На основании предыдущей леммы объем телесного ромба, полученного от вращения Δ ABO, равен объему конуса, имеющего поверхность конуса ABb и высоту h, равную перпендикуляру, опущенному из O (вершины одного из конусов, образующих телесный ромб) на поверхность второго.
 |  | ||
Фиг. 19 Фиг. 20
Такое же доказательство для тела, получаемого от вращения треугольника ВОС, в виду его элементарности, но в то же время крайней громоздкости, мы переведем на язык нынешних терминов.
Объем телесного ромба VCOc равен бок. поверхн. конуса VCc ´ (h /3).
Объем телесного ромба VBOb равен бок. поверхн. конуса VBb ´ (h /3).
Объем искомого тела равен, как мы видели, разности между этими объемами, т. е. (бок. поверхн. конуса VCc минус бок. поверхн. конуса VBb) ´ (h /3), или бок. поверхн. усеч. конуса BCbc ´ (h /3).
Для нахождения объема всего тела вращения надо все эти объемы сложить. Получим: поверхность всего тела ´(h /3).
То же доказывается и для тела, описанного вокруг шара, а затем по известному уже нам шаблону доказы-{124}вается, что объем шара не может быть ни больше, ни меньше произведения его поверхности на треть высоты, опущенной из центра на поверхность шара, т. е. на треть радиуса, или
4p R 2´ R /3=4p R 3/3.
 |
Идя таким же путем Архимед получает соответствующие формулы и для шарового сектора. Поверхность шарового сегмента (или, что то же, сектора) равна площади круга, радиусом которого является образующая конуса, имеющего общую вершину и общее основание
 |
Фиг. 21 Фиг. 22
с сегментом. Переводя это выражение Архимеда на язык нашей алгебры, получим (фиг. 21):
Поверхность шарового сегмента равна p× AB 2.
Но из прямоугольного треугольника АВС
AB 2 = CB · BD.
Обозначив ВС через 2 В, а BD через Н, получим: поверхность шарового сегмента (или сектора) равна
p· CB · BD = 2p RH.
Объем шарового сектора получается тем же путем, что и объем шара; он оказывается равным произведению поверхности сектора на треть радиуса, или 2/3(p R 2 H).
Вторая книга сочинения «О шаре и цилиндре» посвящена более частным вопросам. Важно и интересно предл. II об объеме шарового сегмента (фиг. 22). Оно очень замы-{125} словато: «Если BAB 1 шаровой сегмент, ВВ 1 диаметр основания сегмента, О центр шара и АА 1 его диаметр, разделяющий ВВ 1 пополам в точке М, то объем сегмента равен объему конуса, имеющего то же основание, что и сегмент, и высота х которого определяется из пропорции (перевожу на язык наших геометрических символов):
х: АМ = (ОА 1 + A 1 M): А 1 М.
Очевидно, что
x = H (3 R — H)/(2 R — H)
Я не буду приводить здесь вспомогательных чертежей и сложных геометрических выкладок Архимеда. По существу дело сводится здесь к вычитанию из объема сектора 2p R 2 H /3 объема центрального конуса p(2 RH — H 2)(R — H)/3. В результате вычитания получится выражение
p H 2(3 R — H)/3,
аналогичное полученному Архимедом геометрическому выражению1.
На основании этой формулы Архимед хочет решить задачу: разделить шар плоскостью так, чтобы поверхности или объемы этих частей имели между собой данное отношение (т: п).
Первый случай (с отношением поверхностей) больших затруднений не содержит. Для нас интереснее второй случай с отношением объемов. Два получающихся сегмента имеют общее основание В 1 В с радиусом ВМ, а, так как {126} объем сегмента, как мы видели, выражается формулой
(p/3) BM 2· H (3 R — H)/(2 R — H),
 |
где (p/3) BM 2 — постоянный множитель, то очевидно, что
(H и H 1, — высоты двух сегментов).
Исключая из этих уравнений H 1 (Архимед проделывает это очень сложным геометрическим путем), мы получаем уравнение
H 3—3 H 2 R +(4 m /(m + n)) R 3=0
т. е. кубическое уравнение.
