Я нарочно привел эту теорему в формулировке автора, чтобы читатель мог убедиться, насколько невразумителен для нас, привыкших к алгебраическим обозначениям, язык евклидовой геометрической алгебры, и почему нам приходится, щадя время и внимание читателя, обычно переводить эти невразумительные формулировки на наш математический язык. Так, площадь «имеющая избытком квадрат», значит, как мы видели, что в прямоугольнике, одна сторона а которого постоянная, а другая х переменная величина, на последней строится квадрат, и следовательно, площадь всей фигуры, состоящей из прямоугольника и квадрата, равна ах+х 2. В целом эта пропорция выразится {154} в наших терминах так:
 |
К этому выводу Архимед приходит таким образом.
Суммируя
b · a + b ·2 a + b ·3 a +...+ b · na,
он, согласно приведенной выше (стр. 150) теореме, получает (умножая обе части неравенства на b)
bn 2 a /2 < ba + b ·2 a + b ·3 a +...+ b · na.
Суммируя затем
a 2 + (2 a)2 + (3 a)2 +...+ (na)2,
он, согласно приведенной там же теореме, получает
n 3 a 2/3 < a 2 + (2 a)2 + (3 а)2 +... + (na)2.
При сложении правых и левых частей неравенств получается
n 3 a 2/3 + bn 2 a /2 < [ ba + a 2] + [ b ·2 a + (2 a)2] +...+ [ bna + (na)2],
откуда уже легко выводится требуемое неравенство (числитель и знаменатель левой части сокращаются на п 2 а).
Если элементарные слагаемые, входящие в это рассуждение, мы будем представлять себе не фигурами, а телами, имеющими минимальную глубину а, как это делалось в атомистической математике, то, как мы говорили выше (стр.152), а в правых частях этих неравенств придется заменить через а 2, а а 2 через а 3; в последнем неравенстве в левой части получится
(na)3/3 + b (na)2/2.
 |
Обозначив переменную па через x, мы вправе для наглядности перевести всю эту процедуру на язык наших терминов (с применением знака ò dx); получим
| откуда |
 |
Как раз таким же образом можно было бы доказать, что
 |
В обоих случаях, если возьмем сумму не п, а п— 1 членов, знак <изменится на>. Таким способом мы получим верхний и нижний пределы, после чего методом reductio ad absurdum можно уже доказать, что при достаточном уменьшении a знак неравенства превратится в знак равенства. Как мы увидим, однако, ниже (стр. 168 и сл.). формулой с отрицательным знаком при а 2 Архимед не пользуется, хотя казалось бы, она ему была необходима.
К этому общему виду и сводятся все основные теоремы книги «О коноидах и сфероидах», поскольку они не могут быть сведены к более простому виду ò bxdx или ò x 2 dx. Вправе ли мы на этом основании говорить, что Архимед нашел и применял общий алгорифм для решения степенного ряда до второй степени? Думаю, что это было бы неправильно, ибо применение этого «общего алгорифмам носило у Архимеда стихийный и бессознательный характер; он нигде не отказывается от других разнообразных методов интегрирования ради этого метода, нигде не {156} выделяет его и не подчеркивает его универсального значения. Впервые осознал значение этого приема Кавальери, подчеркнувший и выдвинувший на первое место свою «теорию абсцисс» с ее «всеми абсциссами», «всеми квадратами абсцисс», «всеми остатками абсцисс» и т. д. Интегрирование как самостоятельный алгорифм родилось только с этого момента.
Тем не менее, нельзя, конечно, недооценивать значение открытия, сделанного Архимедом.
Перейдем теперь к отдельным трудам Архимеда, относящимся к этому времени. Сочинение «О спиралях» (буквально: «О раковинообразных линиях» — Περ κογχοειδν) посвящено нахождению площади витка спирали, названной впоследствии архимедовой спиралью. Это — спираль, у которой радиус-вектор (т. е. прямая, проведенная из начала (центра) спирали к любой точке ее окружности) имеет один конец неподвижно закрепленным в этом начале, тогда как другой вращается (по часовой стрелке) вокруг этого начала, причем длина радиуса-вектора все время возрастает пропорционально возрастанию этого угла. Иными словами, уравнение этой спирали1
ρ = n φ.
