Универсальные свойства нелинейных отображений

 

До сих пор мы изучали простое отображение (8.6). Для выяснения общих закономерностей удвоения периода рассмотрим в задаче 8.5 два других одномерных отображения.

 

ЗАДАЧА 8.5. Другие одномерные отображения

 

Проведите численные эксперименты для определения качественных свойств отображений

 

	f (x) = xer (1 – x)	(8.8)
	f (x) = [1 – (2 x – 1)4]	(8.9)

 

Как ведет себя (8.8) для r ~ 2 и r ~ 2.7? Заметим, что для отображения (8.9) r и начальное значение х должны лежать между 0 и 1. Проявляют ли эти отображения сходные качественные свойства, например удвоение периода и существование хаотической области? Отображение (8.8) использовалось экологами (Мэй) для изучения популяции, ограниченной при больших плотностях эпидемиями. Несмотря на то, что данное отображение является более сложным по сравнению с (8.6), у него имеется одно важное преимущество, состоящее в том, что численность популяции всегда положительна независимо от выбираемого начального значения. Не существует никаких ограничений на максимальное значение r, но если величина r становится достаточно большой, то x в итоге будет фактически равняться нулю, следовательно, популяция вымирает.

В дальнейшем мы убедимся в том, что удобно определять «порядок» отображения. Пусть х _max – значение, при котором f (x) достигает максимума, т.е. df / dx = 0 при х = х _max. Если при x = х _max производные d^mf / dx^m = 0 для m < n, a dⁿf / dxⁿ < 0, то f (x) является отображением n -го порядка. Покажите, что этот критерий означает, что отображения (8.6) и (8.8) являются отображениями второго порядка или квадратичными. Покажите, что по сравнению с этим отображение (8.9) имеет четвертый порядок, т.е. d²f / dx² = d³f / dx³ = 0, a d⁴f / dx⁴ < 0 прн х = 1/2.

Приведем качественные соображения, свидетельствующие о том, что некоторые количественные свойства стандартного квадратичного отображения (8.6) в режиме удвоения периода присущи также всем квадратичным отображениям. Рассмотрим f (x, r) при таком значении r, что период f (x, r) равен 4 (рис. 8.4).

 

 

Рис. 8.4. Итерации f (x) для r = 0.88. Заметьте, что для этого значения r функция f (x) имеет период, равный 4.

 

Теперь рассмотрим вторую итерацию g (x, r) = f (f (x, r)) для того же самого значения r (рис. 8.5).

 

 

Рис. 8.5. Итерации g (x) для r = 0.88, стартующие из x ₀ = 0.5. Обратите внимание на форму g (x) внутри «циркуляционного прямоугольника», ограниченного значениями х ₁* = 0.373 и x ₂* = 0.512.

 

Ясно, что g (x, r) имеет период 2 и при начальном значении x ₀ = 0.5 осциллирует между обеими неподвижными точками x ₁* = 0.373 и х ₂* = 0.512. Можно видеть, что g (x, r) качественно ведет себя подобно f (x, r '), где r ' – меньшее значение r, для которого f (x, r ') имеет период 2. На рис. 8.6 показана f (x, r ') для произвольно выбранного значения r ' = 0.8. Заметим, что f (x, r = 0.8) колеблется между значениями 0.513 и 0.799. Теперь сравним форму g (x, r = 0.88) внутри циркуляционного прямоугольника на рис. 8.5 и форму f (x, r ' = 0.8) внутри циркуляционного прямоугольника, показанного на рис. 8.6.

 

 

Рис. 8.6. Двухпериоднческое поведение функции f (x) для r = 0.8. Сравните вид функции f (x) в циркуляционном прямоугольнике, ограниченном значениями x ₁* = 0.513 и x ₂* = 0.799, с поведением функции g (x) в циркуляционном прямоугольнике, показанном на рис. 8.5.

 

Мы видим, что если повернуть g вокруг горизонтальной оси, проходящей через центр прямоугольника, а затем увеличить g так, чтобы циркуляционные прямоугольники для f и g имели одинаковые размеры, то обе функции внутри прямоугольников будут качественно одинаковы. Можно определить коэффициент увеличения a, заметив, что диапазон изменения g (x, r = 0.88) равен 0.512-0.373 = 0.139, а диапазон изменения f (x, r = 0.8) равен 0.799-0.513 = 0.286. Следовательно, если выбрать a = 0.286/0.139 = 2.06, то обе функции будут вести себя сходным образом. Эта процедура иллюстрируется на рис. 8.7, где наложены циркуляционные прямоугольники функций f (х, r = 0.8) и g (x, r = 0.88).

