Эллинистическая Греция в годы детства 10 страница

Правда, Архимед как хороший математик не мог думать, что те заимствованные у атомистов доказательства, которые были ему известны из механики и которые он нашел в чистом и более логическом и убедительном виде у Демокрита, можно было принять за строгие и окончательные доказательства (αποδεξεις). Но он хорошо знал также из своего большого математического опыта, что эти строгие доказательства обычно строятся ремесленным образом по однообразным шаблонам при помощи reductio ad absurdum и что, найдя нестрогое решение, основанное на «вряд ли приемлемых» предпосылках механического, т. е. «атомистического» характера, уже не так трудно каждый шаг этого решения по определенному шаблону перелицевать в строгое доказательство, поскольку «ориентировка в вопросе уже приобретена». Архимед по своему опыту знал, что, стоит только найти такое нестрогое доказательство, и главная часть дела уже сделана 1. Недаром его коллеги, которым он посылал одни только выводы из своих теорем без указания того пути, которым он до них дошел, как правило, не могли найти доказательств этих положений и ждали решения от Архимеда. Вот почему он в послании подчеркивает, что «нестрогий» метод полезен не только для нахождения решений, но «не в меньшей мере и для нахождения строгого доказательства теорем», ибо «легче найти строгое доказательство после того, как при помощи этого метода приобретена некоторая ориентировка в вопросах». Он вовсе не собирается расшатывать авторитет такого общепризнанного главы новой математической школы, как Евдокс, но, заявляя, что в сделанных Евдоксом открытиях «немалую роль надо отвести и Демокриту», он тем самым подчеркивает значение тех найденных им самим «механико-атомистических» методов решения математических проблем, к которым цеховые математики того времени несомненно относились с недоверием и подозрительностью.

Письмо к Эратосфену является, по существу говоря, {140} выговором и нравоучением господствовавшему в математике направлению, возглавляемому тем же Эратосфеном. До сих пор Архимед нигде ни звуком не упоминал о запрещенных приемах интегрирования, применявшихся атомистами. Он изредка довольствовался скромной пропагандой тоже достаточно смелого с точки зрения тогдашней математики приема — введения в геометрию доказательств, основанных на законе рычага. Прочитав Демокрита, он убедился, что при помощи этих запретных „атомистических“ приемов можно построить замечательное здание математики, конечно, при условии, что вслед за тем ее фасад будет отделан при помощи строгого метода исчерпания. «Я посылал тебе мои открытия (таков истинный смысл письма к Эратосфену) для того, чтобы ты сам попытался найти их доказательства. Ты этого не сделал. Я, конечно, могу теперь без дальнейших рассуждений прислать тебе мои решения, но от этого большой пользы не будет. Ты — серьезный ученый и философ и хороший математик, поэтому не обижайся за правду. Ты не смог и впредь не сможешь решать подобные вопросы потому, что не обладаешь тем золотым ключом 2, который открывает все математические двери. Я мог бы сохранить в секрете этот золотой ключ, но не хочу этого делать, так как убежден, что оказываю этим немаловажную услугу математике; я полагаю, что многие из математиков нашего или будущего времени, ознакомившись с этим методом, будут в состоянии находить все новые и новые теоремы».

Несомненно такое открывание ширм и разоблачение секретов математического производства было прямым нарушением тогдашнего математического этикета, но для Архимеда интересы истины и дорогой ему науки были выше всего. Однако, настоящим революционным актом, настоящим неприличием с точки зрения этого этикета было то, что в этом послании Архимед, не моргнув глазом, без всяких оговорок и извинений излагает как что-то само собою подразумевающееся основы математики атомистов. Он, точь-в-точь как Демокрит, разлагает цилиндр, конус или шар на чрезвычайно тонкие листки — кружки. Далее он доказывает нужное ему положение для одного {141} из кружков, затем замечает, что его вывод должен быть верен для любого из кружков, и, наконец, так как тело, по его мнению, все сложено (состоит) из таких кружков и целиком заполнено ими (συμπληρωθέντος), он сразу же строит умозаключение и для целого. Подобным же образом плоскость, по его словам, состоит (сложена, συγκείμενος) из линий. Недаром, он начинает это письмо со ссылки на Демокрита.