Определение этой спирали, содержащееся во введении к этой книге, особенно интересно, ибо оно показывает, что Архимед был и оставался прежде всего механиком. Здесь впервые в истории математики дано механическое определение генезиса спирали, как кривой, которую описывает на плоскости точка, движущаяся равномерно вдоль прямой, в то время как сама эта прямая совершает равномерное вращательное движение вокруг точки. Здесь Архимед впервые дает ясное определение понятий: «равномерное прямолинейное движение», «равномерное вращательное движение» и «сложение» этих движений.
Площадь, ограниченную начальным радиусом и витком спирали (т. е. путем, проходимым концом радиуса-вектора за время его полного оборота вокруг оси — первого, {157} второго и т. д.), Архимед называет первой площадью, второй площадью и т. д., а площадь круга, имеющего центром начало спирали и радиус которого равен по длине радиусу-вектору в конце каждого витка, Архимед называет первым кругом, вторым кругом и т. д.
| Фиг. 31 |
Как во всех других своих книгах, и здесь основным теоремам Архимед предпосылает несколько вспомогательных лемм. Из них наибольший принципиальный интерес имеют три леммы, посвященные νεΰσις,т. е., как мы говорили уже, вставке между двумя линиями отрезка данной длины, продолжение которого проходит через данную точку. Так, например, Архимед (фиг. 31) доказывает, что, если дана хорда АВ в данном круге и перпендикуляр ОМ, опущенный из центра O на эту хорду, то всегда можно так провести радиус ОР, чтобы при продолжении его затем до пересечения с хордой АВ в точке F
PF: PB > BM: MO.
| (1) |
Для этой цели из центра О проводим прямую ОТ, параллельную АВ, и из В прямую, перпендикулярную OВ, до пересечения с ОТ в точке Т. Тогда треугольники ОМВ и ОВТ с взаимно перпендикулярными сторонами подобны, откуда
| (1) |
ВМ: МО = ОВ: ВТ.
Берем любую длину d, удовлетворяющую неравенству
| (2) |
OB: d > BM: MO.
Между окружностью и прямой ОТ вставляем отрезок РН длины d так, чтобы продолжение РН попадало в В. Тогда из подобия треугольников ОРН и BPF получим
| (3) |
PF: PB = OP: PH = OP: d.
Но ОР=ОВ, как радиусы круга, и значит
| (4) |
PF: PB = OB: d.
{158}
Следовательно, на основании (2) мы нашли такую точку Р, что
PF: PB > BM: MO.
В этих леммах применен, как мы видим, неортодоксальный, запрещенный прием, νεΰσις, но применен он не как прием решения, а только для исследования задачи, для доказательства существования решения.
| Фиг. 32 |
Как мы уже сказали, основная цель сочинения —нахождение площади, ограниченной спиралью и начальной линией. Для характеристики методов работы Архимеда достаточно взять только теорему о площади первого витка, равной, как доказывает Архимед, 1/3 площади первого круга. Разделив окружность на п равных друг другу секторов и проведя через точки деления радиусы, Архимед откладывает соответствующие радиусы-векторы: на первом радиусе — равный 0, на втором — равный а, на третьем — равный 2 a, на четвертом — равный 3 а и т. д. Через концы этих радиусов-векторов и проходит искомая спираль. Теперь из О как из центра проведем через концы радиусов-векторов отрезки окружностей до пересечения с соседними радиусами (фиг. 32). Секторы, получающиеся по направлению против часовой стрелки от этих точек спирали, образуют ломаную линию, состоящую из изображенных сплошной линией дуг и отрезков радиусов и описанную вокруг спирали, а секторы, образующиеся в направлении по часовой стрелке от этих точек на спирали, представляют собой такую же ломаную линию, но вписанную в спираль; она состоит из изображенных пунктиром дуг и от-{159}резков радиусов. Площадь первого описанного сектора равна p a 2/ n, площадь второго p(2 a)2/ n, третьего p(3 a)2/ n и т. д. вплоть до последнего, n -го, площадь которого p(na)2/ n. Вынося p/ n за скобку и суммируя, получим площадь, ограниченную описанной ломаной:
(p/ n)[ a 2 + (2 a)2 + (3 a)2 +...+ (na)2].
