Эллинистическая Греция в годы детства 6 страница

(7)

E ₁ O ₁ : TG = AO: OH ₁.

Следовательно, это условие соблюдено, и грузы взаимно уравновесятся. Но E ₁ O ₁ есть произвольно взятый элемент треугольника QEq; ясно, что то, что верно для. Е ₁ O ₁ и R ₁ O ₁, равного TG, будет верно и для любого элемента, т. е. для любого отрезка прямой, параллельного qE и заключенного между Qq и QE, и части его, заключенной в параболическом сегменте qR_мQ. Итак, всякая такая прямая в треугольнике qEQ уравновесит соответствующую ей прямую в параболическом сегменте, если перенести последнюю в точку А. Мы можем, разбив весь параболический сегмент на прямые, параллельные qE, перенести их все в точку А. Следовательно, весь параболический сегмент, перенесенный в точку A, уравновесит весь треугольник, оставшийся на своем месте. {80}

Таблица 6. Архимед. Один из античных бюстов,

считавшихся изображением Архимеда

Но QO — медиана треугольника qEQ, так как, согласно (6), q0 = ОЕ; значит, центр тяжести треугольника лежит в точке Z, для которой

OZ = ¹/₃ OQ = ¹/₃ AO,

ибо не только Архимедом, но уже до него атомистическими методами было доказано, что центр тяжести треугольника лежит на 1/3 медианы (см. стр. 70).

Вес всего треугольника EqQ мы сможем считать сосредоточенным в центре его тяжести, в точке Z. Но, как мы видели, треугольник EqQ, оставшийся на своем месте, уравновесится параболическим сегментом QR_мq, перенесенным в точку А. Отсюда, по закону рычага, отношение веса параболического сегмента qR_мQ к весу треугольника EqR равно OZ: АО = 1: 3.

Но площади однородных плоских тел относятся, как их веса, и, значит, площадь параболического сегмента равна 1/3 площади треугольника qEQ.

Треугольник QqO, как имеющий с треугольником QEq общее основание, а высоту в два раза меньшую, равен по площади половине треугольника QEq; треугольник QR_мq, как имеющий с треугольником QqO общее основание и высоту, в два раза меньшую, равен по площади половине треугольника QqO. Итак,

Δ QR_Мq = ¹/₄ Δ EQq,

откуда площадь параболического сегмента равна 4/3 площади треугольника QR_мq, вписанного в этот сегмент так, что его вершина совпадает с вершиной параболы.

В дошедшем до нас сравнительно позднем сочинении Архимеда это решение дается как предварительное, евристическое, которое станет научным только после того, как полученный вывод будет подтвержден методом исчерпания при помощи reductio ad absurdum. Можно думать, что Архимед разрабатывал эти «механические» методы уже в раннюю эпоху своей деятельности с тем, чтобы, доказав свои механические предпосылки строго {81} математическим путем, затем включить их в свою систему математики.

Так как эти методы имели, как вы убедились, исходными пунктами закон рычага и учение о центрах тяжести, то первой заботой Архимеда было дать строго математический вывод этих законов.

Со свойственной ему гениальной интуицией Архимед сразу же понял, что при тогдашнем состоянии науки в области динамики, дальше беспочвенных фантазий и произвольных допущений пойти нельзя. Поэтому он принципиально ограничивает себя изучением законов равновесия: нахождением центров тяжести и исследованием уравновешенного и неподвижного рычага. Архимед является, таким образом, основателем новой науки — статики.

Вопросам теоретической механики и посвящена первая книга дошедшего до нас сочинения «О равновесии плоских тел или о центрах тяжести плоских тел» в двух книгах. Эта первая книга — самое ранее из дошедших до нас произведений Архимеда. Постулат и первые семь теорем этой книги посвящены как раз теории двуплечего рычага (весов); остальная часть посвящена нахождению центра тяжести треугольника, параллелограмма и трапеции.