По существу Архимед и получает это уравнение, но он выражает его в виде пропорции. Действительно, его можно представить себе в виде
H 3—3 H 2 R +4 R 3—4 R 3+(4 m /(m + n)) R 3=0,
или
(R + H)(4 R 2—4 RH + H 2)=(4—(4 m /(m + n))) R 3,
или
(R + H)(2 R — H)2=4 nR /(m + n).
Если 2 R — H обозначить через x, а 4 nR /(m + n) через C, то получим
(3 R — x)· x 2 =C · R 2,
или
(3 R—x): C = R 2 : x 2.
Итак, задача сводится к следующей: заданный отрезок (3 R) разделить на две части (3 R — х и х) так, чтобы одна из частей (3 R — х) так относилась к данному отрезку (С), как данная площадь (R 2) к квадрату второй части (x 2).
Именно к этому вопросу, идя другим, геометрическим, путем, и сводит задачу Архимед, и в этом все ее значение. {127} Он прекрасно знал, что задача такого рода не может быть решена при помощи циркуля и линейки, но он мог, как это делали его современники — Эратосфен и другие, удовольствоваться решением данной задачи при помощи особых приборов (νεΰσις) или путем пересечения конических сечений. Он этого, однако, не хочет делать, а видит в этой задаче лишь частный случай общей задачи:
 |
т. е. по существу частный случай решения кубического уравнения в общей форме. Придя к этому выводу, он замечает: «Если подойти к задаче в этой общей форме, то она требует диоризма (т. е. установления предельных значений, между которыми она имеет решения); в данном же частном случае нет нужды в диоризме (т. е. задача имеет решения при всех значениях параметров). Анализ и синтез задачи я дам в конце».
Чтó означает последнее замечание, непонятно, ибо никакого решения этой задачи в дошедшем до нас сочинении «О круге и цилиндре» нет. Не было этого решения уже в античных экземплярах этой книги. Как сообщает живший в VI в. н. э. комментатор Архимеда Евтокий, Дионисодор и Диокл, первый из которых жил вскоре после Архимеда, а второй — столетием позже, не нашли в разбираемом сочинении Архимеда решения этой задачи и решили, «что Архимед пообещал, но не выполнил своего обещания», и поэтому добавили решения этой задачи от себя. «Но я, — замечает Евтокий, — в результате неутомимых поисков нашел в одной старинной книге доказательство нескольких теорем; правда, они были мало понятны вследствие множества ошибок и содержали много погрешностей в чертежах, но в основном в них заключалось то, что я искал; вдобавок, они были написаны отчасти на дорийском наречии, на котором писал Архимед; далее, в них применялась терминология, бывшая в ходу в древнейшее время, как, например, „сечение прямоугольного конуса“ для параболы» и т. д. Вслед за этим Евтокий приводит найденное им в этой книге решение, принадлежавшее, по его мнению, самому Архимеду. Здесь эта задача решалась {128} при помощи двух объемных мест, т. е. путем нахождения точки пересечения параболы и равносторонней гиперболы.
Евтокий думал, что он нашел утраченную страницу из разбираемого сочинения, и в этом с ним согласны исследователи нашего времени — Гейберг и Гэзс. Мне, однако, это допущение кажется неправильным по следующим причинам:
1. Если Архимед и ссылается в своих произведениях на νεΰσις (на решение геометрических задач при помощи особых приборов) или на решения с помощью пересечения конических сечений, то нигде эти приемы не применяются для получения решения задачи, а только для доказательства существования и возможности решения, для диоризма.
2. Евтокий установил принадлежность найденного им «в старинной книге» рассуждения Архимеду по математическому стилю и языку, но он нигде не говорит, что он нашел сочинение «О круге и цилиндре», в котором содержалось бы и это решение. Если бы он нашел экземпляр сочинений «О круге и цилиндре» с этим недостающим доказательством, то он не стал бы доказывать косвенным путем, что отрывок принадлежит Архимеду.