Но этот ряд (ряд квадратов натуральных чисел) Архимед, как мы видели, суммировал и приходил к выводу, что
n 3 a 2 < 3[ a 2 + (2 a)2 + (3 a)2 +...+ (na)2].
Если мы теперь возьмем вписанные секторы, то площадь первого из них также равна p a 2/ n, второго p(2 a)2/ n и т. д.; но этих секторов меньше: их не n, а п— 1; получим сумму ряда
(p/ n)[ a 2 + (2 а)2 + (3 а)2 +...+ (n —1)2],
для которого, как указано выше, будет верно неравенство
п 3 a 2 > 3{ a 2 + (2 a)2 +...+ [(n —1) а ]2}
или
(p n 2 a 2/3) > (p/ n){ a 2 + (2 a)2 +...+ [(n —1) a ]2}.
На основании этих неравенств Архимед известным путем доказывает, что, поскольку разность между
(p/ n)[ a 2 + (2 a)2 +...+ (na)2]
и
(p/ n){ a 2 + (2 a)2 +...+ [(n —l) a ]2},
равная p na 2, при достаточно большом п и достаточно малом а может быть сделана меньше любой заданной вели-{160}чины, площадь витка спирали не может бытьни больше ни меньше p(na)2/3 (т. е., она равна трети площади круга с радиусом, равным na, т. е., трети площади круга). Множителя p/ n Архимед, однако, не вводит, так как оперирует пропорциями.
Из других теорем остановимся только на одной (фиг. 33), в которой применяется указанный выше νεΰσις.1 Если в любой точке Р первого витка провести касательную к спирали, а из центра О восставить перпендикуляр к радиусу-вектору ОР до пересечения с касательной в точке T, а затем из центра О радиусом ОР описать окружность до пересечения с начальным ра-
Фиг. 33
диусом в точке К, то подкасательная ОТ равна дуге KP.
Путем reductio ad absurdum Архимед доказывает, что ОТ не может быть ни больше, ни меньше части окружности KRP. Пусть ОТ больше, чем дуга KRP. На основании приведенной выше леммы мы можем всегда найти такой радиус OQ, чтобы при продолжении его до пересечения с секущей TRP в точке F
FQ: PQ >1/2 PR: OM, {161}
откуда, ввиду подобия треугольников ОТР и ОМР,
FQ: PQ > PO: OT
или
FQ: PQ = PO: OU,
где точка U лежит между O и T и выбрана так, что OU >È KRP.
Переставляем средние члены:
FQ: PO = PQ: OU,
откуда
FQ: PO <È PQ: È KRP
(ибо PQ <È PQ, а OU, по предположению, > È KRP).
Откуда, componendo [образуя суммы членов каждого отношения (см. стр. 24 и сл.)],
FO: QO <È KRQ:È KRP.
Но в спирали дуги пропорциональны радиусам-векторам; следовательно,
FO: QO < OQ 1 : OP.
Поскольку последующие члены QO и ОР между собой равны, FO < OQ 1, а это невозможно.
Подобным же образом Архимед доказывает, что ОТ не может быть и меньше дуги KRP. Значит,
È KRP = ОТ.
Крайняя искусственность этого решения и неожиданность получающегося результата вызывали протесты математиков последующего времени, начиная с Паппа, жившего в III в. н. э., и до наших дней. Уже Папп справедливо указал, что эта теорема может быть доказана способом «плоскостных» геометрических мест, без применения в каком бы то ни было виде «объемных» мест (пересечения конических сечений или νεΰσις), и притом прямым путем, без помощи reductio ad absurdum. Папп показал даже, как это можно сделать. По справедливому предполо-{162}жению Гэзса, искусственное и недостаточно наглядное решение Архимеда, скорее всего было результатом того, что он и в этом случае нашел решение методом неделимых, а затем уже, по известному нам шаблону, переложил каждый его шаг на язык строгого метода. Гэзс сделал даже попытку восстановить весь ход его мыслей, но это восстановление, естественно, остается произвольным.
