Эллинистическая Греция в годы детства 4 страница

Из дошедшей до нас эпиграммы Эратосфена мы видим что он был настоящим придворным. Эпиграмма является приношением в храм «бога Птолемея», т. е. покойного царя Птолемея I. В ней Эратосфен рассыпается в лести и пред царствующим Птолемеем III Евергетом и перед своим учеником, будущим царем. Другое его сочинение было даже озаглавлено «Арсиноя» — так звалась вдовствующая царица, жена Птолемея II Филадельфа.

Написал Эратосфен и ряд философских сочинений. С его философскими занятиями были связаны и его космополитические высказывания, о которых мы говорили выше. Далее, он написал трактаты «О добре и зле», «О богатстве и бедности», «Об искусстве жить, не скорбя», «О том, что всякий поэт стремится развлекать, а не учить читателя». Все это — темы, теснейшим образом связанные с современностью и текущей политикой, и можно не сомневаться, что придворный ученый отвечал на эти вопросы так, как это было в интересах его покровителей. Он написал сочинения и по истории литературы («О древней комедии»), и по хронологии («Хронография», «Олимпий-{49}ские победители»), и по грамматике; писал и стихотворения (например, «На смерть Гесиода», «Эригона», «Гермес»). Все это не помешало ему быть одним из самых выдающихся географов (он написал «Географию» и сочинение «О ветрах») и выдающимся астрономом. Он написал книги «Об измерении Земли», «Об измерении Солнца», «О расположении звезд», «О расположении знаков Зодиака».

Фиг. 10

Для определения величины Земли были выбраны два значительно удаленных друг от друга места, лежащие, как тогда думали, на одном и том же меридиане: одно — Александрия, другое — далеко на юге — Сиена. Наблюдения были сделаны во время летнего солнцестояния в 12 часов дня (фиг. 10). Отвес солнечных часов (гномон) не отбрасывал в это время никакой тени в Сиене, а в Александрии длина тени соответствовала углу в 7°36' между отвесом и солнечным лучом (¹/₅₀ всего круга). Ввиду равенства накрест лежащих углов (все солнечные лучи Эратосфен принимал параллельными друг другу) центральный угол между земными радиусами, идущими к Сиене и Александрии, также должен быть равен 7°36'; значит, расстояние от Александрии до Сиены, равное 785 км, есть ¹/₅₀ окружности экватора; следовательно, окружность экватора равна 39 250 км, а диаметр — 12 625 км. Здесь ошибка против действительной длины земной оси всего около 75 км.

В сочинении «Об измерении солнца» Эратосфен приходил к выводу, что Солнце в 27 раз больше Земли и что расстояние от Земли до Солнца 5 104 000 км.

Этих вычислений мы еще коснемся, когда будем говорить о соответствующих вычислениях Архимеда. Перейдем теперь к математическим произведениям Эратосфена. Здесь только в области теории простых чисел интересы Архимеда, поскольку нам известно, не совпадали с интересами Эратосфена. К этой области относится наи-{50}более известное из математических сочинений Эратосфена (Κόσκινον — «решето»), в котором он давал простейший способ составления таблицы простых чисел.

Остальные математические труды Эратосфена были посвящены вопросам, волновавшим также и Архимеда. Это прежде всего сочинение «О конических сечениях» — вопрос, которому Архимед посвятил значительную часть своих трудов, и сочинение «Об измерениях» (Καταμετρήρεις). Наконец, сочинение «О средних величинах» (Περ μεσοτήτων) скорее всего посвящено было нахождению одной, двух и более двух средних пропорциональных, при помощи которых, как мы говорили уже, решались знаменитые задачи удвоения куба и трисекции угла.