Как же обосновывает закон рычага Архимед? Своему изложению он предпосылает следующие постулаты: «Мы требуем (ατοΰμεθα), т. е. ставим такие предварительные условия (постулаты) 1:

1. Равные веса, находящиеся на равных расстояниях (от точки опоры), находятся в равновесии, а равные веса, находящиеся на неравных расстояниях, не находятся в равновесии, но перевес происходит в сторону того веса, который находится на бóльшем расстоянии.

2. Если два веса, находясь на определенных расстояниях, уравновешивают друг друга и если к одному из {82} этих весов что-либо прибавить, то весы уже не будут уравновешивать друг друга, но наклонятся к тому весу, который увеличили.

3. Если подобным же образом отнять что-либо от одного из весов, то весы не останутся в равновесии, но склонятся к тому, от которого не отнимали.

4. Если равные и подобные2 плоские фигуры при наложении совпадают, то совпадают и их центры тяжести (τ κέντρα τν βαθέων).

5. В неравных, но подобных фигурах центры тяжести сходственно расположены.

6. Если две величины, находясь на известных расстояниях, уравновешивают друг друга, то и равновеликие им3 величины, находясь на тех же расстояниях, уравновесят друг друга (под величинами Архимед понимает здесь линии, плоскости и тела. — С. Л.).

7. Если обвод какой угодно фигуры имеет выпуклость всюду в одну и ту же сторону, то центр тяжести должен быть внутри фигуры.

Эти постулаты вполне аналогичны по форме постулатам, которые клались в основу античной геометрии, хотя бы той же геометрии Евклида. С точки зрения античного понимания аксиоматики они должны представлять собой самоочевидные истины. Между тем, не трудно заметить, что 6-ой постулат самоочевидной истины уж никак не представляет. В самом деле, если перевести на привычный нам язык, то этот постулат будет звучать так: если нагрузку одного из плеч рычага заменить другой, равной ей по массе и имеющей центр тяжести на той же вертикали, то равновесие не нарушится. Не трудно видеть, что этот далеко не самоочевидный постулат implicite содержит в себе утверждение о равенстве статических моментов обеих нагрузок. Возьмем, например, простейший случай: материальная точка с массой Μ, отстоящая от точки опоры на L, заменена двумя материальными точ-{83}ками с массой M /2 каждая, одна из которых отстоит от точки опоры на L + l, другая на L–l. Тогда массы обеих нагрузок равны, и центры тяжести совпадают. Но в этом случае, очевидно, и моменты равны, ибо

ML =(M/2)(L + l) + (M /2)(L–l).

Так как любую фигуру можно себе представить в виде множества пар частиц, из которых одна находится вправо от вертикали, проходящей через центр тяжести, а другая — влево на таком же расстоянии, то этот вывод может быть распространен на любые две плоские нагрузки с одинаковой массой и одним и тем же центром тяжести.

Утверждение это, таким образом, не самоочевидно; мы могли бы с равным правом принять за постулат то что является окончательной целью доказательства — равенство моментов нагрузок неравноплечего рычага. Правда, принятое Архимедом за постулат положение несколько проще1.

Итак, Архимед стремится придать своему рассуждению характер аксиоматического обоснования по образцу математики, как того требовала в то время, если можно так выразиться, научная благопристойность; но фактически он кладет в основу своего рассуждения экспериментально обоснованный факт о равенстве сумм моментов.

Впрочем, сущность вопроса заключается в том, что в разбираемом нами сочинении вовсе не дано определение важнейшего понятия — понятия центра тяжести. По-видимому, это определение уже было дано Архимедом в книге «О весах» или «О рычагах» (Περ ζυγν). Поскольку {84} можно судить по ссылкам на это сочинение, здесь даны были постулаты и общие теоремы учения о центрах тяжести, отсутствующие в дошедшем до нас труде, а также, вероятно, теоремы о центрах тяжести тел (пирамиды, конуса, параболоида вращения и т. д.). Как мы видим из указания Паппа, жившего в III в. н. э., указания, подтверждающегося теоремой 4 разбираемого сочинения «О равновесии» и теоремой 6 сочинения «О квадратуре параболы», Архимед понимал под центром тяжести точку, отличающуюся тем свойством, что при подвешивании тела за эту точку оно останется в равновесии, какое бы ему ни было придано положение. «Это стержневой принцип теории центра тяжести» — читаем мы у Паппа.2 — Ты узнаешь. основные положения, доказываемые при помощи этой теории, если прочтешь учение о равновесии Архимеда». В сочинении «О квадратуре параболы» Архимед говорит, что это положение у него доказано в другом месте — очевидно, в сочинении «О рычагах».

