Эллинистическая Греция в годы детства 5 страница

Если принять во внимание гениальность и точность мышления Архимеда, то эти факты явятся лишним подтверждением того, что астрономические занятия Архимеда относятся к самой ранней эпохе его деятельности, еще к его пребыванию в Александрии. Вполне понятно,

Таблица 5. «Улитка». Машина для поливки полей, приводимая в движение рабом-пигмеем. Фреска из Помпей

что Фидий хотел иметь в сыне своего продолжателя и готовил Архимеда в астрономы; для него геометрия была лишь вспомогательной наукой к астрономии. Поэтому Архимед и начал с астрономических занятий, но его природная склонность заставила его очень скоро перейти к другим занятиям — к занятиям механикой.

В самом деле, и в астрономии Архимед выделился прежде всего изобретением сложных механических приборов. О приборе для измерения поперечника Солнца мы уже говорили; гораздо больше славы принесла Архимеду сооруженная им «сфера», т. е. небесный глобус, к описанию которого мы сейчас и переходим.

Цицерон, знакомый Марцелла, правнука того Марцелла, который отдал на разграбление в 212 г. Сиракузы и после убийства Архимеда вывез оттуда сооруженную им «сферу», рассказывает в своей книге «De republica» в тоне непринужденной светской болтовни следующее:

«Я вспоминаю, как я однажды вместе с Гаем Сульпицием Галлом, одним из самых ученых людей нашего отечества,... был в гостях у Марка Марцелла... и Галл попросил его принести знаменитую «сферу», единственный трофей, которым прадед Марцелла пожелал украсить свой дом после взятия Сиракуз, города, полного сокровищ и чудес. Я часто слышал, как рассказывали об этой «сфере», которую считали шедевром Архимеда, и должен признаться, что на первый взгляд я не нашел в ней ничего особенного. Оказалось, что другую «сферу», сде-{65}ланную Архимедом, Марцелл посвятил в храм Добродетели; эта «сфера» была гораздо более популярной и имела гораздо более импозантный вид. Однако, когда Галл начал нам объяснять с бесконечной ученостью всю систему этого прекрасного произведения, я вынужден был придти к выводу, что этот сицилиец обладал гением, которого, казалось бы, человеческая природа не может достигнуть. Галл рассказал нам, что «сфера», подобная той, второй сфере, т. е. в виде сплошного шара, была изобретена впервые Фалесом Милетским, изготовившим ее первую модель; что затем Евдокс Книдский, ученик Платона, изобразил на поверхности «сферы» различные созвездия, утвержденные на небесном своде... Но, прибавил он, для того чтобы изобразить Солнце, Луну и пять светил, которые мы называем блуждающими (планетами), пришлось отказаться от «сферы» в виде сплошного шара, при помощи которого нельзя воспроизвести их движений, и придумать «сферу» совершенно иного типа. Главным чудом в изобретении Архимеда было то искусство, благодаря которому он смог соединить в одной системе и осуществить при помощи одного вращательного движения столь несходные между собою движения и столь различные вращения разных светил. Когда Галл приводил «сферу» в движение, можно было наблюдать, как при каждом обороте Луна уступает место Солнцу на земном горизонте, подобно тому как она уступает ему место ежедневно на небе; как и на небе, можно было наблюдать солнечное затмение, как Луна постепенно погружается в тень Земли...»

Из других свидетельств мы узнаем, что на этой «сфере» можно было наблюдать фазы Луны, движения планет, солнечные и лунные затмения, что она была сделана из меди и приводилась в движение незаметным для глаза двигателем, находившимся внутри «сферы», по-видимому, водяным двигателем. Архимед придавал этому изобретению столь большое значение, что написал недошедшую до нас специальную книгу «Об изготовлении небесной сферы» — единственную книгу по техническим наукам, вышедшую из-под его пера.

Есть и ряд других данных, позволяющих заключить, что на этой ранней стадии развития Архимеда больше всего интересовали вопросы механики. {66}

В пользу этого говорит и общий ход развития его творчества и хронологическая последовательность его произведений.