Вопрос о нахождении двух средних пропорциональных интересовал честолюбивого Эратосфена уже с самого начала его научной деятельности: ведь к этому вопросу сводилась знаменитая «делосская задача» — удвоение куба, над которой ломали себе голову все великие математики того времени. Еще будучи воспитателем наследника престола, Эратосфен нашел решение этой задачи при помощи изобретенного и сконструированного им прибора «месолаба», о котором мы говорили выше. Это привело его в такой восторг, что он, как мы говорили уже (стр. 49), счел нужным сделать благодарственное посвящение высшему придворному божеству Птолемею I. Эратосфен посвятил в его храм мраморный столб, на котором был изображен «месолаб», дано геометрическое доказательство правильности решения и начертана эпиграмма, в которой Эратосфен высокомерно противопоставлял себя своим предшественникам; здесь, между прочим, говорилось:

Способ нелегкий сеченья цилиндров постичь не старайся,

Точно Архит, и не тщись конус трояко рассечь

Вместе с Менехмом; Евдокс божественный если начертит

Линии формы кривой, также не следуй за ним.

Подробнее эта полемика с предшественниками была развернута в главном программном философском сочинении Эратосфена «Платоник» (Πλατωνικός). Несомненно, именно отсюда заимствованы Плутархом и другими позднейшими авторами сообщения об отношении Платона к методу «объемных мест», введенному Архитом, Менех-{51}мом и Евдоксом. Здесь Эратосфен цитировал взгляд Платона (см. стр. 40), согласно которому, прибегая для доказательства теорем к чувственным и осязаемым телам трех измерений, математика низводит нас к бренному миру, вместо того чтобы подымать нас ввысь и приводить «в общение с вечными и бестелесными идеями, пребывая с которыми бог всегда бог». Из того, как Эратосфен цитировал эти места, можно, кажется, заключить, что к этим взглядам Платона он относился в общем сочувственно 1; недаром в своей эпиграмме он стремится отвратить читателя и от построения пересекающихся тел и от построения пересекающихся «линий кривой формы» — конических сечений. Но как же быть тогда с делосской задачей и задачей трисекции угла, которые, по словам того же Эратосфена, «не допускали логического и линейного доказательства»? Эратосфен нашел такой компромисс: запрещая, по-видимому, метод объемных мест, он рекомендовал метод νεΰσις, ибо при доказательстве правильности решений, полученных по методу νεΰσις, вполне можно обходиться пересечениями кругов и прямых линий. Разумеется, с точки зрения математической строгости это прием страуса, прячущего голову под крыло, ибо, как мы говорили уже выше, применяя такого рода приборы, мы завуалированным путем находим точки пересечения кривых второго порядка; недаром современники считали это сочинение Эратосфена недостаточно обоснованным теоретически.

Приборы для выполнения νεΰσις были открыты задолго до Эратосфена,— в лучшем случае его прибор был несколько проще и удобнее других. Сам Эратосфен гордился лишь тем, что его предшественники, описав теоретически, как должны действовать подобные приборы, не пытались сконструировать их и применить к делу, тогда как он осуществил и применил свой «месолаб». Принципиальной же новизны в его приборе не было.

В «Платонике» много говорилось также о пропорциях, о гармонии, о музыке. Мы знаем, какое огромное значение в философии Платона играло учение о пропорциях {52} и музыке; эти науки, по мнению Платона, учили граждан дисциплине, показывали им, что «геометрическое» равенство, когда каждый занимает соответственное место в обществе, выше «арифметического», при котором в обществе все равны. И здесь Эратосфен, несомненно, шел по стопам Платона.

Может быть, далее, и курьезная полемика Эратосфена с Архимедом содержалась в этом же сочинении. Страбон писал впоследствии по этому поводу: «Не забавно ли, что Эратосфен, будучи математиком, отказывался признать принцип, выставленный Архимедом в его сочинении «О плавающих телах», — именно то, что поверхность всякой жидкости в состоянии покоя принимает форму поверхности шара с центром в центре Земли, хотя это предложение должен принять каждый, кто сколько-нибудь понимает в математике?» Эта теорема являлась у Архимеда, как мы увидим, строго математическим выводом из демокритова положения, по которому все тела тяжелы и все стремятся к центру Земли. Ясно, что Эратосфен, будучи математиком, оспаривал не правильность этого умозаключения, а правильность самой предпосылки о стремлении всех тел к центру Земли, против которой возражал уже Аристотель, деливший тела на тяжелые и легкие, причем каждое стремится не к центру Земли, а к своему естественному месту (οκεΐος τόπος): огонь и воздух — вверх, вода — в середину, земля — вниз. И здесь, таким образом, Эратосфен, став в интересах чистоты идеалистической философии на точку зрения Аристотеля, выступал не только против Демокрита, но, как мы увидим, и против более близких ему по времени ученых — Стратона и Архимеда.