Перейдем теперь к одному из самых замечательных сочинений Архимеда, к сочинению «О коноидах и сфероидах». В этой области Архимед, по-видимому, был пионером; мы ничего не слышим о том, чтобы кто-нибудь до него занимался телами, полученными от вращения сегментов конических сечений вокруг их оси. Архимеду пришлось самому придумать и терминологию для этих тел. Параболу Архимед, как мы видели, называл «сечением прямоугольного конуса»; соответственно этому параболоид вращения он назвал «прямоугольным коноидом»; гиперболу (вернее, каждую из ветвей гиперболы) он назвал «сечением тупоугольного конуса»; соответственно этому гиперболоид вращения он назвал «тупоугольным коноидом». Но тем не менее, Архимед не назвал эллипсоид вращения «остроугольным коноидом», хотя эллипс он и называл «сечением остроугольного конуса». Эллипсоид, образованный вращением эллипса вокруг его большой оси, он называет «удлиненным сфероидом», т. е. «удлиненным шарообразным телом»; эллипсоид, образованный вращением эллипса вокруг его малой оси, он называет «сплющенным сфероидом», т. е. «сплющенным шарообразным телом». Можно думать, что эти последние названия Архимед придумал (или усвоил у предшественников) еще в раннюю эпоху своего творчества, а затем не хотел уже их менять в угоду стройности всей его системы. Мы говорили уже, что в V в. эллипс, очевидно, рассматривался с точки зрения атомистов как круг, в котором каждая из составляющих его ординат уменьшена в одном и том же отношении; соответственно этому и эллипсоид вращения должен был рассматриваться не как продукт вращения конического сечения, а как удлиненный или сплющенный шар. Отсюда и эти названия.
То, что Архимеду была близка эта «атомистическая» концепция эллипса, видно из предл. 4 разбираемого нами {163} сочинения. Здесь он доказывает, что площадь круга, диаметром которого является большая ось эллипса, относится к площади эллипса, как большая ось эллипса к малой. Доказательство ведется по всем правилам евклидова метода исчерпания (см. стр. 27) без характерного для Архимеда введения наряду с нижней и верхней границами. Но интересно замечание Архимеда: «Так как все линии в круге (параллельные малой оси эллипса, т. е. ординаты) разделены в одном и том же отношении», то такое же отношение имеют и ограниченные этими линиями треугольники и трапеции (GCC 0 и GC 1 C 0, CBC 0 B 0 и C 1 B 1 C 0 B 0, BAB 0 O и B 1 A 1 B 0 O и т. д.), на которые соответственно разбиваются вписанные в эллипс и круг многоугольники, а так как сумма этих треугольников и трапеций и составляет в сумме эти многоугольники, то так же относятся и площади этих многоугольников. Но полудиаметр круга, равный половине большой оси эллипса, и половина малой оси эллипса (АО и А 1 О) есть одна из таких пар соответственных ординат; значит, площади многоугольников относятся, как большая ось к малой. Далее, путем reductio ad absurdum доказывается, что и отношение площади круга к площади эллипса не может быть ни больше, ни меньше отношения площадей этих многоугольников, а следовательно, оно равно этому отношению.
Итак, все доказательство обработано в духе математической строгости: бесконечные по числу ординаты, составляющие круг и эллипс, заменены треугольниками и трапециями конечной ширины, применено апагогическое доказательство (reductio ad absurdum). Но отправным пунктом служит не античная форма уравнения эллипса как конического сечения:
| (1) |
| Фиг. 34 |
y 2/(x (2 a — x)) = b 2/ a 2,
а сформулированное в духе атомистов свойство ординат эллипса:
| (2) |
y: y 1 = b: a.
 |
Разумеется, Архимеду не трудно было с уравнением (1) эллипса сопоставить свойство круга: «квадрат перпендикуляра, опущенного на диаметр, равен произведению отрезков диаметра», т. е.
 |
и из сопоставления уравнений (1) и (3) он сразу же получил бы (2):
Однако в этом случае Архимед сохранил бы хоть какое-нибудь указание на все эти преобразования, а не сказал бы: «так как эти линии разделены в одном и том же отношении», ибо такое разделение не является определяющим свойством эллипса при трактовке его как конического сечения.
Но вернемся к терминологии, которую Архимед предпосылает своему исследованию. «Конус, описанный прямыми, ближайшими к сечению тупоугольного конуса», Архимед называет «охватывающим конусом». «Ближайшие прямые» — это, конечно, асимптоты гиперболы; речь идет о конусе, образованном вращением асимптот вокруг оси. Расстояние от вершины этого конуса до вершины гиперболоида вращения Архимед называет «отрезком, примыкающим к оси», и т. п. Если оси двух сфероидов пропорциональны друг другу, то Архимед называет такие сфероиды подобными.