В самом деле, уже в самом раннем из его математических сочинений 1, в трактате «О квадратуре параболы», имеются ссылки на его работы по механике («О рычагах» и «О равновесии плоскостей»). Поэтому мы имеем полное право утверждать, что уже в период пребывания Архимеда в Александрии его чрезвычайно занимали вопросы механики. Недаром, будучи еще в Египте он изобрел или вернее, усовершенствовал «улитку» (κοχλίας) — замечательную машину для поливки полей, имевшую большое хозяйственное значение в Египте, где дождей почти не бывает и где все сельское хозяйство основано на искусственном орошении. Диодор, писатель I в. до н. э., хорошо знавший Египет, сообщает: «Побережья Нила, заливаемые наводнениями и хорошо орошенные, приносят изобильный и разнообразный урожай. Нил отлагает здесь каждый раз после наводнения новый слой ила, и жители могут легко орошать весь остров при помощи машины, сооруженной Архимедом, которая, вследствие своей формы, носит название улитки».2 Более подробно этот автор касается «улитки» при описании эксплуатации рудников в Испании: «Рудокопы часто наталкиваются на подземные реки; они борются с их быстрым течением, отводя их в наклонные рвы... Поражает то, что им удается вычерпать всю воду до конца при помощи египетских машин, изобретенных Архимедом Сиракузским во время его путешествия в Египет. Они последовательными переливаниями поднимают эту воду до входа в шахту и, сделав шахты {67} сухими, работают там с полным удобством. Эта машина была так гениально построена, что при помощи ее можно было выкачивать огромные массы воды: без труда можно было целую реку извлечь из глубины земли на ее поверхность. Но, разумеется, не только за это одно следует восхищаться гением Архимеда; мы обязаны ему многими другими изобретениями, еще более великими и более знаменитыми во всем мире».

Мы видели уже, с каким резким отрицанием отнесся Платон к тому, что Архит, Евдокс и Менехм позволяли себе применять механические приборы для решения геометрических проблем. Разумеется, с тем бóльшим негодованием и презрением должен был относиться Платон к тому, что философы занимались непосредственно механикой. «Основателями (механики),— говорит Плутарх, повторяя, вероятно, слова Эратосфена,— были Евдокс и Архит, которые дали геометрии более пестрое и интересное содержание, игнорируя ради непосредственно осязаемых и технически важных применений этой науки ее отвлеченные и недоступные графическому изображению проблемы... Платон порицал их за это». Столь же резко отрицательно должен был относиться к механике, судя по всему направлению его научной деятельности, и Аристотель: механика — не наука, а «ремесленный навык» (μπειρία), достойный раба и излишний для философии и познания творца.1 Приписываемое Аристотелю сочинение «Механические проблемы» ему не принадлежит. Однако в этих вопросах ученики Платона и Аристотеля позволяли себе не соглашаться со своими учителями, ибо механика не была запрещена идеалистической философией, подобно атомизму и материализму вообще; в ней видели только времяпрепровождение, может быть, и интересное, но не имеющее ничего общего с настоящей наукой. «После Платона, — сообщает Плутарх, — механика, изгнанная из геометрии, отделилась от нее и долгое время находилась в пренебрежении у теоретической науки, став лишь одной {68} из вспомогательных практических отраслей военного искусства».

В древности, как мы узнаем из комментария Прокла к Евклиду, механика делилась на следующие разделы:

1. ργανοποική — искусство изготовления машин, частью которого является βελοποιικά — искусство изготовления военных машин.

2. Изготовление сфер, т. е. глобусов и моделей, изображавших движения небесных тел.

Этими разделами занимался всю жизнь Архимед.

3. θαυματοποιική — искусством изготовления механических игрушек — Архимед, насколько нам известно, не· занимался вовсе. Но относительно друга Платона — Архита из Тарента, о котором мы уже говорили выше, нам засвидетельствовано, что он изготовил механическую погремушку и механического голубя, сделанного из дерева и умевшего летать. Из дошедшего до нас описания этого механического голубя можно сделать вывод, что Архит знал, что воздух имеет вес и что воздух стремится из места· с большим давлением в место с меньшим давлением. Мы вернемся к этому вопросу, когда будем говорить о гидростатических занятиях Архимеда. Пока отметим, что включение изобретения механических игрушек в систему науки соответствует тому характеру развлечения во время отдыха, который носила механика в это время. Впрочем, эти игрушки играли роль эксперимента в механике.