И наконец, именно в этом сочинении скорее всего содержалась интересная полемика Эратосфена с Демокритом и Эпикуром. В самом деле, уже a priori невозможно было сомневаться в том, что этот блестящий придворный, воспитатель наследника, хотя и был одним из крупнейших астрономов и математиков древности, тем не менее и в своих математических трудах не позволял себе ничего, что могло навлечь на него неудовольствие его покровителей; в частности он был чужд каким бы то ни было манипуляциям с неделимыми в математике, запрещенными с точки зре-{53}ния идеалистической философии, которую он усвоил со школьных лет и которая одобрялась свыше.

Нам известно, что, по мнению Демокрита, точки и линии не могли быть вовсе непротяженными, ибо из точек составляются протяженные линии, а из линий — протяженные плоскости. Так как определение линии как простой совокупности точек приводило к чисто математическим затруднениям, то Эпикур выражался несколько иначе: «Точка измеряет длину линии некоторым особенным, ей одной свойственным образом», т. е. линия — не просто совокупность точек; ее длина — некоторая функция числа этих точек (иногда точки расположены гуще, иногда реже). Эратосфен выступал и против той и против другой точек зрения: точка не имеет никакого протяжения; поэтому из точек не составляется, как думает Демокрит, и ими не измеряется, как думает Эпикур, длина линии. Но тем не менее непротяженная точка перемещается («течет»), и в результате этого перемещения непротяженной точки возникает протяженная линия. Это было, очевидно, некое недоступное логике таинство (διανόητον), но его необходимо было принять, как засвидетельствованный в опыте факт.

Если вместе с Демокритом и Эпикуром считать, что протяженные тела состоят из протяженных неделимых частиц — материальных линий и материальных точек, то окажется, что материализм прав, что первоначалом всего является имманентная бездушная материя. Если же допускать, что протяженная материя создана движением находящейся вне ее непротяженной, а следовательно нематериальной, идеальной точки, духовной сущности, то окажется, что прав идеализм, утверждающий что «демиург» нематериален и находится вне материального мира. Вот почему этой туманной «недоступной для логики» концепции придавалось такое большое принципиальное значение в идеалистической философии.

На такой точке зрения стоял Эратосфен. Более крупные творческие математики и физики инстинктивно чувствовали, что действительный прогресс в естественных науках был в ту эпоху возможен только на базе атомистической науки, но это делалось осторожно, украдкой, {54} причем из демокритовых положений выхолащивалась вся их материалистическая сущность.

В этом отношении чрезвычайно поучительна деятельность Стратона из Лампсака; сочинения его (или его учеников), несомненно, изучались Архимедом1. Стратон был схолархом (руководителем) основанной Аристотелем перипатетической школы с 287 по 268 год. Задачей его было углубить учение Аристотеля не с философской, а с естественно-научной стороны, бывшей наиболее слабым местом системы Аристотеля. Для этой цели ему пришлось заимствовать ряд положений из науки атомистов; получился своеобразный синтез из учений Аристотеля и Демокрита.

Как мы уже говорили, Аристотель считал, что существуют абсолютно легкие и абсолютно тяжелые тела. Абсолютно легким телам свойственно стремиться вверх, абсолютно тяжелым — вниз. Движению тех и других препятствует среда; поэтому, чем среда менее плотна, тем быстрее несутся тяжелые тела вниз, а легкие вверх. С точки зрения Аристотеля прилагать силу надо не только для того, чтобы привести тело в движение, но и для того, чтобы это движение продолжалось: если движущееся тело не толкать непрерывно, то оно раньше или позже остановится даже и при отсутствии сопротивления среды и трения; эта сила прямо пропорциональна массе тела. Никакой пустоты в природе существовать вообще не может, как и действия на расстоянии.