Поэтому нет оснований сомневаться в указаниях Дионисодора и Диокла, что рукописи сочинения «О шаре и цилиндре» не содержали этого решения. Мы видели уже, что Платон считал такого рода решения принципиально недопустимыми в математике; правда, предшественники и современники Архимеда часто применяли их, но Архимед, очевидно, не пошел по их стопам. Полное отсутствие таких решений в трудах Архимеда показывает, что он сознательно избегал таких, модных в его время решений считая их недостаточно строгими. Но в сочинениях типа «писем к друзьям» Архимед считал возможным и нужным говорить о тех недостаточно строгих путях, которые привели его к тому или иному решению; возможно, что из такого «письма» и позаимствовано решение, приводимое Евтокием.
Вернемся, однако, к архимедову общему решению кубического уравнения. Нам теперь известно, что древние вавилоняне решали кубическое уравнение. Интересно сопоставить эти решения с архимедовым, чтобы убедиться {129} в глубокой принципиальной разнице между древневосточной и греческой математикой.
Древневавилонского математика интересовало прежде всего нахождение числовых решений кубических уравнений, встречающихся в практике. Он поступал для этой цели таким образом. Найдя способы преобразовывать всякого рода кубические уравнения к виду
x 3+ x 2 = т,
он, не ища решения этого уравнения, затабулировал все целые решения для x (подставлял он, конечно, последовательные решения для х, а находил т, а не наоборот; поэтому решать уравнение ему не приходилось).
Совсем иначе поступает Архимед. Он стремится свести частные случаи кубического уравнения к одному универсальному виду вовсе не для нахождения числовых решений: нахождением числовых решений греческая геометрия вообще не занималась. Его интересуют принципиальные вопросы: возможность обобщения проблемы, существование решений, предельные возможные значения (диоризм) и т. д. Этот диоризм сводится к нахождению наибольших возможных решений для x 2 (С—х); Архимед приходил к правильному решению, что таким наибольшим значением является
х= 2/3 С.
| при |
 |
Для этого вывода ему и понадобилось «нестрогое» решение при помощи конических сечений, ибо таким путем он мог предварительно найти, что указанные выше кривые соприкасаются между собой в точке х = 2/3 С,
| Если, с другой стороны, |
| то, как он доказывает, существуют два веще- |
ственных корня. В частном случае с шаром ясно, что условие для существования вещественных корней выполнено; ибо выражение, отвечающее в этом случае есть (n /(m + n)) × 4 R 3; необходимо {130} только, чтобы
(n /(m + n))·4 R 3£(4/27)(3 R)3 или 4 R 3,
что всегда верно.
Теоремы 5—7 книги II сочинения «О шаре и цилиндре» представляют собою, с нашей точки зрения, элементарные алгебраические упражнения в формулах для шарового сегмента (построить шаровой сегмент, равновеликий одному данному шаровому сегменту и подобный другому или имеющий поверхность, равную поверхности одного шарового сегмента, и подобный другому и т. п.). Разница лишь в том, что Архимед принужден решать эти задачи геометрическим путем, что значительно усложняет решение. Первая из этих задач приводится к кубическому уравнению и потому не может быть решена при помощи циркуля и линейки; верный своему принципу не давать «нестрогих решений» при помощи «вставления отрезков» (νεΰσις) или пересечения кривых, Архимед констатирует, что задача приводится к нахождению двух средних пропорциональных, но решения построением не дает. Решения сопровождаются диоризмами, т. е. установлением предельных значений, при которых решение задачи возможно.
Для нас более интересны два последних предложения книги II. В первом из них доказывается, что при разделении шара на два неравных сегмента отношение объемов этих сегментов меньше отношения квадратових поверхностей и больше отношения полуторных степенейих поверхностей (или, как выражается Архимед, меньше удвоенности этого отношения и больше полуторности его). Этим доказательством Архимед исправил свое неправильное утверждение в письме к Конону (стр. 100), будто объемы шаровых сегментов относятся, как квадраты их поверхностей. Для нас эта теорема интересна тем, что здесь Архимед впервые в математической науке вводит понятие дробной степени.
