Фиг. 16
точках Е 1, Е 2, Е 3,..., Еn. Проводим ряд прямых QR 1, QR 2, QR 3,..., QRn до пересечения с вертикалью qE.
Теперь, как и в первоначальном доказательстве, уравновесим треугольник EqQ грузом, подвешенным в точке А. Но в отличие от первого, «атомистического» доказательства, во-первых, Архимед не говорит ничего о том, что грузы P 1, P 2, р 3,..., подвешенные в А, представляют собою перенесенные на новое место элементы параболического сегмента qRмQ и что именно каждый элемент параболического сегмента по перенесении в A уравновешивает {110} соответствующий элемент треугольника QqE; во-вторых, теперь эти грузы P 1, P 2, P 3,... уравновешивают не «линии» в треугольнике, т. е. элементы бесконечно малой ширины, а элементы треугольника некоторой произвольно взятой конечной ширины — трапеции ЕО 1, Е 1 О 2 и т. д., оставшиеся на своих местах; разумеется, про себя Архимед все время представляет себе P 1, P 2, P 3..., как те же, но перенесенные на новое место элементы параболы, но из соображений строгости он об этом говорить не может. Теперь p 1, Р 2, Р 3, просто некоторые грузы, которые, будучи подвешены в точке А, соответственно уравновесят оставшиеся на своих местах трапеции EO 1, Е 1 О 2 и т. д.
Не трудно видеть, что вследствие этого доказательство Архимеда лишилось наглядности и получило характер некоего фокуса. Поскольку сам «фокусник» все время лишь видоизменяет «атомистическое» доказательство, он может быть спокоен, что в конце концов придет к желанному результату. Итак, в непосредственной наглядной убедительности уже нет нужды; поэтому теперь нет уже надобности брать за коромысло весов AQ медиану; теперь он берет за коромысло другую прямую.
Как и в первоначальном доказательстве [стр. 79, уравнения (1), (2), (3), (4)], Архимед исходит из уравнений
OA: OH 1 = QO: OH 1 = Qq: qO 1 = E 1 O 1 : O 1 R 1,
но так как прямую O 1 R 1 он не имеет уже права считать элементом параболического сегмента, а O 1 E 1 — элементом треугольника, то он, исходя из того, что площади трапеций EO 1 и FO 1, имеющих равные высоты, пропорциональны суммам их оснований, а, значит, и основаниям Е 1 О 1 и O 1 R 1, заменяет прежние бесконечно малые элементы E 1 O 1 и O 1 R 1 конечными элементами — трапециями ЕО 1 и FO 1:
ОА: ОН 1 = трап. EO 1 : трап. FO 1.
Так как ОА и OH 1 — плечи рычага, то отсюда видно что трапеция FO 1 при перенесении ее так, чтобы ее центр тяжести находился на одной вертикали с А, уравновесит трапецию ЕО 1, центр тяжести которой будет перенесен на вертикаль, проходящую через Н 1; в действительности {111} же, ее центр тяжести лежит где-то между вертикалями ОЕ и Н 1 Е 1 и в точке А она уравновешивается грузом Р 1. Итак, в действительности правое плечо меньше, чем ОН 1, а для того, чтобы трапеция FO 1 уравновесила, находясь в конце левого плеча, трапецию ЕО 1, правое плечо приходится увеличить; следовательно,
| (1) |
трап. FO 1 > P 1.
Таким же образом получим:
| (2) |
трап. F 1 O 2 > Р 2; трап. F 2 O 3 > Р 3;...
Но прямые Е 1 О 1 и O 1 R 1 являются основаниями не только трапеций ЕО 1 и FO 1, но и трапеций E 1 O 2 и R 1 O 2. Очевидно, и их площади пропорциональны их основаниям, т. е.
ОА: ОН 1 = трап. E 1 O 2: трап. R 1 O 2.