Правда, эта заимствованная у атомистов предпосылка применяется здесь только на первой стадии — для нахождения предварительных решений без строгого доказательства. Но с точки зрения тогдашних взглядов вообще нельзя было ни в какой части сочинения ссылаться как на общепонятную истину, без всяких оговорок и извинений, на концепцию, борьбе с которой были посвящены все математические труды того времени (включая, как мы видели, труды самого адресата письма — Эратосфена). Ведь Архимед мог бы сказать: «допустим пока, что тело состоит из плоскостей», или «дело происходит так, как если бы тело состояло из плоскостей», или «нахождение решения значительно облегчается, если сделать несоответствующее действительности допущение» и т. п. Ничего подобного мы здесь не находим. Выражение — «Так как треугольник ГΖА состоит из прямых, ограниченных обводом треугольника ГΖА, а параболический сегмент — из прямых, находящихся в сегменте АВГ», — имеет вполне аподиктическую форму. Здесь совершенно то же положение вещей, что и в вопросе о гелиоцентрическом учении Аристарха Самосского. Архимед кладет его в основу своих вычислений, ни слова не говоря о том, как он к нему относится. Гипотеза атомистов полезна, значит, несмотря на все школьные предрассудки и на протест, который она должна вызвать у воспитанного читателя, ее надо использовать; она недостаточно убедительна, значит, сделанные при ее помощи выводы надо проверить другим, более убедительным образом. Принципиальные возражения Эратосфена против демокритова способа выражения, против составления линий из точек, площадей из линий здесь, таким образом, просто игнорируются.

Нельзя ссылаться на то, что послание к Эратосфену есть письмо, имеющее, в противоположность другим рабо-{142}там Архимеда, интимный характер. Верно, что оно рассчитано на более узкий круг читателей, чем другие его произведения, как выражается Архимед, — «на серьезного ученого и философа», для которого атомистическая ересь соблазна не представляет. Но это не значит что перед нами личное письмо, рассчитанное на то, что Эратосфен прочтет его и уничтожит. «Письмо» является в данном случае только литературной формой; Архимед сам ведь говорит в предисловии, что хочет оказать этим письмом «большую услугу математике и желает, чтобы с его методом познакомились многие математики настоящего и будущего». Итак, это — не частное письмо, а манифест, агитационное произведение, начинающееся с упоминания огромных заслуг Демокрита и далее излагающее, в сущности, основанный им метод. Вдобавок надо иметь в виду и то, что и другие сочинения Архимеда, по самому своему содержанию, также не рассчитаны на очень уж широкие круги читателей.

Это письмо дает нам возможность понять структуру доказательства некоторых из теорем, заключенных в трудах Архимеда. С первого взгляда его решения кажутся каким-то фокусом; после ряда непонятных нам преобразований и манипуляций, неизвестно откуда взятых и какую цель преследующих, внезапно получается верный и неопровержимый вывод. Но стоит восстановить соответствующее доказательство по методу атомистов и каждый шаг в решении Архимеда станет понятным.

Любопытно, что по иронии судьбы (если не по проискам врагов атомистов) из известных нам сочинений Архимеда ученым эпохи рождения интегрального исчисления (XVII и начала XVIII в.) не было известно как раз «Письмо к Эратосфену». Лишь в 1906 г. приват-доцент Петербургского университета Пападопуло-Керамевс нашел в библиотеке одного из иерусалимских монастырей какой-то позднехристианский текст, написанный на пергаменте с которого был смыт более древний греческий текст Χ в. В виду своего невежества в математике и в истории точных наук Пападопуло заинтересовался только верхним христианским текстом, а из нижнего, смытого, который тем не менее можно было без большого труда прочесть привел в каталоге Иерусалимской библиотеки только не-{143}большую выдержку. Однако, для знаменитого датского историка математики Гейберга этой выдержки было достаточно, чтобы определить, что смыт был текст Архимеда. Гейбергу удалось прочесть его почти полностью и издать. Из содержащихся здесь сочинений Архимеда наиболее интересно впервые опубликованное Гейбергом «Послание к Эратосфену».

Математикам XVII и XVIII вв. это произведение, таким образом, не могло быть известно, но к чести их надо сказать, что из изучения других сочинений Архимеда они безошибочно определили, что Архимед пользовался для нахождения своих решений методом неделимых, но только скрывал это от читателя.