Еще интереснее последняя теорема: «Из всех шаровых сегментов с равновеликой поверхностью полушар имеет наибольший объем». И здесь Архимед исправляет свое неверное утверждение в том же письме к Конону, будто наи-{131}больший объем имеет тот из таких сегментов, который образован делением диаметра шара в отношении 3:1. Для нас интересно то, что здесь ставится задача на нахождение максимума, т. е. знаменитая изопериметрическая задача.
Правда, общепринятый взгляд, будто изопериметрическая проблема была Архимедом поставлена впервые, неправилен. Из комментария Филопона мы узнаем, что уже Демокрит доказывал, что из всех многогранников с одинаковым объемом наименьшую поверхность имеет шар. Правда, метод его доказательства нам не известен; нам известно только доказательство этой теоремы, данное Зенодором, одним из ближайших преемников Архимеда.
 |
 |
Фиг. 23 Фиг. 24
Задачу о сегменте Архимед решает следующим образом (в переводе на нашу алгебраическую терминологию).
Выше (стр. 119 и сл.) мы видели, как Архимед доказал, что поверхность шарового сегмента АВВ 1 равна площади окружности с радиусом АВ. На фиг. 23 и 24 представлены оба мыслимых случая: когда сегмент меньше полушара (слева) и когда он больше полушара (справа). В обоих случаях
AB 2 = AM 2 + BM 2,
но в первом ВМ > АМ, и поэтому
AB 2>2 AM 2,
во втором же случае ВМ < АМ, и поэтому
АВ 2 < 2 АМ 2. {132}
В первом случае
АВ 2 < 2 AO 2
(как квадрат стороны, лежащей против острого угла), значит,
 |
2 AO 2 > АВ 2 >2 АМ 2,
или
Во втором случае
AB 2 >2 AO 2
(как квадрат стороны, лежащей против тупого угла),
значит,
2 АО 2 < АВ 2 < 2 АМ 2,
|
или
_
Иными словами, если на диаметре АА 1 отложить от А отрезок AR, равный AB /Ö2, то точка R в обоих случаях будет лежать между М и O; а если так, то полухорда RT, перпендикулярная к АА 1 в обоих случаях больше ВМ. Но
BM 2= AM · A 1 M,
RT 2= AR · A 1 R,
откуда
АR · А 1 R > АМ · А 1 М.
Подставив
 |
| AM = h, AO = r, |
получим
| {133} |
 |  |
 |
или
 |
Правая часть неравенства есть объем шарового сегмента при радиусе шара r и высоте сегмента h; его поверхность 2p rh. Левая часть неравенства — объем полушара радиуса его поверхность:
Этот полушар есть один из шаровых сегментов, имеющих ту же поверхность 2 π rh. Но по объему он больше всякого другого сегмента с такой же боковой поверхностью, что и требовалось доказать.
Подведем итог этой главе. И в эпоху написания ранних математических сочинений для творчества Архимеда характерно продолжающееся увлечение механикой и механическими методами решения геометрических задач. Он начинает свою математическую деятельность, по-видимому, с того, что во вполне обработанном и предназначенном для широкой публикации сочинении открыто демонстрирует метод решения чисто геометрических задач при помощи механики. Правда, все атомистические рассуждения и приемы из этой механики тщательно устранены, но самое введение механики в геометрический обиход после категорических запрещений Платона, вдохновителя позднейших деятелей Александрийского Музея, было несомненно революционным актом; очевидно, в эту эпоху Архимед был убежден, что его закон рычага доказан по всем правилам тогдашней математики при помощи reductio ad absurdum, как и все другие теоремы геометрии. Поэтому он считал ссылку на этот закон в геометрическом сочинении логически безукоризненной; предпосылка же, по которой подвешенное к рычагу тело можно, не нарушая равновесия, заменить любым другим, имеющим ту же массу и тот же центр тяжести, казалась ему в это время столь же очевидной, как любая аксиома {134} геометрии. Но в другом отношении Архимед проявил большую строгость и щепетильность, чем его современники: он не только не допускал доказательств и решений, исходящих из атомистического разложения величин на сверхчувственно малые элементы, но и исходил из принципа, что геометр может ссылаться только на манипуляции, выполняемые при помощи циркуля и линейки: нахождение пересечения кривых или «вставление» отрезков данной длины между двумя кривыми играли у него почти ту же роль, что в евклидовых «Началах» — предположение, что задача решена.