Как было сказано выше, уже до Архимеда стоик Посидоний определял центр тяжести как точку, отличающуюся тем свойством, что при проведении через нее вертикальной плоскости тело разделится на две равные (вернее, имеющие равные моменты) части. Как сообщает Герон (в своей «Механике»),3 Архимед и его школа углубили это положение, проведя различие между центром тяжести и точкой подвеса. В самом деле, Архимед понимал, что фактически подвесить тело за центр тяжести в большинстве случаев невозможно: такое подвешивание может быть произведено только мысленно (κατ’ επίνοιαν, как выражается Папп);4 для практического же нахождения центра тяжести надо проводить вертикальные плоскости через точки подвеса, подвешивая тело в различных положениях, и искать точку пересечения таких плоскостей.

Все эти особенности: 1) самое понимание центра тяжести, 2) доказательство его существования и 3) способ его нахождения через точку подвеса — характерны для рассуждения о центре тяжести, содержащегося у Паппа. Так как сам Папп резко противопоставляет оригиналь-{85}ные части своего труда этой «общеизвестной» части и указывает как на источники ее на Архимеда и на «Механику» Герона и так как в «Механике» Герона таких рассуждений не содержится, то мы можем с полным основанием считать эти рассуждения заимствованными у Архимеда и потому привести их здесь.

«Пусть дана вертикальная плоскость ABCD, направленная к центру вселенной, куда направляется все, имеющее тяжесть. Пусть АВ прямая, параллельная плоскости, по которой мы ходим (горизонтальная). Если мы положим какое-либо тело, имеющее вес, на прямую АВ так, чтобы плоскость ABCD при продолжении пересекала тело, и будем его перемещать, то раньше или позже тело примет такое положение, что оно перестанет качаться и не будет падать. Если, установив тело таким образом, представим себе плоскость ABCD продолженной, то она разделит тело на две уравновешивающие друг друга части, которые составят как бы весы с точкой опоры на плоскости. Переместим теперь нагрузку так, чтобы она касалась прямой АВ другой частью своей поверхности. После ряда колебаний она опять примет такое положение, что будет неподвижной, если даже ее не поддерживать, и не упадет. Если теперь снова представить себе плоскость ABCD продолженной, то она снова разделит груз на уравновешивающие друг друга части и должна пересечься с указанной выше плоскостью, рассекавшей груз также на уравновешивающие друг друга части. В самом деле, если вторая плоскость не пересечет первой, то она будет целиком находиться внутри одной из уравновешивающих друг друга частей и поэтому одни и те же части, образованные второй плоскостью, будут и уравновешивать и не уравновешивать друг друга, что нелепо.