Наоборот, Демокрит считал, что все тела тяжелы, т. е. все стремится к центру космоса. Но при этом более плотные тела, имеющие больший удельный вес, пересиливают более легкие тела и отталкивают их назад; поэтому и получается впечатление, будто эти тела стремятся вверх. Понятно,что более плотная среда пересиливает более легкие тела в большей степени, чем менее плотная; поэтому тела перемещаются вверх («отстают») тем быстрее, чем более плотна среда. Прилагать силу надо только для того, чтобы вывести тело из состояния покоя или пере-{55}менить направление движения; движущееся тело будет двигаться с той же скоростью бесконечно, если оно не будет осилено сопротивлением среды или трением. Между каждыми двумя атомами есть мельчайшие прослойки пустоты. Большие промежутки пустоты существуют только в пространствах между космосами, в «междумириях»; внутри космоса большие пространства пустоты можно получить только искусственно, и они недолговечны.

Стратон отказался от наиболее тормозивших науку частей учения Аристотеля: он не признавал существования абсолютно легких тел, считая все тела тяжелыми, а стремление легких тел вверх объяснял вслед за атомистами выталкиванием их вверх более тяжелыми телами. Он возражал против теории Аристотеля, по которой пустоты не существует, и вместе с Демокритом считал, что каждые две мельчайшие частицы вещества отделены друг от друга прослойкой пустоты; если вдуматься, это означало принятие атомистической структуры материи, хотя Стратон такого вывода explicite не делал. Поскольку речь идет о нашем мире, он считал, как и Демокрит, что здесь большие промежутки пустоты можно вызвать только искусственно. Разница была лишь в том, что, по Демокриту, причиной немедленного заполнения больших пространств пустоты было действие на расстоянии — стремление частиц однородных элементов друг к другу; по Стратону же, в пустоту немедленно устремлялись со всех сторон какие угодно, а не только однородные тела («боязнь пустоты», horror vacui). Это было несомненно прогрессом по сравнению с Демокритом.

Но, с другой стороны, Стратон вместе с Аристотелем считал, что приведенное в движение тело должно остановиться даже при отсутствии сопротивления и трения, так как сила, приводящая тело в движение, вскоре «прекращается и исчерпывается».

Уже Дильс показал, что работавший в александрийском Музее ученик Стратона, знаменитый астроном Аристарх из Самоса во многом вслед за своим учителем стал на точку зрения Демокрита. Например, в его теории зрения повторяются характерные выражения Демокрита. Мы обратим внимание лишь на одно высказывание Ари-{56}старха, характерное для математики атомистов. Как сообщает Архимед в своем «Числе песчинок» («Псаммит»), Аристарх говорил, что «окружность, по которой Земля движется вокруг Солнца, так относится к расстоянию до неподвижных звезд, как центр шара к его поверхности». Архимед, который не читал сочинений атомистов и не знал их математики, недоумевает и видит в этом выражении сплошную нелепость: «Ясно, что этого быть не может; так как центр шара никакой величины не имеет, то следует полагать, что никакого отношения между ним и поверхностью шара быть не может». С точки зрения геометрии Евдокса и Евклида это действительно нелепо, но не с точки зрения математики атомистов, по которой центр имел не «никакую», а предельно малую величину; он был «амерой», самой маленькой из математических величин. Из Фемистия, комментатора Аристотеля, нам известно, что атомисты утверждали это именно о центре круга: «Нельзя разделить круг на два равные друг другу полукруга, но центр всегда окажется при разрезании присоединенным либо к одной, либо к другой половине, и сделает эту половину бóльшей». Аристарх, как свидетельствует впоследствии Витрувий, был одним из образованнейших людей и лучших математиков своего времени. Он не мог бы сказать такой нелепости, если бы он стоял на позициях Евдокса; очевидно, он знал о позиции Демокрита и Эпикура и примыкал к ней, хотя открыто и не заявлял об этом, чтó и ввело в заблуждение Архимеда, не знакомого с математикой атомистов.