Этот характер доказательств Архимеда мы продемонстрируем ниже, когда будем разбирать его вывод суммы членов ряда 1²+2²+3²+... (стр. 151—153). Сейчас остановимся несколько подробнее на «Письме к Эратосфену», или, как его сокращенно называли древние, «Эфод» или «Эфодик» («Метод»).

В предисловии к этому сочинению, конец которого, к сожалению, не дошел до нас, Архимед перечисляет те проблемы, которые он в двух предыдущих письмах предложил разрешить Эратосфену и которые теперь составили содержание разбираемой книги. В первом из этих писем Архимед предлагал Эратосфену доказать теоремы, относящиеся к открытой им впервые области, — к телам, образуемым вращением конических сечений. Уже в письме к Конону, о котором мы говорили выше, Архимед предлагал ему доказать, что сегмент параболоида вращения, образованный сечением, перпендикулярным к оси, в 1¹/₂ раза больше конуса с тем же основанием и той же высотой и что объемы двух сегментов параболоида вращения, образованных сечениями, параллельными друг другу, но не перпендикулярными к оси. относятся, как квадраты осей. Эти же задачи Архимед задал и Эратосфену; но он присоединил сюда еще теорему о том, что объем эллипсоида вращения равен ²/₃ объема описанного вокруг него цилиндра и что центр тяжести параболоида лежит на его оси, на ¹/₃ расстояния от основания. {144}

Второе письмо к Эратосфену содержало предложение решить две задачи: 1) Определить объем тела, образованного двумя цилиндрами, вписанными в куб, один из которых имеет ось, параллельную основанию, другой — ось, параллельную боковой грани (фиг. 25).1 2) В прямую призму с квадратным основанием вписан цилиндр. Через ребро верхнего основания призмы и через центр нижнего основания ее проведена плоскость, отсекающая часть цилиндра. Требуется доказать, что объем этой части цилиндра составляет — объема всей призмы (фиг. 26).

Фиг. 25 Фиг. 26

С точки зрения Архимеда обе эти задачи интересны тем, что тела, ограниченные цилиндрическими поверхностями, оказываются равновеликими телам, ограниченным плоскостями (таким образом, мы здесь имеем стереометрическую параллель к знаменитым гиппократовым лункам и к квадратуре параболы). Для нас вторая из этих задач интересна тем, что это — единственная задача во всем наследии Архимеда, которая решается путем неделимых в чистом виде, без всякого применения механики (закона рычага), тогда как во всех других случаях разложение на неделимые применяется только так, как это было принято в задачах механики, для перенесения тела на дру-{145}гое плечо рычага. Появление такого решения (теорема 14) в сочинении, которое открывается указанием на заслуги Демокрита в деле определения объема тел, не случайно: в данном случае мы имеем, несомненно, дело с приемом, прямо заимствованным

Фиг. 27, а

у Демокрита. Приводим решение этой интересной задачи.

Фиг. 27, b

Фиг. 27. b представляет собой одно из квадратных оснований призмы ABCD; HGFE — основание цилиндра. Через EG и через ребро C'D' второго основания (показанное на чертеже 27, a) лежащее над стороной CD и параллельное ей, проведена плоскость. Ото всей призмы отсекается, таким образом, треугольная призма GECDC’D', равная, очевидно, половине четырехугольной призмы, имеющей основанием тоже GECD и, следовательно, ¹/₄ всей призмы. Теперь Архимед вписывает в полукруг GOFE параболу с осью KF (на рис. 27, b показана только ветвь GLF этой параболы). Это чрезвычайно важный и интересный прием: парабола здесь просто вспомогательная кривая, которая строится лишь для того, чтобы искомую кубатуру свести аналитическим путем к уже известной {146} читателю квадратуре параболы. Теперь будем изучать любую из числа «всех горизонтальных прямых», из которых составлены как прямоугольник EGCD, так и круг и параболический сегмент; если через такую прямую MN провести вертикальную плоскость (см. фиг. 27, а), то она отсечет: 1) в треугольной призме — один из тех равных друг другу прямоугольных треугольников с основанием, равным MN, из которых составлена эта призма, 2) в отсеченной части цилиндра — один из неравных друг другу прямоугольных треугольников, из которых составлена эта часть цилиндра. Пусть прямая MN последовательно пересечет параболу, круг и сторону квадрата в точках L, О и N. Абсцисса параболы, помноженная на ее параметр MN, равна квадрату ее ординаты:

MN · NL=NF²,

откуда

,

 

или

MN: NL = MN ² : NF² = MN ² : LP².