Теперь представим себе прямую АВ, перпендикулярную к плоскости, по которой мы ходим, иначе — направленную к центру вселенной (т. е. вертикальную). Пусть, подобно разобранному выше случаю, груз помещен на точку А, так что прямая АВ будет служить ему подпорой. Если, после того как тело придет в равновесие, продолжить прямую АВ, то часть ее окажется внутри тела. Представим себе, что отрезок прямой внутри тела сохраняет свое положение (относительно тела), а {86} самое тело положено на прямую АВ другим местом своей поверхности и пришло в равновесие. Я утверждаю, что если теперь продолжить прямую АВ, то она пересечется с первым, проведенным в теле отрезком (внутри тела). В самом деле, если она не пересечется (внутри тела), то можно будет через обе эти прямые провести плоскости, не пересекающиеся друг с другом внутри тела, так что каждая из них будет рассекать тело на части, одновременно уравновешивающие и не уравновешивающие друг друга, что нелепо. Значит, указанные прямые пересекутся внутри тела. Равным образом, если тело будет помещено в других каких-либо положениях на А и придет в равновесие, то продолжение прямой АВ пересечется с проведенными внутри тела указанными выше отрезками. Отсюда ясно, что все мысленно проведенные указанным способом прямые пересекутся в одной и той же точке. Эта точка и называется центром тяжести. Ясно, что, если мы мысленно представим себе груз подвешенным за центр тяжести, то он не будет колебаться, а будет неподвижно сохранять любое приданное ему положение. В самом деле, всякая плоскость, проведенная через эту точку, разделит груз на уравновешивающие друг друга части, так что у тела не будет никакой причины менять положение».

Итак, Архимед доказывал, что центр тяжести имеет такое свойство, но это еще не значит, что он так определял его. Вполне возможно, что Архимед определял центр тяжести как точку, отличающуюся тем свойством, что при перенесении в нее всех точек нагрузки равновесие не нарушится — свойством, из которого впоследствии исходил Герон 1. Тогда во всем ходе рассуждения нет никаких логических дефектов, но ни самый процесс перенесения всех точек, ни возможность существования центра тяжести в указанном здесь смысле не являются чем-то очевидным. Это опять же интерпретированный в предельном смысле экспериментальный факт; на опыте мы можем убедиться лишь в том, что при замене одного груза другим, сколько угодно малым по величине, но равным ему по весу и помещенным в районе центра тяжести, равновесие не нарушится. {87}

Приняв указанные выше постулаты, Архимед прежде всего доказывает три непосредственно вытекающие из них обратные теоремы, (теоремы 1—3). Интереснее их теорема 4: «Если две равные друг другу величины имеют разные центры тяжести, то общий центр тяжести лежит на середине прямой, соединяющей эти центры тяжести». Эта теорема является лишь следствием из двух теорем, содержавшихся, очевидно, в сочинении о рычагах: во-первых, здесь принимается за доказанное, что этот общий центр тяжести лежит где-то на прямой, соединяющей центры тяжести двух нагрузок («то, что он лежит на прямой АВ, было уже доказано»). Во-вторых, здесь считается известным, что при перенесении точки опоры в центр тяжести система будет в равновесии, а эта теорема, как мы видели, была скорее всего доказана там же (помещение точки опоры в центре тяжести — это частный случай подвешивания в точке, находящейся на одной вертикали с центром тяжести). Приняв эти два положения, Архимед без всякого труда путем reductio ad absurdum доказывает, что центр тяжести может быть только в середине.

В теореме 5 берутся три равные друг другу величины, лежащие на одной прямой и отстоящие друг от друга на равных расстояниях. Из предыдущей теоремы очевидно, что центр тяжести этой системы совпадает с центром тяжести средней величины. Отсюда очевидно, что сколько бы мы ни имели равных и равноотстоящих друг от друга величин, лежащих на одной прямой, общий их центр тяжести лежит на середине этой прямой (следствие из теоремы 5).

После этих лемм Архимед доказывает основную теорему (теорема 6): «Соизмеримые величины, помещенные от точки опоры рычагана расстояниях, обратно пропорциональных их весу, уравновешивают друг друга».

Доказательство это настолько же просто, насколько изящно. Пусть общей мерой нагрузок Р и Q будет k и пусть k в Р заключено m раз, а в Q заключено п раз. Разделим рычаг, т. е. прямую АВ, соединяющую центры тяжести нагрузок, в точке С в отношении n: m (на п единиц и т единиц) и в точке D в отношении т: п (на т единиц и п единиц). Необходимо доказать, что при помещении точки опоры в С рычаг будет в равновесии. {88}

Отложим влево от А отрезок AD ₁ равный AD (фиг. 13), а вправо от В отрезок BD ₂, равный BD. Тогда, очевидно, D ₁ A имеет т единиц длины, AD — m единиц длины, АС — п единиц длины, BD — п единиц длины, CB — т единиц длины, BD ₂ — п единиц длины.