Отсюда видно, что трапеция R 1 О 2 при перенесении ее так, чтобы центр тяжести попал в A, уравновесит трапецию E 1 O 2, центр тяжести которой будет перенесен на вертикаль, проходящую через H 1; в действительности же, ее центр тяжести лежит где-то между вертикалями Н 1 Е 1 и Н 2 Е 2 и в точке А она уравновесится грузом Р 2. Итак, в действительности правое плечо больше, чем ОН 1, а для того чтобы трапеция R 1 O 2 уравновесила, находясь в конце левого плеча, трапецию ЕО 1, правое плечо приходится уменьшить; следовательно,
| (3) |
трап. R 1 O 2 < Р 2.
Сопоставляя (2) с (3), получим
| (4) |
трап. F 1 O 2> P2 >трапеции R 1 O 2.
Точно так же докажем, что
трап. F 2 O 3 > р3 > трап. R 2 O 3 и т. д.
Но P 1, Р 2, р 3,... уравновешивают последовательные элементы треугольника EqQ, а Р 1+ P 2+ P 3+... весь тре-{112}угольник EqQ; следовательно, как это доказано в сочинении «О равновесии плоских тел»,
P 1 + P 2 + P 3 +...= 1/3Δ EqQ.
Складывая почленно приведенные выше неравенства, получим
трап. FO 1 + трап. F 1 O 2 + трап. F 2 O 3 >
1/3 треуг. EqQ > трап. R 1 O 2 + трап. R 2 O 3
+ трап. R 3 O 4 +...
После этого Архимед по разобранному выше рецепту очень обстоятельно доказывает, что разность между суммой в левой части уравнения и суммой в правой части уравнения может быть сделана сколь угодно малой: каждая из трапеций, заштрихованных на нашем чертеже вертикальными штрихами, сдвигается так, чтобы она прилегала к прямой qQ; получается, что их сумма (т. е. искомая равность между двумя суммами объемлющих и объемлемых трапеций) равна площади треугольника qQF, а эта площадь может быть сделана сколь угодно малой при разделении Qq на достаточно большое число частей. Затем уже по шаблону доказывается, что площадь параболического сегмента, лежащая между этими двумя суммами, не может быть ни больше, ни меньше 1/3 площади треугольника qQE, а следовательно, она равна ей.
Необходимо отметить, что различная штриховка чертежа применена нами, а не Архимедом; он вообще ни словом не дает понять, что сумма площадей трапеций в левой части уравнения — это площадь ломаной, объемлющей параболический сегмент, а сумма площадей трапеций в правой части уравнения — это площадь ломаной, вписанной в параболический сегмент, и что по мере увеличения числа зубцов обе эти ломаные стремятся к общему пределу — к параболическому сегменту. Даже такие намеки на метод атомистов казались недостаточно строгими и противоречили хорошему тону в математике, который требовал, чтобы ученый не подводил ученика к решению и не уяснял ему общие приемы нахождения решения, а при {113} помощи ряда чудодейственных манипуляций, неизвестно откуда пришедших ему в голову, но зато вполне строгих, принуждал принять его выводы, как логически неизбежные.
Выставленное Архимедом в предисловии к этому сочинению программное утверждение, что он не пользуется «вряд ли допустимыми» предпосылками атомистов, а кладет в основу указанную выше (стр. 107—108) предпосылку, принятую всеми корифеями математики, Архимед, таким образом, полностью оправдывает; при окончательном доказательстве того, что площадь сегмента не больше и не меньше 1/3 Δ EqQ (предл. 16), он умышленно ссылается на эту предпосылку в ее канонической форме и лишь затем подвергает ее преобразованию: «Излишек площади сегмента над 1/3Δ EqQ, будучи многократно прибавляем к самому себе, может быть сделан больше EqQ. Поэтому можно найти такую часть треугольника EqQ, которая будет меньше, чем указанный излишек площади сегмента над 1/3 Δ EqQ.»