Образуем в обеих частях пропорции отношения предыдущего к разности между предыдущим и последующим (dividendo et permutando):

MN: ML = MN ² : (MN ² —LP ²),

MN: ML = MN ² : (MN ² — MK ²) = MN ² : (КО ² — MK ²) =

= MN ² : MO ².

Но каждый из прямоугольных треугольников, из которых состоит вся отсеченная часть призмы(фиг.27, а), подобен каждому из прямоугольных треугольников, из которых состоит вся отсеченная часть цилиндра, а следовательно, их площади относятся как квадраты сходственных катетов (как MN ²: MO ²). Но, как мы видели, в то же время,

MN ² : MO ² = MN: ML,

т. е. каждый из прямоугольных треугольников, из которых состоит отсеченная часть призмы, так относится к каждому из прямоугольных треугольников, из которых состоит отсе-{147}ченная часть цилиндра, как каждая из всех прямых, из которых состоит прямоугольник EGCD, к каждой из всех прямых, из которых состоит параболический сегмент. «Каждая к каждому, как все ко всем»; значит, и все прямоугольные треугольники, из которых состоит отсеченная часть призмы, т. е. и вся отсеченная часть призмы, так относятся ко всем прямоугольным треугольникам, из которых состоит отсеченная часть цилиндра, т. е. ко всей отсеченной части цилиндра, как все прямые, из которых состоит прямоугольник EGCD, т. е. весь прямоугольник EGCD, ко всем прямым, из которых состоит параболический сегмент, т. е. ко всему параболическому сегменту. Но нам уже известно, что площадь параболического сегмента равна ²/₃ площади прямоугольника EGCD; значит и объем отсеченной части цилиндра равен ²/₃ объема отсеченной части призмы, равного ¹/₄ объема всей призмы. Итак, объем отсеченной части цилиндра равен ¹/₆ объема всей призмы.

Все остальные теоремы, содержащиеся в «Письме к Эратосфену», решаются сначала при помощи рычага, а затем методом исчерпания (эти последние решения не сохранились в рукописи, но для нас они большого интереса не представляют); поэтому этим теоремам предпослано несколько лемм из механики, доказанных в сочинении «О равновесии плоскостей». Только теорема о том, что центр тяжести конуса лежит на ¹/₄ его высоты, на которую здесь ссылается Архимед, ни в одном из дошедших до нас сочинений не доказана; очевидно, это доказательство содержалось в одном из утраченных его сочинений.

Архимед начинает в качестве образца механического метода с хорошо известной его читателям теоремы о площади параболического сегмента, дабы они могли сравнить оба метода доказательства. Это доказательство из «Эфода» приведено выше (стр. 78 и сл.). Далее следует также хорошо известная его читателям из сочинения «О кpyге и цилиндре» теорема об объеме шара. Здесь (ср. только что разобранную задачу) конструируются конус, шар и {148} цилиндр (фиг. 28); произвольная горизонтальная плоскость (след которой MOPN) отсекает от каждогоиз этих тел по элементу — по кругу разной величины с диаметрами MN, OP, QR.. Оказывается следующее: если круговые элементы шара и конуса, образованные одним и тем же сечением, перенести в конец Н второго плеча рычага (А точка опоры, СА = АН), а соответствующий эле мент цилиндра оставить на месте, то они уравновесятся. Зная отношение длин плеч (2:1), а также зная, что объем конуса равен трети объема цилиндра, не трудно уже найти и объем шара; предлагаю читателю проделать это самому. Далее, Архимед, совершенно в духе Демокрита, говорит, что объем шара равен объему конуса, основание которого равно поверхности шара, а высота — его радиусу, и уже отсюда определяет поверхность.