4. μηχανική в собственном смысле, т. е. теория центров тяжести, рычага, параллелограмма сил и т. д. Можно не сомневаться, что, если не Демокриту, то его ближайшим последователям — атомистам не только было известно, что такое центр тяжести, но они умели и находить его математическим путем. В самом деле, изучая архимедовы теории центров тяжести, мы убеждаемся, что ему не только заранее известно, где должен находиться центр тяжести каждой фигуры, но что применяемый им метод исчерпания представляет собою только перелицованный в новом духе метод неделимых с целью обойти неприемлемые для евдоксовой математики «не очевидные допущения», согласно которым всякая линия, фигура и тело состоят из неделимых частиц. Из этих архимедовых доказательств ясно, что его предшественники, базировавшиеся на меха-{69}нике атомистов, для нахождения центра тяжести параллелограмма разбивали его на «материальные» прямые линии, параллельные одной из боковых сторон; поскольку центр тяжести каждой такой «линии» находится в ее середине, можно считать всю тяжесть такой прямой сосредоточенной в ее середине; тогда центр тяжести всей системы должен находиться на средней линии. Но тот же параллелограмм можно разбить на материальные прямые линии, параллельные другой из его боковых сторон, и точно таким же образом доказать, что центр тяжести должен находиться на средней линии, параллельной другой из сторон параллелограмма; значит, он лежит на пересечении этих двух средних линий.

Точно так же и треугольник разбивался на ряд «материальных» прямых, параллельных основанию; центр тяжести каждой такой «прямой» находится в ее середине, а центр тяжести всего треугольника — на прямой, соединяющей эти середины. Рассуждая так же, как и в предыдущем случае, приходим к выводу, что центр тяжести находится на пересечении медиан; отсюда уже элементарно геометрическим путем не трудно сделать вывод, что он находится на ¹/₃ длины медианы, считая от основания.

Как определяли атомисты самое понятие «центр тяжести», нам не известно. Впервые такое определение мы встречаем в стоической физике начала III в. Стоическая физика носила мало оригинальный, компилятивный характер; поэтому, если мы в стоической физике находим чрезвычайно интересное предвосхищение архимедова учения о центре тяжести, то есть много оснований думать, что стоики просто заимствовали это учение из науки более ранней эпохи. Анализ сообщения героновой «Механики» (1, 24), являющейся нашим единственным источником (I в. н. э), не противоречит этому предположению. Здесь Герон говорит как о своем предшественнике о стоике Посидонии, причем, как видно из общего контекста, Посидоний рассматривается как предшественник Архимеда; поэтому Герон, очевидно, имеет здесь в виду не известного стоика Посидония из Апамеи, учителя Цицерона, а Посидония из Александрии, жившего в начале III в. {70} Вот что говорит Герон: «Стоик Посидоний определил центр тяжести и равновесия при помощи естественного (физического) определения. Он сказал: «Центр тяжести и равновесия есть точка, обладающая таким свойством, что если подвесить в ней тяжесть, то эта тяжесть разделится на две равные части». Поэтому Архимед и его сторонники в механике исследовали частные случаи этого закона и провели различие между точкой подвеса и центром тяжести». Отсюда мы видим, прежде всего, что Посидоний рассматривал еще только тот случай, когда центр тяжести совпадал с точкой опоры, и не заметил, что для равновесия достаточно, чтобы центр тяжести и точка подвеса равновесия находились на одной вертикальной линии; этот недосмотр был исправлен Архимедом.

С другой стороны, необходимо отметить грубую ошибку: вертикальная плоскость, проходящая через центр тяжести, делит тело, по мнению Посидония, не на две уравновешивающие друг друга (ίσορροποντα), а на две равновеликие по весу (σα, σοβαρή) части.