Если таким образом Архимед тщательно вытравил все следы метода атомистов из своей работы, то у него все же не могло быть уверенности в том, что его нововведение — «механический» метод решения, основанный на законе рычага, — будет благосклонно принят официальной математикой. А так как он не хотел ради пропаганды нового метода ставить под удар свое новое открытие, которым он, как мы видели, гордился, то он в этом же сочинении дает и другой вывод площади параболического сегмента, основанный на чисто геометрических предпосылках.
На основании выведенных Архимедом во вспомогательных леммах зависимостей в параболе он доказывает, что если мы впишем в параболический сегмент треугольник, вершина которого совпадает с вершиной параболического сегмента, а затем на каждой из сторон этого треугольника построим снова треугольник, вершина которого совпадает с вершиной сегмента, ограниченного этой стороной треугольника, и будем продолжать этот процесс и дальше, то каждый новый треугольник равен 1/8 предыдущего а {114} следовательно, площадь всех фигур, построенных на первом треугольнике, равна 1/4 площади этого треугольника, площадь всех фигур, построенных на этих фигурах, равна 1/4 площади этих фигур и т. д. Далее Архимед должен был бы доказать, что сумма членов бесконечно убывающей прогрессии
l + 1/4 + (1/4)2 + (1/4)3 +... = 4/3.
Но такое доказательство требовало в то время применения атомистического метода (см. стр. 19). Он идет обходным путем, доказывая, что сумма любого числа членов этой прогрессии отличается от 4/3 не больше чем на 1/3 последнего члена.
Он доказывает это положение (в переводе на наши обозначения) так: пусть мы имеем ряд членов А, В, С, D,... Z где каждый последующий равен 1/4 предыдущего.
Тогда
| (1) |
B + C + D +... Z + 1/3 B + 1/3 C + 1/3 D +...+ 1/3 Z = 4/3 B + 4/3 C +4/3 D +...+ 4/3 Z.
Но 4/3 B = 1/3 A;
4/3 C = 1/3 B;
4/3 D = 1/3 C
и т. д., откуда
| (2) |
B + C + D +...+ Z + 1/3 B + 1/3 C + 1/3 D +...+ 1/3 Z = 1/3 A + 1/3 B + 1/3 C +...+ 1/3 Y.
Отнимая от обеих частей уравнения общие члены
1/3 B + 1/3 C + 1/3 D +...+ 1/3 Y, {115}
получим
| (3) |
B + C + D +...+ Z + 1/3 Z = 1/3 A,
или, прибавляя к обеим частям уравнения по A,
A + B + C + D +...+ Z + 1/3 Z = 4/3 A.
Если А= 1, B =1/4, С=(1/4)2 и т. д., то получим
l + 1/4 + (1/4)2 + (1/4)3 +...+ 1/3(1/4) n = 4/3.
Совершенно ясно, что такое изысканное, искусственное решение можно найти, только зная заранее результат.
Теперь с нашей точки зрения остается только констатировать что 1/3 Z или 1/3(1/4) n при достаточном увеличении числа членов прогрессии может быть сделано меньше любой данной величины, чтобы придти к заключению, что сумма членов этой прогрессии равна 4/3. Архимед принужден идти другим, хорошо уже нам известным шаблонным путем, предполагая сначала, что эта сумма больше, а затем, что она меньше 4/3 на любую заданную величину, и приводя читателя в обоих случаях к абсурду.