 

 

Рнс. 8.7. Наложение соответственно увеличенных циркуляционных прямоугольников для функций f (х, r = 0.8) и g (x, r = 0.88).

 

Рассмотренный выше множитель представляет собой пример масштабного множителя; чтобы сравнить g с f, мы отмасштабировали g и изменили (перенормировали) значение r. Наши доводы были наводящими. Например, мы не объяснили выбор r ' = 0.8. Оказывается, что достаточно сравнить циркуляционные прямоугольники для значений г, соответствующих неподвижной точке х = 1/2 и неподвижной точке, ближайшей к х = 1/2. Более строгий подход показывает, что если продолжить сравнение итераций более высокого порядка, например h (x) с g (x) и т.д., то для всех отображений одного и того же порядка совмещение функций будет сходиться к некой универсальной функции, не зависящей от вида начальной функции f (x).

Число a можно определить из родственных соображений. Посмотрите на «камертонные» бифуркации, изображенные на рис. 8.3 и 8.8. Заметим, что каждый камертон порождает «двойню» новых поколений, более плотно упакованных по сравнению с предыдущим поколением. Для количественной характеристики роста плотности неподвижных точек рассмотрим поведение функции f (x) при значениях r = r ⁽ⁿ⁾ для которых одна из неподвижных точек равна 1/2.

 

 

Рис. 8.8. Зависимость х от параметра роста r. Значение d является расстоянием от х * =1/2 до ближайшего элемента аттрактора с периодом 2 ⁿ.

 

Например, в задаче 8.4 мы нашли r ⁽¹⁾ ≈ 0.809 и r ⁽²⁾ ≈ 0.875. Одной из мер плотности может служить величина d_n = x_n * – 1/2, где х_n * – значение неподвижной точки, ближайшей к неподвижной точке х * = 1/2. Первые два значения d_n показаны на рнс. 7.8, где d ₁ ≈ 0.309 и d ₂ ≈ 0.117. Заметим, что неподвижная точка, ближайшая к х = 1/2, переходит с одной стороны прямой х = 1/2 на другую. Определим величину a с помощью отношения

 

(8.10)

 

Оценка a = 0.309/0.117 = 2.64 согласуется с нашими предыдущими оценками и асимптотическим пределом a = 2.5029078750958928485... (Целый ряд десятичных цифр приведен для того, чтобы показать, что это число известно с большой точностью!)

Мы можем количественно описать процесс удвоения периода с последующим переходом к хаосу. Напомним, что rn является значением r, при котором впервые появляются 2 ⁿ циклов. В задаче 7.4 мы нашли значения r ₁ = 0.75, r ₂ = 0.862 и r ₃ = 0.880. Фейгенбаум показал (с помощью калькулятора), что по мере роста n значение r_n приближается к предельному значению r_c по простому закону:

 

rn – rc = A d –n.

(8.11)

 

Замечательный результат работы Фейгенбаума заключается в том, что постоянная d, как и a, является универсальной, т.е. d не зависит от детальных свойств f (x), а зависит только от порядка отображения. Напротив, постоянная А зависит от детальной структуры функции f (x). Из формулы (8.11) непосредственно выводится, что d можно также определить с помощью соотношения

 

(8.12)

 

Используя приведенные выше значения r ₁, r ₂ и r ₃ получим d ≈ 6.22; асимптотическое значение равно d = 4.66920160910299097....

 

ЗАДАЧА 8.6. Дальнейшие оценки универсальных постоянных a и d

 

а. Пользуясь рассуждениями, аналогичными тем, которые приведены в тексте, сравните поведение g (x) в циркуляционном прямоугольнике при х = 1/2 для r = r ⁽²⁾ ≈ 0.875 с поведением f (x) в соответствующем циркуляционном прямоугольнике для r ⁽¹⁾ ≈ 0.809. Найдите соответствующий масштабный множитель a и наложите f на перемасштабированную функцию g.

б. Проведите анализ, аналогичный п. «а», и сравните h (x) при r = r ⁽³⁾ ≈ 0.880 с g (x) при r = r ⁽²⁾. Определите масштабный множитель и наложите эти две функции.

в. Вычислите значения rn для процессов удвоения периода 8 → 16 и 16 → 32. Используйте эти значения rn для улучшения оценки d.

г. Получите дополнительные значения для r ⁽ⁿ⁾, значений r, при которых 2 ⁿ итераций функции f (x) имеют неподвижную точку при х * = 1/2. Получите дополнительные оценки d, воспользовавшись выражением (8.12) с заменой r_n на r ⁽ⁿ⁾.

д. Вычислите a и d для отображений (8.8) и (8.9).