Как мы узнаем из предисловия к сочинению «О спиралях», теоремы об объеме сегментов параболоида вращения Архимед открыл уже в раннюю эпоху своей деятельности, о чем он сообщал уже в письме к Конону, т. е. до выхода его первого геометрического сочинения «О квадратуре параболы», написанного уже после смерти Конона. Что же касается теорем, посвященных объему гиперболоида и эллипсоида вращения, то к ним Архимед пришел лишь в разбираемую нами эпоху, как видно из предисловия к этому сочинению, обращенного к ученику Конона Досифею: {165}
«В этой книге я посылаю тебе мои доказательства теорем, которых не доставало в книгах, посланных тебе до сих пор. Кроме того, я шлю тебе доказательства некоторых теорем, найденные позже, ибо, несмотря на ряд повторных попыток, прежде мне приходилось отказаться от их доказательства — со столь большими трудностями это было связано. Поэтому-то я и не опубликовал этих доказательств вместе с другими. Но когда позже я засел за них с еще бóльшим усердием, мне удалось разрешить то, что до сих пор представляло для меня непреодолимые трудности».
Своей книге Архимед предпосылает следующие леммы из области теории конических сечений:
1. В параболоиде вращения всякое сечение плоскостью, параллельной оси, есть парабола, подобная параболе, произведшей параболоид.
2. В гиперболоиде вращения всякое сечение плоскостью, параллельной оси, есть гипербола, подобная гиперболе, произведшей гиперболоид.
3. В гиперболоиде вращения всякое сечение плоскостью, проходящее через вершину асимптотического конуса, есть гипербола, не подобная гиперболе, произведшей гиперболоид.
4. Во всяком сфероиде сечение плоскостью, параллельной оси, есть эллипс, подобный эллипсу, произведшему сфероид.
Доказательства этих лемм Архимед не дает, но замечает: «Доказательства всех этих предложений очевидны» (φανεροί).
Замечание это не может не вызвать удивления. Все эти положения вовсе не самоочевидны, особенно третье. Это замечание не может также означать, что эти положения были уже доказаны в «Элементах конических сечений» Евклида, так как в таких случаях Архимед прямо на это указывает. Я считал бы правильным сопоставить с этим замечанием Архимеда случайно сохраненное традицией сообщение Гераклида, биографа Архимеда. Мы узнаем отсюда, что знаменитого автора «Конических сечений» Аполлония из Перги обвиняли в плагиате: его «Конические сечения» якобы есть только видоизменение «Конических сечений» Архимеда, которые автор не успел опублико-{166}вать; Аполлоний якобы присвоил себе труд Архимеда. Об этом обвинении мы скажем ниже (стр. 202), когда будем говорить о взаимоотношениях между Архимедом и Аполлонием. Пока учтем только то, что Архимед, очевидно, готовил публикацию собственных «Конических сечений», которые он, по неизвестным нам причинам, не опубликовал (ни один античный автор на этот труд не ссылается); вполне вероятно, что Архимед в момент написания книги «О сфероидах и коноидах» собирался включить эти леммы в свои «Конические сечения», а потому не считал нужным дать их доказательства.
Из остальных лемм, предшествующих основным теоремам, в этом сочинении наиболее интересны 8-я и 9-я. Здесь показано, как по данному эллиптическому сечению конуса и его вершине, лежащей на осевой плоскости, перпендикулярной к плоскости сечения, найти круговые сечения конуса. Иными словами, всякий прямой конус с эллипсом в основании всегда можно рассматривать как наклонный конус с кругом в основании.