Перейдем теперь к сочинению «О шаре и цилиндре», вышедшему, как мы говорили уже, вслед за сочинением «О квадратуре параболы». И эта книга начинается с ряда аксиом, определений и лемм. Так как Архимеду придется рассматривать круг, круговой сектор и поверхности вращения как пределы фигур и тел, ограниченных прямыми линиями и плоскостями, то ему приходится дать определение фигур, выпуклых в одну сторону, и постулировать, что прямая — кратчайшее расстояние между двумя точками, а из выпуклых фигур объемлемая всегда короче объемлющей; поэтому периметр многоугольника, описанного вокруг круга, больше окружности, а вписанного — меньше. Как мы уже отмечали, рассмотрение двух рядов переменных величин — верхнего и нижнего, — стремящихся к одному и тому же пределу (в частном случае, вписанного в круг и описанного многоугольника), и сбли-{116}жение их между собой, так чтобы разница стала сколько угодной малой, представляет собой собственное нововведение Архимеда, основанное на развитии мысли софиста Антифонта; его непосредственные предшественники всегда имели дело только с одной величиной, стремящейся к пределу. Для этой цели Архимед доказывает, что если даны две неравные величины, сколько угодно близкие друг к другу, то всегда можно найти такие два отрезка прямой, чтобы отношение большего к меньшему было меньшим, чем отношение этих величин. Повторяя затем вывод первой части приведенного выше (стр. 27) предл. 2 кн. XII Евклида о том, что разность между площадью вписанного многоугольника и круга при достаточном увеличении числа сторон многоугольника может быть сделана меньше любой заданной величины, он не довольствуется ссылкой на Евклида, а дополняет эту теорему другой, показывающей, что и разность между площадями вписанного и описанного многоугольников может быть сделана меньше любой заданной величины.
Затем Архимед переходит к определению боковой поверхности цилиндра и конуса. Методом атомистов эти задачи решались чрезвычайно просто. Поскольку окружность основания рассматривалась как многоугольник с очень большим числом сторон, каждая из которых равнялась неделимому, боковая поверхность цилиндра оказывалась совокупностью чрезвычайно узких прямоугольников, а боковая поверхность конуса — чрезвычайно узких треугольников. Боковая поверхность призмы равна произведению периметра основания на высоту, а боковая поверхность пирамиды — половине произведения периметра основания на образующую; эти же формулы без дальнейших доказательств применялись к цилиндру и к конусу. Для Архимеда эта процедура атомистов была, разумеется, неприемлема, он заменяет ее списыванием и вписыванием в цилиндр (resp. конус) призм (resp. пирамид) с последовательным увеличением числа сторон основания до тех пор, пока разность между вписанной и описанной фигурами не станет меньше любой заданной величины. Результат заранее известен, и автору необходимо только путем reductio ad absurdum доказать, что искомая поверхность не может быть ни больше, ни меньше {117} этой величины. При этом, выражаясь языком нынешней алгебры, формуле для боковой поверхности конуса π rl придается вид π(Ö rl)2, т. е. она рассматривается как равновеликая площади круга, радиус которого есть средняя пропорциональная между радиусом основания конуса r и образующей l. Так же и формул а для боковой поверхности усеченного конуса у Архимеда соответствует нашей формуле π[Ö(r 1+ r 2) l ]2.
Приведем первую часть доказательства для боковой поверхности конуса как один из наиболее типичных примеров архимедова reductio ad absurdum (в наших обозначениях).
Пусть площадь основания конуса есть R, его радиус r, образующая l, средняя пропорциональная между r и l пусть равна m. Пусть M площадь круга с радиусом m, а S боковая поверхность конуса. Надо доказать, что S = М.
Пусть S не равно М, тогда оно либо больше, либо меньше М. Пусть S > M.
Вокруг окружности М опишем и в окружность М впишем подобные друг другу многоугольники так, чтобы отношение между их площадями было меньше отношения S: M. Вокруг окружности R опишем и в окружность R впишем многоугольники, подобные первым двум, а вокруг конуса — пирамиды, имеющие эти многоугольники основанием. Пусть площадь многоугольника, описанного вокруг R, равна R 1, а описанного вокруг М равна М 1, пусть площадь многоугольника, вписанного в R, равна R 2, a вписанного в М равна М 2; пусть боковая поверхность описанной пирамиды равна S 1. Тогда
R 1 : M 1 = r 2 : m 2 = r: l = R 1 : S 1,
откуда
M 1 = S 1.
Но по условию
M 1 : M 2 < S: M,
а значит, и подавно
S 1 : M 2 < S: M. {118}
Но это невозможно: S 1 > S, а M 2 < М; следовательно первое отношение имеет больший числитель и меньший знаменатель, чем второе; поэтому оно не меньше а больше второго. Итак, неравенство S > M невозможно.
