

Теорема 1. Кез келген ортонормаланған жүйе сызықты тәуелсіз болып табылады.

Дәлелдеуі. ортонормаланған векторлар жүйесі үшін

теңдігін қарастырайық және ол болған кезде ғана орындалатындығын көрсетейік. Теңдікті оң жағынан

түйіндесіне көбейтіп, мынаны аламыз:

 

ал бұл болғанда ғана мүмкін, бұдан жүйесінің сызықтық тәуелсіздігі шығады.

Кез келген сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесін берілген жүйенің сызықтық қабықшасындай болатын ортонормаланған жүйеге түрлендіруге болады. Мұндай түрлендіруді Грам-Шмидтің ортогоналдау процессін қолданып жүргізуге болады.

Айталық - комплексті векторлық кеңістіктегі сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесі және - ізделінді ортонормаланған жүйе болсын. векторлары төмендегі формулалар бойынша рекуррентті есептеледі:

(1)

мұндағы - векторының евклид ұзындығы.

Мысал 1. (Грам-Шмидтің ортогоналдау процессі).

Сызықтық тәуелсіз векторлар жүйесін ортонормалайық.

Грам-Шмидт процессінің әрбір -шы қадамында векторлары тек қана алғашқы сызықтық тәуелсіз векторлардың сызықтық комбинациясы түрінде өрнектеледі, яғни

(2)

болатындай сандары бар болады.

Грам-Шмидт процессін кез келген ақырлы немесе саналымды (сызықтық тәуелсіз болуы міндетті емес) векторлар жүйесіне қолдануға болады.

Анықтама 1. матрицасы унитар деп аталады, егер болса. Егер сонымен қатар болса, онда ортогональды деп аталады.

Мысал 2. (Унитар матрица). Айталық мына түрге ие болсын:

мұнда – нақты параметр. Бұл матрица бірлік матрицадан және позицияларындағы элементтерімен ғана ерекшеленеді, мұнда олар сәйкесінше және алмастырылады. матрицасы -ға тисті кез келген индекстер жұбы және кез келген бұрышының шамасы үшін унитар (ортогональді) болып табылады. Мысалы, болғанда мынаны аламыз:

.

Теорема 2. (унитарлылық критерийі жайлы). Төмедегі тұжырымдар матрицасы үшін эквивалентті болады:

1. унитарлы;

2. ерекше емес және ;

3.

4. унитарлы;

5. -ң бағандары ортонормаланған жүйе құрайды;

6. -ң жолдары ортонормаланған жүйе құрайды;

7. Кез келген векторы үшін теңдігі орындалады (яғни унитарлы матрицалар изометриялы).

 

Теорема 3 (QR-жіктелу жайлы). Егер болса, онда ортонормаланған бағандары бар матрицасы және

болатындай жоғары үшбұрышты матрица бар болады. Егер болса, онда Q унитарлы.

Дәлелдеу і. Егер және болса, онда А матрицасының QR- жіктелуі А матрицасының бағандарына Грам-Шмидтің процессін қолданғанда -де сызықтық тәуелсіз жүйені құрайтын нәтиженің матрицалық жазылуын аламыз.

Айталық, матрицаның бағандары сызықтық тәуелсіз болсын. Грам-Шмидтің алгоритмін осы жағдай үшін жалпылайық. Грам-Шмидтің ортогоналдау процессінің нәтижесінде болатындай -лар үшін (яғни бұл сызықтық комбинация болып табылады), болсын делік. Керісінше жағдайда, (қарапайым Грам-Шмидт процессіндегідей).

векторлары ортогональ жүйені құрайды, оның әрбір элементі нормаланған немес нөлдік.

Әрбір векторы – бұл векторларының сызықтық комбинациясы және керісінше. Бұдан,

(3)

болатындай сандары табылады.

, егер болса. (4)

Осылайша, -нан жоғарыда сипатталған процедураның көмегімен жоғары үшбұрышты матрицаны

және векторларын табайық.

Матрицасы ортогонал бағандардан тұрады (кейбіреулері нөлдік болуы мүмкін) және (3)-ң негізінде болады.

Егер және (яғни А ерекше емес) болса, онда Q – 2-теореманың (5-қасиеті бойынша) унитарлы және матрицасының барлық диагональды элементтері нөлден өзгеше. Бұл жағдайда матрицасы – жоғары үшбұрышты болғандықтан, векторы векторының еселігі болады және болғанда векторы бірөлшемді кеңістікте жатады, ол векторларының сызықтық қабықшасындағы векторларының сызықтық қабықшасының ортогональ толықтауышы болып табылады. Бұдан, әрбір векторы модулі бойынша 1-ге тең скаляр көбейткішке дейінгі дәлдікпен бірмәнді анықталады. Сондықтан да -ды -қа ауыстырып:

және -ды -қа ауыстырып:

теореманың тұжырымында айтылған сол жалғыз жіктеуді аламыз.