| Фиг. 35 |
Основной задачей книги является нахождение объема сегмента параболоида, гиперболоида и эллипсоида вращения. Архимед показывает, что этот объем зависит только от площади основания сегмента и его высоты и не зависит от величины угла между основанием сегмента и осью эллипса. Для нахождения объема в каждое из указанных тел (фиг. 35) вписывается и вокруг него описывается ступенчатое тело, составленное из ряда наложенных друг на друга цилиндров, прямых или наклонных, ибо их оси совпадают с осью тела вращения. Высоты этих цилиндров a равны между собой и равны каждая 1/ n всей высоты тела. Не трудно убедиться, что первый описанный цилиндр (считая от вершины тела вращения) равен первому вписанному, второй — второму и т. д., но последний из описанных цилиндров не имеет себе соответствия {167} во вписанном ступенчатом теле. Так как высоты цилиндров равны между собой, то их объемы относятся, как квадраты радиусов их оснований, т. е. как квадраты ординат. Но квадраты ординат относятся:
1) в параболе — как соответствующие абсциссы, т. е. они пропорциональны
а, 2 а, 3 а, 4 а, ..., па;
2) в гиперболе — как произведения соответствующих абсцисс на сумму абсциссы с осью b, т. е. они пропорциональны
a ·(b + a), 2 a ·(b +2 a), 3 a ·(b +3 a),..., na ·(b + na),
или
b · a + a 2, b ·2 a +(2 a)2, b ·3 a +(3 a)2,..., b · na +(na)2;
3) в эллипсе — как произведения соответствующих отрезков диаметра d
a ·(d—а), 2 а ·(d —2 а), 3 a ·(d —3 а),..., na ·(d—па)
или
d · a—a 2, d ·2 a —(2 a)2, d ·3 a —(3 a)2,..., d · na —(na)2
Разность между объемами описанной и вписанной ступенчатых фигур равна одному цилиндрику, прилегающему к основанию сегмента; при достаточно большом п она может быть сделана сколь угодно малой. Но эти ступенчатые фигуры представляют собой верхний и нижний пределы соответствующих тел вращения; следовательно, подсказанному выше (стр. 151), объем цилиндра, в который вписан параболоид вращения, относится к объему параболоида вращения, как
n 2 a: n 2 a /2 = 2: 1;
а так как объем конуса, имеющего то же основание и ту же вершину, что и цилиндр, равен трети объема цилиндра, то объем параболоида вращения равен 3/2 объема этого конуса. {168}
Таким же образом из формул для соответствующих ступенчатых фигур в гиперболоиде и эллипсоиде вращения можно найти отношение объемов этих фигур к объему описанного вокруг них цилиндра.
Необходимо, однако, указать на то, что Архимед пользуется только формулой для суммы ряда ba + a 2, b ×2 a +(2 а)2 и т. д., а формулу для суммы ряда
d × a — a 2 d ·2 a —(2 a)2,...
не выводит и ею не пользуется. Он строит ряд прямоугольников со сторонами d /2+ h и 2 h (где d — большой диаметр эллипса, а h — отрезок диаметра от центра до основания сегмента), отнимает от каждого из них гномон (см. стр. 15) с площадью
d · a — a 2, d ·2 a —(2 a)2,...
и получает в результате ряд прямоугольников, ширина которых убывает, когда ряд а, 2 а, 3 а,... возрастает. Суммирование площадей гномонов заменяется нахождением суммы площадей этих прямоугольников, которая получает уже вид
с · а + а 2, с ·2 а +(2 а)2,...,
т. е. вид формулы, которой он пользовался для получения объема гиперболоида; в особой формуле для эллипсоида, таким образом, нет нужды. На этом примере мы видим, с какими непонятными для нас трудностями приходилось иметь дело греческому геометру вследствие отсутствия алгебраических обозначений и представления об отрицательном числе. {169}
Глава седьмая
²
Архимед при дворе Гиерона. Рим и Карфаген
С читая неблагородным ремеслом занятия механикой и вообще всякого рода практической наукой, Архимед обратил все свое внимание на геометрию, на ту отрасль знания, красота и преимущество которой не имеют ничего общего с удовлетворением практических потребностей. Эти знания не выдерживают никакого сравнения с другими, ибо они в своих доказательствах вступают в спор с материей. Во всей геометрии нельзя найти более трудных и серьезных задач, которые были бы притом изложены в более простой и наглядной форме, чем это сделано в сочинениях Архимеда. Одни видят в этом доказательство его таланта; по мнению других, упорным трудом было сделано то, что кажется каждому сделанным без усилий, легко. Самому не найти иной раз доказательств для решения задачи, но стоит обратиться к сочинениям Архимеда, и тотчас же приходишь к убеждению, что мог бы решить ее сам; так ровна и коротка дорога, которой он ведет к доказательствам.