Ошибка, характерная для поверхностного дилетантизма стоической науки1.

Перейдем теперь к принципу рычага.

Рычаг был одним из древнейших орудий, выведших человека из беспомощного первобытного состояния. Этот загадочный механизм, при помощи которого можно малой силой поднимать большой груз, не мог не казаться {71} первобытному человеку чем-то чудесным, сверхъестественным. Человек видел два параллельных ряда явлений: большое плечо рычага, описывающее большую дугу, и малое плечо, описывающее в то же время малую дугу, причем оба сектора, описываемые плечами рычага, подобны друг другу. Эти аналогичные ряды явлений связаны между собою стержнем рычага. Воздействуя на одно плечо рычага, можно вызвать аналогичное действие в другом плече и достигнуть результата, далеко превосходящего человеческие силы.

Отсюда первобытный человек мог сделать и более общий вывод: если мы имеем два аналогичных ряда и свяжем их тем или иным способом между собой, то мы можем, воздействуя на один ряд, вызывать в другом действия, далеко превосходящие человеческие силы. Подобным образом рассуждает австралийский колдун, желая вызвать дождь: он берет два аналогичных явления — тучу и дождь, с одной стороны, кучу известняка, которой придана форма тучи, и струю воды из сосуда — с другой. Между обоими явлениями устанавливается связь при помощи особых формул заклинания. После этого колдун поливает кучу известняка водой, и это, по его мнению, должно вызвать дождь из тучи. Эта первобытная наука носит название симпатической магии.

Учение о рычаге до Архимеда сохраняло ряд черт этой симпатической магии.

Этот наивный примитивный подход к рычагу как к сверхъестественному явлению мы находим еще в «Механических проблемах», т. е. в сочинении, написанном лишь за несколько десятилетий до Архимеда. Это сочинение прежде ошибочно приписывалось Аристотелю; в настоящее время его справедливо считают перипатетической компиляцией эпохи Стратона, когда в учение Аристотеля проник уже ряд атомистических элементов.

Здесь мы читаем: «Из происходящего согласно естественному ходу вещей, в нас вызывает удивление все то, причины чего мы не можем постигнуть. Из того же, что происходит вопреки естественному ходу вещей, нас поражает все то, что создается искусством на благо людей. Ведь во многих случаях природа поступает вопреки нашей пользе. Природные явления всегда происходят по одному и тому же {72} порядку, а полезно для человека один раз одно, другой раз другое. Если же нам нужно выполнить что-либо вопреки естественному ходу вещей, то это оказывается нелегким,. связанным с препятствиями и требующим искусства. Поэтому мы и называем ту часть искусства, которая помогает нам в борьбе с такого рода препятствиями, «ухищрением» (μηχανή). Ведь дело обстоит так, как сказал поэт Антифонт:

Искусством мы природу побеждаем,

Когда она нас хочет победить.

К такого рода удивительным вещам относятся те случаи, когда меньшее берет верх над бóльшим, когда вещь легковесная сама по себе приводит в движение большие тяжести, и все то, что мы называем механикой.

Самым выдающимся из всех вопросов механики: является вопрос о рычаге. Ηа первый взгляд кажется нелепым, чтобы большая тяжесть приводилась в движение малой силой, и при том при помощи еще большего увеличения ее тяжести: ту же тяжесть, которую мы не сможем сдвинуть без помощи рычага, мы сдвинем весьма быстро, если прибавим к этой тяжести еще тяжесть стержня рычага...

Первоначальная причина всех подобных явлений — круг».

Вслед за этим автор дает пространное восторженное рассуждение о чудесных свойствах круга (эти рассуждения, может быть, почерпнуты из магической или полумагической псевдонаучной литературы) и продолжает; «Вот почему нет ничего парадоксального в том, что круг — первопричина всех удивительных явлений. В самом деле, все то, что наблюдается на весах, приводится к кругу, все, что наблюдается в рычаге, приводится к весам, а все, что вообще относится к механическому движению, сводится к рычагу».