Рычаг АВ равен т + п единиц длины.

Прямая D ₁ D ₂ равна D ₁ A + АВ + BD ₂ = 2т + 2 n единиц длины.

Отрезок CD ₂ = СВ + BD ₂ = т + п единиц длины.

Фиг. 13

Таким образом, точка С есть середина прямой D ₁ D ₂. Поместим на каждой единице длины нагрузку k /2. Центром тяжести всех таких нагрузок, помещенных на отрезке D ₁ D, будет, согласно следствию из теоремы 5, точка А; общий вес их равен 2m · k/2=mk=P. Значит, согласно постулату 6, этими нагрузками можно заменить груз Р без нарушения равновесия. Точно так же центром тяжести всех таких нагрузок, помещенных на отрезке DD ₂, будет точка В; общий вес их равен 2 n · k/2 = nk = Q. Значит, согласно постулату 6, этими нагрузками можно заменить без нарушения равновесия груз Q.

Но, согласно следствию из теоремы 5, центр тяжести всей системы будет лежать в середине прямой D ₁ D ₂, т. е. в точке С, что и требовалось доказать.

В теореме 7 это доказательство по известному евклидову шаблону распространяется и на случай несоизмеримых величин.

В разобранном нами месте сочинения о равновесии речь идет только о прямолинейном рычаге. Но Архимеду были хорошо известны и законы криволинейного рычага; об этом рычаге Архимед, очевидно, говорил в своем утраченном сочинении «О весах». У Герона (I, 33) читаем: {89} «Архимед доказал, что и в,этом случае отношение грузов обратно пропорционально расстояниям». Точно так же, говоря о частном случае криволинейного рычага, о равновесии грузов, привешенных к двум концентрическим окружностям, Герон (II, 7) прибавляет: «Это доказал Архимед в своем сочинении о равновесии».

Перейдем к вопросу о центре тяжести.

Задачи на нахождение центра тяжести интересовали Архимеда преимущественно как геометра: они давали ему материал для новых блестящих преобразований и доказательств. Для истории механики их значение не велико. Я коснусь здесь поэтому только простейших задач

Фиг. 14

— задач на нахождение центра тяжести параллелограмма и треугольника, чтобы охарактеризовать основные различия между доказательствами Архимеда и доказательствами его предшественников, о которых мы говорили выше (стр. 70).

Теорема 9 гласит, что центр тяжести параллелограма лежит на прямой, соединяющей середины противоположных сторон.

Для доказательства этой теоремы делается ложное предположение, что центр тяжести не лежит на этой прямой, а находится в точке Н (фиг. 14). Каждая из половин стороны AD (АЕ и ED) делится на столько равных между собой частей, чтобы каждая из них была меньше КН, и через них проводятся прямые, параллельные боковым сторонам. Получаем ряд конгруэнтно равных параллелограммов. Центр тяжести всей фигуры лежит на прямой, соединяющей центры тяжести двух средних параллелограммов, а согласно постулату 7 (стр. 83), центр тяжести выпуклой фигуры лежит внутри этой фигуры и, следова-{90}тельно, центр тяжести не может находиться в точке H, как бы мало ни было расстояние от средней линии до Н. Итак, центр тяжести должен лежать на средней линии EN, а следовательно, и на средней линии GM, а следовательно, на пересечении их или на пересечении диагоналей (теорема 10).