 

Из приведенных выше рассуждений можно сделать вывод о том, что существуют универсальные постоянные a и d, не зависящие от конкретного вида f (х). Почему универсальность бифуркаций и существование универсальных постоянных относятся к чрезвычайно редким явлениям? Одна из причин заключается в том, что едва ли популяция будет эволюционировать в точном соответствии с отображением (8.6) или любым другим из ранее рассмотренных нами отображений. Однако если поведение не зависит от деталей функции, описывающей его, то могли бы существовать реальные системы, динамика которых была бы аналогична поведению простых отображений, которые мы рассмотрели. Если бы динамика была аналогичной, то мы бы узнали, что динамику системы со многими степенями свободы можно при определенных условиях упростить.

Конечно, физические системы обычно описываются дифференциальными, а не разностными уравнениями. Может ли происходить в таких системах удвоение периода? Некоторые исследователи сконструировали нелинейную RLC-цепь, присоединенную к генератору гармонического напряжения. Выходное напряжение испытывало бифуркации, а измеренные значения a и d согласовываются со значениями, предсказанными для простого квадратичного отображения.

Поскольку электрические цепи можно описать с помощью нескольких переменных, то не могло вызвать удивления, что они ведут себя подобным образом. Более интересный случай представляет собой природа турбулентности в жидкости, которая является одной из главных областей исследования учеными различных специальностей. Рассмотрим, например, поток воды, обтекающий несколько препятствий. Из опыта известно, что при малых скоростях поток является регулярным и постоянным во времени и называется ламинарным течением. По мере роста скорости потока (определяемой с помощью безразмерного параметра, который называется числом Рейнольдса) появляются завихрения, но движение все еще постоянно. Если еще более увеличить скорость потока, то вихри опрокидываются и начинается движение нижних слоев. Поток, который мы наблюдаем, находясь на уступе, становится нестационарным. Если и дальше скорость увеличивается, то поток становится очень сложным и выглядит хаотическим. Мы говорим, что течение воды совершило переход из ламинарного режима в турбулентный.

Это качественное описание перехода к хаосу в гидродинамических системах внешне выглядит аналогично описанию простого квадратичного отображения. Можно ли гидродинамические системы проанализировать с помощью простых моделей такого типа, которые мы здесь обсуждали? В некоторых частных случаях, таких как турбулентная конвекция в подогретом соуснике, удвоение периода и других, наблюдались переходы в турбулентный режим. Вообще такого типа теория и анализ, который мы провели, породили новые концепции и подходы. Тем не менее, истинное представление природы турбулентных потоков остается предметом многих современных исследований.

 

% logistic_5

clear all

for r=0.5:0.001:1

lambda=4*r;

x(1)=0.5;

for n=2:1000

x(n)=lambda*x(n-1)*(1-x(n-1));

if n>150

plot(lambda,x(n)),hold on

end

end

end

title('Бифуркационная диаграмма в зависимости от параметра \lambda')

xlabel('\lambda');

ylabel('x');

 

 

% logistic_5

clear all

for r=0.73:0.001:1

lambda=4*r;

x(1)=0.5;

for n=2:1000

x(n)=lambda*x(n-1)*(1-x(n-1));

if n>150

plot(lambda,x(n)),hold on

end

end

end

title('Бифуркационная диаграмма в зависимости от параметра \lambda')

xlabel('\lambda');

ylabel('x');

 

% logistic_5

clear all

for r=0.85:0.001:1

lambda=4*r;

x(1)=0.5;

for n=2:1000

x(n)=lambda*x(n-1)*(1-x(n-1));

if n>150

plot(lambda,x(n)),hold on

end

end

end

title('Бифуркационная диаграмма в зависимости от параметра \lambda')

xlabel('\lambda');

ylabel('x');

 

% logistic_5

clear all

for r=0.95:0.0001:0.9(75

lambda=4*r;

x(1)=0.5;

for n=2:1000

x(n)=lambda*x(n-1)*(1-x(n-1));

if n>150

plot(lambda,x(n)),hold on

end

end

end

title('Бифуркационная диаграмма в зависимости от параметра \lambda')

xlabel('\lambda');

ylabel('x');

 

 

 

Система Енона (Henon)

(Отображения с двумя параметрами)

 

Было рассмотрено отображение, являющееся простейшим представителем отображений с единственным квадратичным экстремумом, и обсудили картину бифуркаций и переход к хаосу, которые наблюдаются при вариации единственного управляющего параметра λ. В реальности, однако, часто встречаются ситуации, в которых система характеризуется не одним, а, по крайней мере, двумя параметрами. Пусть, например, мы наблюдаем за динамикой популяции, описываемой дискретной переменной x_n. Можно представить себе ситуацию, когда количество пищи, задающее параметр отображения λ, меняется с периодичностью два года. Это может происходить и по естественным причинам, или, например, за счет периодического искусственного подкармливания. Такая система может быть охарактеризована уже двумя параметрами:

 

 

Эта задача приводится к одномерному «квартичному» отображению:

 

 

Как мы видели, возможность сложной динамики и хаоса в отображениях связана с наличием квадратичного экстремума. Поэтому если говорить о некой общей теории, естественным шагом является переход от отображения с единственным квадратичным экстремумом к отображению с двумя такими экстремумами. Простейшим вариантом функции с двумя экстремумами является кубическая парабола. Таким образом, приходим к отображению:

 

 

Это отображение естественно назвать кубическим. В отличие от логистического отображения, в этом случае изменение знака перед нелинейным членом существенно меняет свойства отображения, поэтому для полноты картины следует рассмотреть и отображение

 

 

Переход к кубическому отображению как следующей «естественной» модели теории можно обосновать более строго с использованием разложения в ряд Тейлора. Такой подход позволяет перейти далее к трехпараметрическим моделям и т.д. Заметим, что число существенных параметров, от которых зависит картина динамических режимов и бифуркаций, является важной характеристикой моделей и явлений в нелинейной динамике и поэтому носит специальное название – коразмерность.

 

Отображение Энона

 

Рассмотрим пример двумерного отображения, широко используемого в нелинейной динамике.

Как известно, простейшим одномерным отображением со сложной динамикой является логистическое отображение

 

 

которое описывает, например, динамику биологической популяции. Тогда возникает правомерный вопрос: нельзя ли построить двумерное обобщение логистического отображения? Это можно сделать различными способами, наиболее простым из которых является следующий. При введении одномерного отображения мы предполагали, что численность популяции в (n + 1)-ый год зависит лишь от ее численности в n -ый год. Предположим теперь, что память «глубже», т.е. численность популяции в (n + 1)-ый год зависит как от численности в n- ом году, так и от численности в (n - 1)-ом году. Будет считать, что последняя зависимость должна быть слабой, поэтому будем полагать ее линейной. Тогда отображение запишется в виде

 

 

где b – некоторый новый коэффициент.

Введем теперь обозначение y_{n + 1} = x_n. Тогда (63) можно переписать в виде

 

 

Это и есть искомое двумерное отображение. Если использовать другой вариант исходного логистического отображения, то можно прийти к записи в виде

 

 

Такое отображение впервые предложил французский астрофизик Мишель Энон (M. Henon), и оно носит его имя. Отметим, что Энон не использовал биологическую интерпретацию, а действовал чисто математическими методами, конструируя простейшие двумерные квадратичные отображения со сложной динамикой.

Отображение Энона допускает аналитический поиск не только неподвижной точки, но и 2-цикла. Сначала найдем неподвижную точку отображения Энона.

Для этого надо решить следующую систему

 

 

Отсюда следует, что

 

и

 

Таким образом, при выполнении условия

 

 

в системе рождается пара неподвижных точек, одна из которых будет устойчивой, а вторая – не устойчивой, т.е. происходит уже встречавшаяся нам ранее касательная бифуркация.

Теперь найдем 2-цикл отображения. Для его элементов справедливы соотношения

 

Тогда

 

 

Складывая и вычитая первое и второе уравнения (70), легко находим

 

 

Из первого уравнения следует, что

 

 

В свою очередь, подставляя этот результат во второе уравнение (71) и используя очевидное соотношение x ₂² + x ₁² = (x ₂ + x ₁)² − 2 x ₂ x ₁, получим

 

 

Отсюда следует, что, согласно теореме Виета, x ₁ и x ₂ являются корнями следующего квадратного уравнения

 

 

из которого легко находятся элементы цикла:

 

 

Нетрудно видеть, в частности, что корни существуют только при условии

 

откуда следует, что 2-цикл рождается при условии

 

На рис. 38 показано бифуркационное дерево отображения Энона при b = 0,3. Можно видеть, что оно демонстрирует не только рождение устойчивого 2-цикла из неподвижной точки, но и весь каскад бифуркаций удвоения периода, хаос и окна периодичности в хаосе. Новым по сравнению с логистическим отображением является то, что дерево иногда скачком «разбухает», то есть размер аттрактора резко увеличивается. Такое явление в нелинейной динамике называют кризисом. Оно встречается достаточно часто (например, оно есть в отображении прыгающего шарика, см. рис. 33) и обыкновенно возникает, если в системе присутствует мультистабильность: в этом случае при определенных значениях параметров два аттрактора могут слиться в один, и именно этот момент отображается на дереве в виде его резкого расширения. Возможны, однако, и другие варианты кризисов.

 

 

Рис. 38. Бифуркационное дерево отображения Энона (65) при b=0,3.