Фиг. 28

На остальных задачах, содержащихся в «Эфоде», останавливаться не буду. Я полагаю, что механический метод усвоен уже читателем в достаточной мере на этих двух примерах. Укажу лишь на то, что характерной чертой этого приема, как и разобранной выше (стр. 146) задачи, решенной методом неделимых, является, как правильно указал Гэзс, замена непосредственного интегрирования элементов, составляющих искомую площадь или объем, другим интегрированием, результат которого заранее известен. Орудием для такой замены в данном случае является рычаг.

Прежде чем перейти к двум следующим большим трудам Архимеда, «О спиралях» и «О коноидах и сфероидах», разберем приемы, применяемые Архимедом при суммировании рядов

a + 2 a + 3 a + 4 a +...+ na,

а ² + 2 a + (3 а)² + (4 a)² +... + (na)², {149}

ибо они чрезвычайно типичны для применяемой им перестройки математики атомистов. В этой математике, как мы говорили, первый ряд суммировался очень просто: складывались между собою два равных друг другу ступенчатых треугольника (см. фиг. 2) и получался прямоугольник со сторонами па и (n +1) а, т. е. площадь каждого такого треугольника оказывалась равной ((na)²+ na)/2, а при очень большом п величиной па можно было по сравнению с (na)² пренебречь, и по лучалось (na)²/2.

Фиг. 29

В «геометрической алгебре», обоснованной в арифметических книгах «Начал» Евклида, общим выражениям для чисел, символами которых у нас являются буквы а, b, с и т. д., соответствовали отрезки прямых и только отрезки прямых. Поэтому Архимед, верный принципам евдоксовой школы, отказывается изображать единицу квадратиками, из которых составляется ступенчатый треугольник. Он изображает (фиг. 29) каждую величину отрезком прямой соответствующей длины, затем продолжает каждый отрезок до величины наибольшего. Он получает (если перевести на наш алгебраический язык), кроме наибольшей величины па, ряд сумм, соответствующих отдельным отрезкам чертежа: (п— 1) а и а; (n —2) а и 2 а; (п— 3) а и 3 a вплоть до а и (п— 1) а; затем он прибавляет еще па (0 и па). Таких прямых n +1, каждая имеет длину па; значитихсумма равна na (n +1), или п (п+ 1) а. Но сумма добавок, сделанных к отрезкам, чтобы уравнять их с наибольшим из них, как раз равна самим отрезкам; значит, сумма отрезков равна

S = (n (n + 1) a)/2 = (n ² a + na)/2.

Ясно, что эта сумма

S > n ² a /2. {150}

Обозначив n +1 через m, получим

S = ((m —1) ma /2) = (m ² a — ma)/2,

откуда

S < m ² a /2; илиS < ((n —1)² a)/2.

Итак, мы получили верхний и нижний пределы, после чего методом reductio ad absurdum можно уже доказать, что при достаточном уменьшении а разница между S и n ² a /2 может быть сделана меньше любой, заранее заданной величины.

И на этом примере не трудно видеть, что метод Архимеда гораздо менее нагляден и гораздо более искусственен, чем старый прием, но задача здесь настолько проста, что это не бросается в глаза.

Другое дело ряд

a ²+(2 a)²+(3 a)²+...+(na)².

Здесь старое решение так же просто, как в случае с рядом а +2 a +3 a +..., только вместо двух ступенчатых треугольников складываются три ступенчатые пирамиды (см. табл. 3). Когда же Архимеду приходится и в этом случае изобразить величины не кубиками, а отрезками прямых, то выкладки становятся такими сложными, что ему приходится чистосердечно признаться., что он имеет готовый ответ (полученный, конечно, заранее методом неделимых) и что к нему он подгоняет свое решение.

Сначала все идет благополучно. Как раз, как в первой задаче, все отрезки дополняются до величины наибольшего. Но теперь уже эти отрезки символизируют не величины, а квадраты величин; поэтому при сложении и возведении в квадрат двух отрезков, имеющих на чертеже длину а и (п— 1) а, а в сумме па, получится уже не просто а ² + [(п —1) a ]², а еще удвоенное произведение. Получается:

(na)² = (na)² = (na)²

(na)² = [ a +(n—1) а ]² = а ² + 2 а (п— 1) a +[(n —1) a ]²,

(na)² = [2 а + (n — 2) a ]² = (2 a)²+2·(2 а)(n —2) a +[(n —2) а ]²,

.............................................................................