Сходным же способом Архимед доказывает, что и S < M невозможно; значит S = M, что и требовалось доказать.
Важнейшими основными теоремами в этом сочинении являются теоремы о поверхности и объеме шара и шарового сегмента. Интегрирование, к которому здесь косвенным образом прибегает Архимед, является поразительной демонстрацией его гения, ибо оно соответствует в наших обозначениях интегрированию
 |
к которому Архимед фактически приходит путем нахождения предела суммы ряда
sinp/ n + sin2p/ n + sin3p/ n +...,
где 2 п — число сторон многоугольника, стремящееся к ¥.1
|
Но перейдем к этому исключительно изящному решению Архимеда. Здесь приведем только его решение для шара, ибо его решение для шарового сегмента в принципе тождественно с этим решением.
| Фиг. 17 |
Архимед вписывает в круг правильный многоугольник с четным числом сторон 2 п и проводит вспомогательные линии, указанные на фиг. 17. Затем он вращает весь чертеж, как вокруг оси, вокруг диаметра AG. Не трудно видеть, что от вращения многоугольника получатся следующие тела: два конуса ABb и GFf и ряд усеченных кону-{119}сов BbCc, CcDd и т. д., а от вращения круга — шар. Прямые Bb, Cc, Dd и т. д. параллельны между собой, как параллельны между собой и прямые bC, cD, dE и т. д. Из подобия треугольников А b В и ABG получаем
B b: b A = GB: BA.
Но (также из подобия треугольников)
B b: b A = b b: b K = C g: g K:... = f j: j G.
Ut omnes ad omnes, ita unus ad unum (см. стр. 25, п. 5), т. е.
(B b + b b + C g + g c +...+ F j + j f)/(A b + b K + K g + g L +...+ N j + j G) = GB: BA,
или, поскольку B b + b b = Bb, C g + g c = Cc и т. д.
(Bb + Cc + Dd +...+ Ff): AG = GB: BA.
| (1) |
Но поверхность тела, получаемого от вращения многоугольника, согласно выведенным Архимедом формулам, соответствующим (см. стр. 118) p rl для боковой поверхности каждого конуса и p(r 1+ r 2) l для боковой поверхности каждого усеченного конуса, будет суммой следующих поверхностей:
конуса Abb = p × AB × B b1, {120}
усеч. конуса BbCc= p × BC (B b+ C g)=p AB (B b+ C g),
усеч. конуса CcDd= p × CD (C g+ DO) = p AB (C g+ DO) и т. д.,
конуса FfG= p × FG × F j = p × AB × F j.
Складывая, находим, что искомая поверхность равна
| (2) |
p × AB (2 B b + 2 C g) + 2 DO +...+ 2 F j) =
= p × AB (Bb + Cc + Dd +...+ Ff).
Но в силу пропорции (1)
AB (Bb + Cc + Dd + Ff) = GB × AG,
откуда поверхность искомого тела равна p × GB × AG, а следовательно, она меньше p AG 2 (или 4 p r 2).
 |
Теперь Архимед описывает вокруг круга многоугольник и, рассуждая таким же образом, доказывает, что поверхность подобного разобранному выше тела вращения уже не вписанного, а описанного вокруг шара, больше p × AG 2 (или 4 p r 2). Поскольку выше было доказано,
 |
Фиг. 18
что разность между поверхностями этих тел может быть сделана меньше любой заданной величины, Архимед по знакомому уже нам шаблону доказывает reductione ad absurdum, что поверхность шара не может быть ни больше ни меньше p· AG 2, а следовательно, равна этой величине (т. е. 4p r 2).