Из замечаний Демокрита и Платона видно, что в их время принцип рычага был уже оформлен в виде математической зависимости (равенство моментов). Но характерным пережитком магических представлений и у Демокрита и в «Механических проблемах» является то, что здесь жесткая связь между точками приложения сил и точкой опоры не является непременным условием дейст-{73}вия законов рычага и что основным отправным пунктом древней механики является подобие между секторами, resp. треугольниками, получающимися в результате смещения плеч рычага. В тех же «Механических проблемах» рычаг часто появляется просто как некая магическая, сверхъестественная сила, скрытая позади чуть ли не каждого явления: если автор не может объяснить действия какой-нибудь машины, например блока или клина, он довольствуется голословным заявлением, что здесь скрыт рычаг, не объясняя, как этот рычаг действует.

Мы останавливаемся так подробно на этом вопросе потому, что в истории науки под влиянием идеалистической философии до последних лет преобладала тенденция приписывать создание научной, математически обоснованной механики пифагорейцам, Аристотелю и перипатетикам, сводя на нет роль Архимеда, якобы повинного в простом circulus vitiosus (Мах).

Разберем доводы, выставлявшиеся в защиту этого взгляда.

Уже упомянутый Архит «впервые написал систематический трактат по механике, основанный на математических принципах» (Лаэрций Диоген). Стратон, о котором мы также говорили уже выше, написал книгу «О металлических механизмах». Но отсюда следует только, что эти ученые какие-то механические явления выводили математически из каких-то механических принципов; заключать отсюда, что уже они обосновали математически принцип рычага, никак не возможно. Да это и не вероятно: если бы они дали такое доказательство, то мы нашли бы его в вышедших в III в. «Механических проблемах», тогда как в них мы находим лишь полумагический детский лепет.

Но нам заявляют, что якобы уже Аристотель дал примитивную формулировку закона сохранения энергии и даже принципа возможных перемещений. При этом сваливают в одну кучу и подлинные произведения Аристотеля и позднюю компиляцию — «Механические проблемы». Разберем то и другое отдельно.

У Аристотеля (в сочинении «О небе») содержатся только следующие замечания:

1) «Для равновесия необходимо, чтобы на вес, прило-{74}женный в конце каждого плеча, действовала одна и та же сила» (это можно понять только в том смысле, что силы <sic!>, приложенные к обоим концам рычага, в случае равновесия должны быть равны друг другу — так и понимали Аристотеля в средние века).

2) «Меньший и более легкий вес произведет большее движение, если на него действует та же сила...

Скорость меньшего тела так относится к скорости большего, как большее к меньшему».

Вот и все. Думаю, что отсюда можно сделать только один вывод. Аристотель, как и его предшественники, конечно, знал математическую формулировку принципа рычага, но то, что мы называем моментом, он называл силой. Исходя, далее, из пропорциональности длины плеча скорости движения его конца, он считал силу равной произведению веса (массы) на скорость: mv. Эта неудачная терминология оставалась господствующей: и в средние века; в виде рудимента она сохранилась до наших дней: и в наших учебниках кинетическая энергия mv ²/₂ еще носит название «живой силы». Ни о каком законе сохранения энергии или принципе возможных перемещений здесь не может быть и речи.

Перейдем к «Механическим проблемам». Мы уже видели, что рассуждения автора этого сочинения, которыми он обосновывает принцип рычага, носят магический характер. Такой же характер носит и его другое неудобопонятное доказательство принципа рычага. «Естественное движение относится к естественному, как противоестественное к противоестественному». И для него, как и для Аристотеля, понятие «сила», очевидно, тождественно с нашим понятием «момента». «Под влиянием одной и той же силы больше переместится тот из движущихся грузов, который помещен дальше от точки опоры». Но в этом сочинении есть одно выражение, которое давало исследователям некоторое основание видеть в мнимом Аристотеле предшественника нынешней научной механики: «Всегда, чем больше груз отстоит от точки опоры рычага, тем легче он приведет рычаг в движение; причина: точка, отстоящая дальше от центра, опишет (в равное время) бόльшую дугу». Здесь, если угодно, можно найти в зародыше мысль, что выигрыш {75} в силе уравновешивается проигрышем в пути, а отсюда якобы недалеко до закона сохранения энергии. Но не проще ли полагать, что довольно туго мыслящий автор «Проблем» просто констатирует данный в опыте факт, что одно и то же усилие руки, приложенное к концу одного плеча рычага, поднимет груз, привешенный к концу другого плеча, на расстояние, тем большее, чем длиннее это плечо; а следовательно, чем длиннее плечо, тем легче передвинуть груз на равное расстояние, тем меньшее усилие руки для этого необходимо 1.