То, что его увлечение механикой не остыло и в это время, ясно из следующего. Если сочинение «О квадратуре параболы» содержит ссылки на первую книгу сочинения «О равновесии плоскостей» и, следовательно, написано после нее, то вторая книга сочинения «О равновесии плоскостей» в нескольких местах опирается на основные выводы книги «О квадратуре параболы», принимая их за доказанные. Значит, эта работа вышла уже в Сиракузах, после появления первых геометрических сочинений Архимеда.Конечно, при этом нельзя не отметить того, что увлечение механикой уже отошло на второй план, уступив место чисто геометрическим интересам. Все содержание этой книги сводится к нахождению центра тяжести параболического сегмента и отрезка параболы, заключенного между двумя параллельными хордами; самое решение дано строгим методом последовательного исчерпывания (все уменьшающиеся треугольники) без разбивания фигуры на элементы и перенесения их на другое плечо рычага. Если в книге I сочинения «О равновесии» автор в основном занимался вопросами механики, то здесь центр интереса в основном несомненно лежит на чисто геометрических вопросах. Как по содержанию, так и по методам доказательства эта книга в сущности есть лишь дополнение к сочинению «О квадратуре параболы».
С другой стороны, именно в этой книге можно впервые отметить у Архимеда повышенный интерес к вычислительной математике, которая трактовалась в идеалистической философии, а следовательно, и в официальной математике, как «логистика», т. е. как низкая прикладная на-{135}ука, достойная рабов. Так, в одном из предложений этой книги, изобилующем числовыми данными, Архимед решает вопрос, с нашей точки зрения, чисто алгебраический, в котором геометрическое обрамление является только внешней формой: «Если АВ, СВ, DB, ЕВ четыре отрезка, находящиеся в непрерывной пропорции и расположенные в порядке уменьшения их величин и если ЕВ так относится к разности между АВ и ЕВ, как некоторый отрезок ZH к трем пятым разности между АВ и DB, и если, далее, 2 АВ + 4 CB + 6 DB +3 ЕВ так относится к 5 АВ +10 СВ + 10 DB +5 EB, как некоторый отрезок НО к разности между АВ и DB, то отрезок ZO (т. е. сумма отрезков ZH и НО) равен двум пятым АВ».
Наконец, замечательным достижением Архимеда уже в эту эпоху его творчества является введение понятия дробной степени и постановка и удачное разрешение изопериметрической проблемы. {136}
Глава шестая
²
Архимед и Демокрит
И з первой книги сочинения «О шаре и цилиндре» мы с несомненностью заключили (стр. 106), что во время его написания Архимед не знал еще трудов Демокрита. Иначе он не мог бы утверждать, что «замечательные теоремы, далеко превосходящие все другие», об объеме пирамиды и конуса, впервые открыты Евдоксом и что «ни один из выдающихся геометров, живших до Евдокса, не знал и не открыл их». В «Письме к Эратосфену о механическом методе решения геометрических задач») Архимед со свойственной ему прямотой и честностью исправляет эту свою ошибку:
«Так как я (как я говорил уже) считаю тебя серьезным ученым и выдающимся по значению философом..., то я счел уместным в этой же книге изложить и объяснить тебе особый метод, благодаря которому ты получишь хорошее вспомогательное средство для исследования некоторых математических вопросов при помощи механики. Этот прием, по моему глубокому убеждению, не в меньшей мере полезен и для доказательства теорем: многие факты стали для меня впервые ясными благодаря механическому методу, но затем их необходимо было доказать геометриче-{137}ски, так как указанный метод строгих доказательств (άποδείξεις) не дает. Ясно, что легче найти строгое доказательство после того, как при помощи этого метода приобретена некоторая ориентировка в вопросах, чем найти его без такой ориентировки. Вот почему и в том случае, когда речь идет о теоремах, строгое доказательство которых впервые нашел Евдокс, — именно, что конус — третья часть цилиндра, а пирамида — третья часть призмы, имеющих то же основание и равную высоту, немалую роль надо отвести и Демокриту, который впервые выставил это положение относительно указанных тел без строгого доказательства (άπόδειξις). Я сам нахожусь в таком же положении, ибо теоремы, которые я сейчас публикую, я нашел прежде при помощи такого же метода; и я решил дать письменное изложение этого метода, отчасти потому, что я уже раньше говорил о нем, и я не хотел бы, чтобы говорили, что это были праздные разговоры, отчасти же и потому, что, как я убежден, я оказываю этим немаловажную услугу математике: я полагаю, что многие из моих современников или последователей, ознакомившись с этим методом, будут в состоянии находить новые теоремы, до которых я еще не додумался».