Архимед в «Числе песчинок» сообщает об Аристархе следующее: «Аристарх Самосский написал сочинение, содержащее ряд (новых) допущений. Выводом из его предпосылок является то, что мир во много раз больше того который мы приняли выше. Ибо он принимает, что неподвижные звезды и Солнце остаются недвижными, а Земля движется вокруг Солнца по окружности круга, в центре которого лежит Солнце... При таком понимании, доказательства, даваемые на основании наблюдений, будут соответствовать его допущениям».

Отметим, что эта теория, как указывал Архимед, была не произвольным допущением, а выводом из наблюдений и математических выкладок Аристарха. «Здесь он {57} смело поднялся над ограниченностью древних, над их узкими взглядами, которые оставались господствующими и позже, вплоть до Коперника и Галилея. Он не только перешел к гелиоцентрической системе, но и расширил все наше представление о вселенной. Солнце есть неподвижная звезда, как все прочие неподвижные звезды, которые мы видим на небесном своде (видимое ежедневное обращение Солнца и звезд, следовательно, есть результат вращения Земли вокруг оси). Вокруг Солнца вращается Земля (как и прочие планеты). Если мы представим себе орбиту Земли как большой круг шара, то весь этот шар в сравнении с мирозданием надо рассматривать как точку». Так характеризует Аристарха известный историк астрономии Гульч, и можно только удивляться тому, что некоторые астрономы (например, проф. Н. И. Идельсон в его вышедшей недавно брошюре о Копернике) без всякого основания игнорируют Аристарха.

Но Гульч неправ в одном. Аристарх не был первым, расширившим наше представление о вселенной. Вместо единого ограниченного мира с Землей в центре (старинный взгляд, которого держался впоследствии и Аристотель) уже Демокрит постулировал бесконечное число космосов, в каждом из которых периферийные тела вращаются вокруг центра; одним из таких космосов он считал наш. Правда, Демокрит в противоположность Аристарху считал, что в центре нашего космоса находится не Солнце, а Земля, но самая мысль, что солнечная система — лишь ничтожная часть вселенной, заимствована Аристархом у Демокрита. И самая идея считать весь наш мир атомом, «точкой», по сравнению со вселенной, быть может, была ему навеяна представлением Демокрита о других мирах, где отдельные атомы имеют величину всего нашего космоса (κοσμιαΐοι).

Мы видим, таким образом, что Аристарх находился под еще более сильным влиянием атомизма, чем его учитель Стратон, хотя прямо и открыто атомизма не исповедывал. Характерно, что стоик Клеанф обвинил Аристарха в безбожии за то, что он «сдвинул с места сердце вселенной», что, несмотря на исключительную простоту и убедительность его теории, Аристарх не нашел ни одного последователя не только в Александрии, но и во всем мире, {58} исключая одного лишь Селевка из Селевкии на Тигре. Из астрономических выкладок Эратосфена мы видим, что этот последний во всяком случае не был последователем Аристарха.

Такова была научная атмосфера, в которой пришлось работать молодому математику Архимеду по прибытии в Александрию. Недаром, живший в это время странствующий философ-скептик Тимон из Флиунта сказал о Музее:

В разноплеменном Египте откармливают легионы

Книжных червей ручных, что ведут бесконечные споры

В птичнике муз... {59}

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ

²

Начало научной деятельности Архимеда

Е сли бы Архимед, прибыв в Александрию, захотел идти по тому проторенному пути, по которому шли прочие математики, то он делал бы следующее:

1) подкреплял бы истины, открытые математиками V—IV вв. при помощи метода неделимых, доказательствами методом исчерпания,

2) разрабатывал бы те области математики, которые не требуют примитивного интегрирования, например теорию чисел,

3) занимался бы астрономическими наблюдениями, кладя в основу старую геоцентрическую систему Аристотеля, и

4) писал бы стихи и философские исследования; здесь легче всего было польстить монарху, поддержать его политику и таким путем сделать себе придворную карьеру.