Егер А матрицасының бағандары тәуелді болса, онда Q- дан нөлдік емес бағандар жиынын (ортонормаланған) алып және оны -гі ортонормаланған базиске дейін толықтырамыз. Мұндай әдіспен алынған жаңа векторларды деп белгілейміз. Енді Q- дағы бірінші нөолдік бағанды менғ ал екіншіні -мен және т.с.с. ауыстырамыз. Алынған матрицаны деп белгілейік. Ол ортонормаланған бағандардан тұрады және , себебі -ғы жаңа бағандар -ғы нөлдік жолдарға сәйкес келеді. Осылайша, - қажетті түрдегі жіктеу.

Мысал 3. (QR-жіктеу).

матрицасы үшін QR- жіктеуін құрайық. Ол үшін Грам-Шмидтің ортогоналдау процессін қолданайық. А матрицасының бағандарын

деп белгілейік. 1-мысалда көрсетілгендей Грам-Шмидтің ортогоналдау процессінің нәтижесінде векторлар жүйесі ортонормаланған векторлар жүйесіне түрленеді, мұнда

сонымен қатар,

векторларынан матрица құрамыз

Онда және байланыстыратын теңдіктерден мынаны аламыз:

, мұндағы .

2. Унитар ұқсастық

Унитар матрица үшін болса, онда анықталған түрлендіруі ұқсас болып табылады, ол унитар ұқсастық деп аталады.

Анықтама 2. матрицасы матрицасына унитар ұқсас деп аталады, егер болатындай унитар матрицасы бар болса. Егер - ды нақты етіп таңдап алуға болса(ендеше ортогоналды болатындай), онда матрицасы А матрицасына ортогональ ұқсас деп аталады.

Унитар матрицалардың екі арнайы түрін қарастырайық, олар унитар ұқсастық түрлендіруін жүзеге асырады, бұл меншікті мәндерді есептеу үшін маңызды.

Мысал 4. (Жалпақ (тегіс) айналу). 2-мысалдағы матрицасы жазықтықта координатының ( бұрышқа) айналуын жүзеге асырады. Егер матрица сол жағынан -ға көбейтілсе, ендеше мұнда тек қана -ші және -ші жол өзгереді, ал егер матрица оң жағынан көбейтілсе, онда тек қана -ші және -ші баған өзгереді. Осылайша, көмегімен жүзеге асырылатын унитар ұқсас матрицаға көшкенде тек қана және нөмірлі жол және бағандар өзгереді. Тегіс айналу көмегімен алынатын унитар ұқсастық меншікті мәндерді есептеген кезде қолданылады.

Мысал 5. (Хаусхолдер түрлендіруі). Кез келген нөлдік емес векторын алайық және матрица құрайық

мұндағы . -бұл оң скаляр, - матрица екендігін ескерейік. Егер векторы нормаланған болса, онда 2-ге тең болуы керек, ал матрицасы мына түрге ие болу керек:

.

Әдетте матрицасын алдын ала нормаланған векторын таңдап алу арқылы құрады.

Кез келген матрицасы Хаусхолдер түрлендіруі деп аталады.

Теорема 4. -ға тиісті А және В унитарлы ұқсас матрицалары үшін келесі теңдік орындалады:

Дәлелдеуі ұқсас үрлендіруге қатысты матрица ізінің инварианттылығының негізінде алынатын төмендегі теңдіктер тізбегінен алынады:

Теорема 5. (Унитар триангулярлау жайлы Шур теоремасы). Айталық матрицасы берілсін және оның қандай да бір меншікті мәндерінің реті бекітілсін. Онда

диагоналында элементі тұратын жоғары үшбұрышты матрица болатындай унитар матрицасы бар болады. сонымен қатар, егер және оның барлық меншікті мәндері нақты болса, онда -ды ортогонал етіп таңдап алуға болады.

басқаша айтқанда, кез келген комплексті матрица ұқсас үшбұрышты матрицаға унитарлы болады.

Мысалы, төмендегі және матрицалары түрлендіруінің унитар матрицасымен унитар ұқсас:

Салдар 1. Айталық болсын. үшін әр түрл меншікті мәні бар (ендеше, диагоналданатын) және

болатындай матрицасы бар болады.

Басқаша айтқанда, кез келген матрица үшін оған соншалықты жақын диагональданатын матрица бар болады.

Салдар 2. Айталық болсын. үшін

жоғары үшбұрышты матрица және үшін болатындай, ерекше емес матрицасы бар болады.

Басқаша айтқанда, кез келген матрица кез келген кішкентай диагональдан тыс элементтері бар жоғары үшбұрышты матрицаға ұқсас болады.

Теорема 6. Егер матрицасы меншікті мәндеріне (еселігін ескергенде) ие болса, онда

Дәлелдеуі. Шур теоремасын қолданып деп жазамыз. Онда іздің және матрицаның анықтауышының ұқсас түрлендіруге қатысты инварианттылығын ескерсек мынаны аламыз:

(5)

(6)

ал бұл дәлелдеуді аяқтайды.