(па)² =[(п — 1) а + a ]² = [(n — 1) а ]² + 2(n — 1) а · а + а ²,

(na)² = (na)² = (na) ². {151}

Складывая, получаем:

(п +1) (na)² = 2[ а ² + (2 а)² + (3 а)² +... + (na)²] +

+2 [ a · (n — 1) а + 2 а ·(n — 2) а +3 a · (n —3) a + +...+(n —l) a · a ].

Здесь Архимед останавливается в недоумении. Что делать с последним головоломным слагаемым, не ясно. Но он предварительно, методом неделимых, определил, что в результате складывания трех ступенчатых пирамид получается тело, состоящее из параллелепипеда со сторонами па, па и(п +1) а и «ступенчатого треугольника», площадь основания которого равна п (п +) а ², а объем, при глубине а равен п (п +1) а ³. Итак весь объем трех ступенчатых пирамид с квадратным основанием;

n ²(n +1) a ³+(n (n +1) a ³)/2.

Разумеется, поскольку Архимед изображает каждую а линейным отрезком, он получает не кубичную, а квадратную степень, и он знает, что у него должно получиться:

3 [ а ² + (2 а)² + (3 а)² +... + (na)2] = n ²(n +1) a ²+(n (n +1) a ²)/2.

«Остается, — замечает он, — доказать, что полученное мною выражение равнозначно этому выражению».

Определим n ²(n +1) a ² из обоих выражений, и полученные значения прировняем друг другу (обозначаем искомую сумму a ²+(2 a)²+(3 a)²...для простоты через S). Должно получиться

n ²(n +1) a ²=3 S —(n (n +1) a ²)/2.

Получилось

n ²(n +1) а ²=2 S +2[ а ·(n — l) а +2 а ·(n —2) а +3 а ·(n —3) a +...+(na)²].

откуда после, вычитания второго выражения из первого должно получиться

S = (n (n +1) a ²)/2+2[ а ·(n — l) а +2 а ·(n —2) а +3 а ·(n —3) a +...+(n —1) a · a ]. {152}

Но в верности этого равенства мы убедимся, сложив следующие выражения:

a ² = a ²,

(2 a)² = 2 а ²+2· a ²,

(3 a)² = 3 a ²+2(2 a ²+ a ²), (4 а)² = 4 а ² + 2 (3 а ² + 2 а ² + а ²),

...........................................

(na)² = na ²+2[(n —1) a ²+(n —2) a ²+...+ a ²)]

¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

S = (n (n +1) a ²/2+2[(n —1) a ²+2(n —2) a ²+3(n —3) a ²+...+(n —1) a ²],

что и требовалось доказать.

Итак,

3 Sn = n ³ a ² + n ² a ² + n ² a ²/2 + na ²/2.

Наряду с этим точным значением для S мы встречаемся у Архимеда и с пределом этого значения

3 Sn > n ³ a ².

Как мы видели (стр. 20), это при переводе в третье измерение (n ³ a ³) — объем трех пирамид со стороной основания и высотой па, которые могли рассматриваться как предел ступенчатых пирамид при чрезвычайно малом а.

Сходным путем Архимед доказывает также, что

3 S_{n —1} < n ³ a ².

Из других теорем, содержащихся в этих сочинениях, наибольший принципиальный интерес, быть может, представляет собой предложение II сочинения «О коноидах и сфероидах» (фиг. 30).

Фиг. 30

«Если ряд линий (т. е. отрезков прямых) равны между собой, если к каждой из них приложена некоторая площадь, имеющая избытком квадрат (см. выше, стр. 14 и сл.), тогда как стороны этих фигур, выступающие одна на другой, превосходят друг друга на одну и ту же величину, равную наименьшей из этих сторон; если, с другой стороны, дан ряд площадей в том же числе, что и первые, при-{153}чем каждая из вторых площадей равна по величине наибольшей из первых, то отношение их суммы к сумме первых площадей будет меньше, чем отношение прямой, равной сумме стороны наибольшего из выступающих друг над другом прямоугольников с одной из равных друг другу сторон, к прямой, равной сумме ¹/₃ стороны наибольшего из выступающих друг над другом прямоугольников с половиной одной из равных друг другу сторон» (так же формулирован и нижний предел).