Этим путем, как мы видели, и шли друзья и коллеги Архимеда — Конон и Эратосфен. Однако Архимед был настолько крупным и оригинальным мыслителем, что отказался следовать в этом за ними. К придворной карьере {60} он не имел никакого вкуса, да и не нуждался в ней: как близкому родственнику сиракузского монарха, ему и без того были бы обеспечены все жизненные блага, если бы только он их добивался. Вдобавок Гиерон был человеком иного склада, чем Птолемеи, и лесть при его дворе, поскольку мы еще можем судить, была не в моде. Архимед с детства не получил аристократического разностороннего воспитания; его отец, астроном, посвятил его лишь в тайны своих наук, и этими лишь науками он интересовался всю жизнь. По-видимому, никакого интереса к философским рассуждениям и к поэтическому творчеству у него не было, хотя, как мы увидим, он был, вероятно, неплохим версификатором.

Ни одна астрономическая работа Архимеда не дошла до нас, и мы не знаем, держался ли он геоцентрических или гелиоцентрических взглядов. Но нам хорошо известно, как мы говорили уже выше, что он с особым интересом относился к системе Аристарха, которую прокляла официальная философия. Принимал ли Архимед эту систему? Не забудем, что эта система не пользовалась официальным одобрением, и поэтому трудно было бы ожидать, чтобы осторожный и корректный Архимед, живший в обстановке придворного Музея, открыто выступил в ее защиту (точно так же впоследствии Кавальери не решился открыто выступить в защиту того же учения, снова выставленного Коперником). Достаточно, однако, того, что Архимед в своем «Числе песчинок» ссылается на Аристарха; как мы видели, ему остается непонятным одно из высказываний Аристарха в духе математики атомизма (стр. 57), но он вследствие этого не отвергает всей системы Аристарха, а старается осмыслить это высказывание так, чтобы оно не противоречило основам евклидовой математики. «Надо допустить, что Аристарх имел в виду следующее: так как мы обычно считаем, что Земля — центр мира, то (он и утверждает, что) Земля так же относится к тому, что мы называем космосом, как сфера, по одному из больших кругов которой вращается, согласно допущению Аристарха, Земля, к той сфере, на которой находятся неподвижные звезды». Архимед замечает, что стоит только понять таким образом это сомнительное с точки зрения математики выражение, и все остальные выводы Аристар-{61}ха, основанные на астрономических наблюдениях, сохраняют свою силу. Конечно, это толкование Архимеда — явная натяжка, ибо сам Аристарх не считал Землю центром нашего космоса и поэтому так выразиться не мог, но это перетолкование нужно Архимеду как раз для того, чтобы спасти теорию Аристарха в целом, сделав ее неуязвимой для нападок современных ему математиков. И вслед за тем во всей остальной части книги Архимед вычисляет объем вселенной, кладя в основу теорию Аристарха, правда, с оговоркой: «Даже если мир так велик, как представляет себе Аристарх сферу неподвижных звезд...» Если бы Архимед не относился серьезно к этой теории, то он просто игнорировал бы ее, положив в основу систему мира Аристотеля. С другой стороны, учтя ту придворную обстановку, на которой мы подробно остановились в предыдущей главе, нельзя не придти к выводу, что Архимед и при полном сочувствии к системе Аристарха, не мог бы выразиться определеннее. Позволительно думать поэтому, что гениальный Архимед в душе сочувствовал теории Аристарха.

При определении диаметра Солнца Архимед, как он сам сообщает впоследствии в своем «Числе песчинок», ближе примыкал к Аристарху, считавшему, что этот диаметр равен ¹/₇₂₀ круга Зодиака, чем к своему отцу, астроному Фидию, считавшему, что Солнце примерно в 1 ¹/₂ раза меньше этой цифры. При решении этого вопроса проявились специфические механические способности Архимеда — он изобрел специальный прибор (фиг. 11) для измерения диаметра Солнца, описанный в том же сочинении. Этот прибор реконструирован А. Чвалина (см. Библиогр. указатель, № 127), причем он дает такое пояснение к описанию Архимеда: «В точке А (фиг. 11, а) вертикально установленной рейки L на высоте глаза укрепляется горизонтальная линейка, снабженная делениями масштаба; вдоль нее может скользить планка S, с которой плотно скреплен круглый диск К, остающийся поэтому при движении планки всегда на одной высоте с A. Если теперь ранним утром, когда Солнце находится еще у горизонта и не настолько ярко, чтобы на него нельзя было смотреть, поме-{62}стить глаз в точке А, а диск К расположить на таком расстоянии, чтобы он полностью закрывал перед глазом диск Солнца, то, зная диаметр диска К и расстояние АК, можно сразу же найти и видимую величину Солнца γ. Архимед отдавал себе при этом полный отчет в том, как трудно оценить ошибки наблюдения. Источник ошибок заключается, во-первых, в том, что глаз в действительности занимает некото-