Таким образом, решение, очевидно, известно уже до начала доказательства, и Архимед стремится свести к абсурду всякое другое решение. Кто знаком о общим методом построения аналогичных доказательств у Евклида и Архимеда, тот знает, что эти решения представляют собою обход атомистической инфинитезимальной процедуры: разбивая параллелограмм на вертикальные полоски, которые ýже любой заданной величины, Архимед в сущности разбивает его на неделимые, но в окончательном решении устраняет все, что носит атомистический характер. В до-архимедовской механике параллелограм, очевидно, просто разбивался на «материальные» линии, параллельные одной из боковых сторон; поскольку центр тяжести каждой такой «линии» находится вее середине, можно считать всю тяжесть такой прямой сосредоточенной в ее середине; тогда центр тяжести всей системы должен находиться на средней линии и т. д. (стр. 70).

Все сказанное можно почти дословно повторить и для теоремы 8 — о центре тяжести треугольника. И здесь, как мы говорили (стр. 70), первоначально треугольник разбивался на ряд «материальных» прямых, параллельных основанию. Задачей Архимеда было только перестроить это решение так, чтобы оно удовлетворяло требованиям строгости. Он поступил так же, как в случае параллелограма, сделав предположение, что центр тяжести не находится на медиане, и применив затем reductioad absurdum.

В связи со сказанным было бы очень важно установить, что понимал Архимед под центром тяжести плоской фигуры: имел ли он в виду тела в форме пластинки с очень небольшой глубиной (тогда центр тяжести находился бы на середине глубины), или же абстрактные образы предельного типа. У Герона (I, 24) мы читаем следующее: «Никто не станет отрицать, что в действительности центр тяжести может быть только у тел. Если же говорят, что и у геометрических фигур (надо понимать — нематериальных) пло-{91}ских и телесных есть какой-то определенный центр тяжести, то (смысл этого выражения) надлежаще объяснил Архимед». Очевидно, Архимед, говоря (в трактате «О весах») о центре тяжести геометрических фигур, имел в виду идеальные, нематериальные тела.

В теснейшей связи с архимедовым учением о центре тяжести находилась и его теория о распределении груза между опорами; поэтому очень возможно, что и недошедшая до нас книга его «Об опорах» была написана в раннюю эпоху его научной деятельности, может быть, уже в Александрии.

Приводя ряд правил распределения груза между опорами, Герон в своей «Механике» говорил: «Архимед указал уже на способ решения таких задач в книге, называемой «Книгой опор». Отсюда мы вправе заключить, что та теория распределения груза между опорами, которую мы находим в этом месте «Механики» Герона — книги, носившей компилятивный характер, в общих чертах восходит к Архимеду. Только характерная ошибка, восходившая, как мы говорили уже (стр. 70—71), к стоической механике и состоявшая в том, что груз распределяется между опорами поровну, независимо от их расположения, не может быть приписываема Архимеду. Исключив эти явные нелепости из рассуждений Герона, мы получим в основных чертах теорию Архимеда. В самом деле в 26-й главе I книги «Механики» Герона мы читаем: «(Из книги Архимеда) мы опускаем то, что необходимо для других вещей, и в данном случае используем лишь то, что относится к количественному измерению, как это нужно для учащегося. Общий подход при этом таков. Пусть дано любое количество колонн и на них покоятся балки, причем положение нагрузки относительно двух крайних колонн одинаковое или не одинаковое; пусть балки выступают за одну из этих опор или за обе сразу; пусть, наконец, расстояние между колоннами равное или неравное; требуется узнать, какая нагрузка приходится на каждую из колонн. Пример: пусть дана длинная балка, тяжесть которой распределена равномерно; пусть ее несут люди, размещенные на равных расстояниях друг от друга по длине и в концах балки; пусть один или оба конца торчат, требуется узнать, какая тяжесть приходится на каждого из людей...» {92}

Герон начинает со случая, когда балка с равномерно распределенной тяжестью подперта на концах и в произвольных точках по ее длине. Он рассуждает так: если разрезать балку над каждой из опор, то отрезки балки останутся лежать на опорах, и никакого перемещения не произойдет. Стало быть, думает он, если разрезать балку над каждой из опор, груз останется распределенным так же, как и раньше (рассуждение, конечно, неверное, ибо фактически в результате разрезывания взаимоотношение внутренних сил в балке станет совершенно иным). Теперь задачу уже ничего не стоит решить. Если, например, мы имеем опоры А, В, С, D, К, L, а тяжесть участка балки между А и В равна P_A, между В и C равна P_B, между С и D равна P_C..., а между К и L равна Р_K то опора А будет нести нагрузку P_A /2, опора В — нагрузку P_A /2+ P_B /2, опора С — нагрузку (P_B + P_C)/2 и т. д., и, наконец, опора L — нагрузку P_K /2.

