Система Ван дер Поля с периодическим возмущением

Файл-функция для этой системы при значениях A ₀ = 2 и W = 2 имеет следующий вид:

 

function dydt = vdp1s(t,y)

dydt = zeros(2,1); dydt(1) = y(2);

dydt(2) = 1*(1-y(1).^2).*y(2)-2*y(1)+2*sin(2*t);

Фазовый портрет показан на рис. 7.

 

Рис. 7.

 

 

Лабораторная работа № 6 – 7

 

Качественный анализ линейных ДС

 

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Ознакомление с методами качественного анализа систем ОДУ

 

Рассмотрим линейную однородную систему с постоянными коэффициентами, которая представляет собой линейную динамическую систему (ЛДС):

(1)

Координатную плоскость xOy называют ее фазовой плоскостью (ФП). Через любую точку плоскости проходит одна и только одна фазовая кривая (траектория) (ФТ). В системе (1) возможны три типа ФТ:

· точка,

· замкнутая кривая,

· незамкнутая кривая.

Точка на ФП соответствует стационарному решению (положению равновесия, точке покоя) системы (1), замкнутая кривая периодическому решению, а незамкнутая непериодическому.

 

Положения равновесия ДС

 

Положения равновесия системы (1) найдем, решая систему:

 

(2)

 

Система (1) имеет единственное нулевое положение равновесия, если определитель матрицы системы:

 

Если же det A = 0, то, кроме нулевого положения равновесия, есть и другие, так как в этом случае система (2) имеет бесконечное множество решений.

Качественное поведение ФТ (тип положения равновесия) определяется собственными числами матрицы системы.

 

 

Классификация точек покоя

 

Собственные числа матрицы системы найдем, решая уравнение:

 

(3)

 

Заметим, что a + d = tr A (след матрицы) и ad – bc = det A.

В СКМ MATLAB определять собственные числа и собственные вектора системы ОДУ удобно с помощью функции eig(A).

 

Собственные числа l _i и собственные векторы u_i ≠ 0 квадратной матрицы А удовлетворяют равенствам А u_i = l _i u_i. Функция eig, вызванная с входным аргументом матрицей, находит все собственные числа матрицы и записывает их в выходной аргумент – вектор:

 

>> A = [2. 3; 3 5];

>> lam = eig(A)

lam =

0.1459

6.8541

>>

 

Для одновременного вычисления всех собственных векторов и чисел следует вызвать eig с двумя выходными аргументами.

 

>> [U, Lam] = eig(A);

 

Первый выходной аргумент и представляет собой матрицу, столбцы которой являются собственными векторами. Для доступа, например, к первому собственному вектору следует использовать индексацию при помощи двоеточия

 

>> u1=U(:,1)

u1 =

-0.8507

0.5257

 

Вторым выходным аргументом Lam возвращается диагональная матрица, содержащая собственные числа исходной матрицы.

 

>> Lam

Lam =

0.1459 0

0 6.8541

 

Проверьте, правильно ли найдены, например, второе собственное число и соответствующий ему собственный вектор. Воспользуйтесь определением:

 

>> A*U(:, 2) - Lam(2, 2)*U(:, 2)

ans =

1.0e-015 *

0.4441

-0.8882

 

Классификация точек покоя в случае, когда det A ≠ 0, приведена в таблице:

 

 

Устойчивость точек покоя

 

Собственные значения матрицы системы (1) однозначно определяют характер устойчивости положений равновесия:

 

 

Фазовые портреты

 

 

 

 

 

 

Бесконечное множество точек покоя

 

Если det A = 0, то система (1) имеет бесконечное множество положений равновесия. При этом возможны три случая:

 

 

Во втором случае любая точка покоя устойчива по Ляпунову. В первом же случае только, если l₂ < 0.

 

 

 

Направление на фазовой кривой указывает направление движения фазовой точки по кривой при возрастании t.