a Фиг. 11 b

рый объем в пространстве, тогда как в опыте он принимает за точку; во-вторых, в том, что нельзя достичь вполне точного совпадения диска К с солнечным диском. Архимед и здесь также пользуется методом, вполне аналогичным методу исчерпания. Сначала он приближает диск к глазу с довольно значительного расстояния, пока солнечный диск не исчезнет за диском К. Так как расстояние AK принимается при этом значительно меньшим, чем то, которое должно бы было быть при точном совпадении видимых дисков, то в результате получится верхняя граница γ. Поправки на величину зрачка не нужно, так как ошибка действует в сторону увеличения изменяемой величины. При втором измерении Архимед удаляет диск от глаза, пока солнечный диск не станет виден из-за диска К. В этом случае размеры зрачка уже, очевидно, учесть необходимо. Архимед изготовил два тонких цилиндрических стержня, белый Б и черный Ч. Последний он помещает непосредственно перед зрачком Р по направлению оптической оси глаза (фиг. 11, b), а белый стержень помещается непосредственно вслед за черным на той же оси. {63} Если стержень тоньше диаметра зрачка, то Б будет видим, в противном случае — не видим. Калибрируя стержни, Архимед находит размер зрачка.

Пределами оказались — верхним ¹/₆₅₆ (0°32'9"), нижним ¹/₈₀₀ круга Зодиака (0°27'), т. е. результат Аристарха оказался примерно правильным (¹/₇₂₀), а результат, полученный отцом Архимеда (¹/₁₀₈₀), преуменьшенным. Архимед с гордостью отмечает, что результат этот получен с помощью механического прибора (ργανικς). В действительности эти границы 32'5" и 31'5", так что результат Архимеда отличается изумительной точностью.

В астрономических работах Архимеда проявилась и его любовь к сложным вычислительным операциям. Как сообщает один поздний писатель, он определял не только расстояние от Земли до Солнца, но и «расстояние от Земли до Луны, от Луны до Венеры, от Венеры до Меркурия, от Меркурия до Солнца, от Солнца до Марса, от Марса до Юпитера, от Юпитера до Сатурна и от Сатурна до сферы неподвижных звезд». Он определял также поперечник Луны. Тит Ливий называет Архимеда «непревзойденным наблюдателем неба и звезд».

Очевидно, Архимед полностью усвоил от отца навыки в астрономии; тем не менее, он не сделал в этой области каких-либо выдающихся открытий, которые сохранились бы в памяти современников. С другой стороны, он сделал и ряд ошибок; в некоторых случаях уже современники отмечали неправильность его вычислений. Так, окружность земного экватора Архимед определяет (в «Числе песчинок») в 3000000 стадий (461000 км); эта цифра в 12 раз больше полученной Эратосфеном цифры, очень близкой к истинной. Точно так же отношение диаметра Солнца к диаметру Луны, по его мнению, 30: 1; в действительности оно в 10 раз больше. Расстояние от Земли до Солнца Архимед определяет в 5 млрд. стадий, т. е. 785 млн. км. Действительное расстояние — 150 млн. км. Архимед неправильно определял также продолжительность солнечного года в 365 дней, несмотря на то, что на основании сделанных примерно в то же время (в 238 г. до н. э.) {64} астрономических вычислений официальным постановлением египетской жреческой коллегии продолжительность солнечного года была определена в 365 ¹/₄ года. Впоследствии знаменитый астроном Гиппарх замечал: «Из моих наблюдений следует, что различия в длине года лишь крайне незначительны, что же касается солнцеворотов, то я склонен думать, что Архимед и я в наших наблюдениях и в сделанных из них выводах ошиблись на ¹/₄ года».