В действительности эта задача в общем ее виде статически совершенно неопределенная, и восходящее, вероятно, к Архимеду решение Герона, основанное, как мы видели, на ошибочном допущении, имеет только интерес курьеза.

Более интересен случай, когда балка покоится на двух опорах, но один из концов ее не подперт. Этот случай Герон рассматривает в главе 27, и рассуждает в общем правильно. Пусть, например, мы имеем две опоры А и В, пусть часть балки, свободно висящая слева от опоры A, имеет вес Р_A, а часть, заключенная между опорами А и B, вес P_B. Тогда груз P_A, висящий слева от опоры A, уравновесится равным ему грузом P_A левой части отрезка балки, лежащего вправо от опоры А. Весь этот груз, равный 2Р_A, должна будет выдерживать опора А. Остается вес правой части отрезка балки, лежащего между опорами и примыкающего слева к опоре В; он равен, очевидно, P_B—P_A. Этот груз надлежит распределить между обеими опорами.

До этого места Герон рассуждает совершенно правильно. Но здесь дает себя знать роковое заблуждение, в которое, как мы видели, ввел Герона стоик Посидоний и {93} которое не могло иметь места у Архимеда. Герон забывает о законе рычага и распределяет груз P_B—P_A поровну между обеими опорами, а не обратно пропорционально расстояниям центра тяжести этого груза от опор. Для доказательства этого положения он представляет себе, что в точке где кончается отрезок, весящий P_A, и где начинается отрезок P_B — P_A, подставлена еще колонна С; в этом случае нагрузка P_B — P_A, разумеется, распределяется равномерно между колонной В и колонной С. Далее он предполагает что колонна С принята и что ее нагрузка автоматически пере-

Фиг. 15

дается колонне А — допущение неверное, основанное на ошибочном правиле Посидония. Несомненно, у Архимеда речь здесь шла о распределении груза P_B—P_A обратно пропорционально расстоянию центра тяжести от опор, но Герон его неправильно понял.

Это видно из того, что, рассматривая действие на опоры нагрузок, привешенных в различных точках равномерно тяжелой балки, имеющей опоры в концах, Герон неожиданно поступает совершенно правильно, распределяя нагрузки по закону рычага. Так, для изображенного на фиг. 15 случая, где вес балки Р, вес нагрузок P ₁ и P ₂, а опоры M и N, Герон дает такое решение (в переводе на нашу символику): на опору М приходится

(Р ₁· ЕВ)/ AB + (P ₂· FB)/AB + P/ 2,

на опору N приходится

(P ₁· AE) /AB + (P ₂· AF) /AB + P /2. {94}

Не менее правильно поступает Герон (resp. Архимед), определяя нагрузку на каждую из опор для случая треугольника, подпертого в трех вершинах. Если требуется найти нагрузку, вызванную тяжестью самого треугольника,1 Герон поступает так. Он считает груз Р помещенным в центре тяжести треугольника, т. е. на медиане, на ¹/₃ ее длины, считая от основания. Этот груз Р он распределяет на оба конца медианы. Получается нагрузка в ¹/₃ Р в вершине и в ²/₃ Р в основании медианы (по закону рычага). Груз в ²/₃ в основании медианы, т. е. в середине основания треугольника, распределяется затем поровну между двумя концами этого основания. На каждое приходится ¹/₃ Р. Получается правильный вывод: каков бы ни был треугольник, подпертый в вершинах, его опоры несут одинаковую нагрузку.