Я думаю, что по прочтении этого письма читателю станет ясно, что Архимед ознакомился с работами Демокрита впервые уже после опубликования первой книги сочинения «О шаре и цилиндре», посланного Архимедом из Сиракуз в Александрию после смерти Конона. Значит, будучи в Александрии, он еще не знал о математических работах Демокрита. Трудно допустить, что их не было в александрийской библиотеке, скорее дело просто в том, что никто из его коллег не указал ему на труды Демокрита, где есть вещи, интересные и для математика. В самом деле, то, что мы знаем об Архимеде, исключает возможность бойкота им вслед за философами-идеалистами сочинений Демокрита за его «безбожие»; случай с Аристархом показывает, что Архимед не посчитался бы ни с какими рогатками, если бы нашел что-нибудь интересное для своей науки.
Обнаружив в Сиракузах математические труды Демокрита, Архимед, несомненно, с жадностью набросился на них. В самом деле, он оказался здесь у истоков того «ато-{138}мистического» интегрирования, которое ему с трудом и по частям приходилось реставрировать из отдельных намеков и приемов в трудах по механике, написанных его предшественниками. Правда, Архимед с детства знал, что нет большей ереси и большего греха перед великой математической наукой, чем (даже с евристической целью) «составлять» тело из плоскостей, плоскости — из линий, линии — из точек. Уже Платон в «Законах» заявлял категорически: «Что касается отношений линий и площадей к телам или линий к площадям, то разве мы, эллины, не думаем, что их возможно измерять одни другими? Но это никак и никаким образом невозможно». О том же, но в значительно более ясных словах мог прочитать Архимед в сочинении Аристотеля «О небе»: «Постулируя неделимые тела, Демокрит и Левкипп должны впасть в противоречие с основами математики... Самое маленькое отступление от истины в дальнейшем ходе рассуждения увеличивается в десятки тысяч раз, как например, если кто-нибудь скажет, что существует минимальная величина: введение самой маленькой величины расшатывает самые великие основы математики». Эта полемика является основным тоном и в комментариях к Аристотелю и в знаменитой античной «Истории математики» Евдема Родосского. Как мы видели, в этой полемике принял участие и тот самый Эратосфен, которому было адресовано разбираемое нами послание. Эта полемика даже была на исходе античности сформулирована в виде принципа: «Все научные системы истинны лишь постольку, поскольку они не основаны на предположении, что непрерывное состоит из неделимых».
И вот, наткнувшись на книгу Демокрита, в которой он наверное не ожидал найти ничего, кроме мало интересовавших его вредных и завиральных философских идей, Архимед находит здесь как раз то, что он искал и чего не хватало ему в математике: разложение математических величин на элементы и оперирование соединениями этих элементов. При этом он обнаруживает, что те геометрические теоремы, которые он считал величайшим и гениальнейшим математическим открытием — нахождение объема конуса и цилиндра — найдены вовсе не Евдоксом, а тем же Демокритом. {139}