Вычисление объема шара основано на лемме, дающей формулу для объема тела, составленного из двух конусов с общим основанием; тело это Архимед называет «телесным ромбом» (фиг. 18). Архимед доказывает, что объем телес-{121}ного ромба ОАВа равен объему конуса ЕА 1 a 1, площадь основания которого (круг с радиусом А 1 О 1) равна боковой поверхности ОАа одного из конусов, образующих телесный ромб, а высота которого ЕО 1 равна перпендикуляру BD, опущенному из вершины второго из конусов, образующих телесный ромб ВАа, на образующую первого конуса.
Мы приводим здесь полностью это доказательство Архимеда, чтобы показать, к каким громоздким геометрическим процедурам ему приходилось прибегать для того, чтобы выразить на языке геометрии то, что мы без всякого труда проделываем при помощи алгебраических преобразований (см. стр. 14); в дальнейшем мы этого делать не будем, а будем переводить решения Архимеда на язык нашей алгебры. Данная задача с нашей точки зрения сводится к доказательству, что объем телесного ромба равен (p × Oa · AC · BD)/3.
Мы бы доказывали это так:
Объем конуса ОАа равен (p· aC 2· OC)/3.
Объем конуса АВа равен (p· aC 2· CB)/3.
Объем всего тела равен (p· aC 2/3)(OC + CB) = (p· aC · aC · OB)/3.
Но из подобия треугольников ОаС и OBD (Ð BOD — общий; оба прямоугольные) имеем
Oa: aC = OB: BD,
откуда
aC · OB = Oa: BD,
следовательно,
(p· aC · aC · OB)/3 = (p· aC · Oa · BD)/3,
что и требовалось доказать.
Но сложение ОС + СВ на языке геометрии осмысляется тем путем, что строится третий вспомогательный конус MM 1 L с основанием (круг радиуса МР), равным основанию телесного ромба (кругу радиуса АС), и с высотой PL, равной ОС + СВ, т. е. всей высоте телесного ромба OВ. Затем доказывается весьма громоздким путем, что этот {122} вспомогательный конус равновелик сумме конусов с высотами ОС и СВ, т. е. телесному ромбу.
Архимед предварительно доказал уже, что объем телесного ромба относится к объему одного из образующих его конусов, как вся высота этого ромба к высоте конуса. Значит,
| (1) |
(ромб ОАВа): (конус АВа) = ОВ: СВ.
Поскольку объемы конусов с равными основаниями относятся, как высоты,
| (2) |
(конус MM 1 L): (конус АВа) = PL: СВ.
Но PL по построению равно ОВ; значит, в этих двух пропорциях равны три члена; следовательно, равны и четвертые, т. е.
| (3) |
(ромб ОАВа) = (конус LMM 1).
Далее, Аа=ММ 1, а боковая поверхность конуса ОАа равна площади основания конуса ЕА 1 а 1, следовательно,
(осн. конуса ЕА 1 а 1): (осн. конуса LMM 1) =
= (бок. поверхн. конуса ОАа): (осн. конуса ОАа) =
= Оа: аС = OВ: BD = LP: EO 1.
Получается, что в конусах EA 1 a 1 и LMM 1 площади оснований обратно пропорциональны высотам ЕО 1 и LP, а следовательно, эти конусы равновелики. Но, согласно (3), объем конуса MM 1 L равен объему ромба ОАВа; значит, и ромб ОАВа равен по объему конусу ЕА 1 а 1, что и требовалось доказать.
Доказав эту теорему, Архимед может уже перейти к теореме об объеме шара (фиг. 19). Как было показано на фиг. 17, он вращает вписанный в круг многоугольник ABCDEFG вокруг оси AG. Радиусами, проведенными иа центра, круг разбивается на секторы АОВ, ВОС, COD и т. д., и изучаются тела, получающиеся от вращения треугольника, вписанного в каждый сектор. От вращения треугольников АВО и OFG получаются телесные ромбы, от вращения остальных треугольников, например ВОС, получаются тела с поверхностью усеченного конуса. {123} Если мы этот усеченный конус достроим до полного конуса с вершиной в V, то объем тела, получающегося от вращения Δ BOC, будет равен разности между объемом телесного ромба VCOc и телесного ромба VBOb (фиг. 20).