Но даже и эту скромную мысль мы не вправе приписать Аристотелю, ибо автор «Механических проблем», как я показал в своей статье «Механика Демокрита», кроме Аристотеля, компилировал самые различные источники, в том числе и атомистические.

Отметим еще, что все авторы, жившие до Архимеда, подходят к рычагу о точки зрения динамики, т. е. изучают неуравновешенный рычаг, рычаг в движении. При младенческом состоянии науки в то время; такой подход не мог дать ничего, кроме путаницы и разочарований.

Прежде чем вернуться к Архимеду, обратим внимание еще на одну характерную особенность до-архимедовой механики. В математических трудах со времени Евдокса всякие инфинитезимальные выкладки были категорически {76} запрещены. Но механика уже со времени Платона была объявлена не наукой, а прикладной, εμπειρία, имеющей целью не «возвысить душу до мира идей и творца», а сообщить определенные практические навыки. Против применения метода бесконечно малых в механике поэтому ничего нельзя было возразить, если только он облегчал усвоение материала и нахождение новых решений. И действительно, как мы видели уже, из архимедова способа нахождения центра тяжести мы можем сделать вывод, что до него центр тяжести находили при помощи атомистического разложения фигуры. Атомистические методы применялись даже в перипатетической механике.

Так в «Механических проблемах» для объяснения того факта, что в водяном вихре все тела уносятся в середину, вихрь разлагается на ряд концентрических «атомных» кругов чрезвычайно малой толщины. Точно так же практический учебник механики Герона Александрийского, составленный приблизительно в I в. н. э., основан, кроме Архимеда, еще на перипатетической (Стратон и др.) и стоической (Посидоний Александрийский) литературе. Поэтому, если мы находим здесь рассуждения, характерные для атомистической науки, то они несомненно имеют непосредственными источниками перипатетические и стоические руководства по механике. Здесь для объяснения действия клина клин разбивается на чрезвычайно большое число атомов-клиньев, имеющих общую вершину с большим клином. Равным образом и удар разбивается на атомы ударов, «наименьшие из всех известных ударов», как выражается Герон.

Прибыв в Александрию, Архимед несомненно набросился на всю эту литературу по теоретической механике, столь близкой его научным устремлениям. Он пришел к выводу, что положения и приемы механики можно применить и для решения тех чисто геометрических задач, которые не могут быть решены способами элементарной геометрии, но для этого необходимо перестроить механику в точную, строго математическую науку, теоремы которой были бы логическим выводом из немногих вполне очевидных предпосылок. И действительно, наиболее оригинальным и дававшим удивительные результаты приемом Архимеда при решении геометрических задач, требующих инфинитези-{77}мальных выкладок, было применение для их решения закона рычага.

В чем секрет этих решений? Всем известна сказка о солдате, который учил скупую бабу варить суп из топора. После того как хозяйка добавила в суп мяса и картошки, он действительно оказался очень вкусным, но топор не разварился и так и лежал на дне кастрюли, его можно было без всякого вреда убрать.

То же было и с архимедовым методом рычага: его нельзя было применять, не разлагая поверхность фигуры на чрезвычайно малые элементы, т. е. без инфинитезимальной процедуры, а если применять запрещенную евдоксовой школой инфинитезимальную процедуру, то можно без труда обойтись и без рычага.

Очевидно дело в том, что в изученной Архимедом математической литературе — у Евдокса, Менехма, Аристея, Евклида и др. — Архимед ни следов инфинитезимальной процедуры не нашел; она была начисто вытравлена, и Архимед не знал даже об ее существовании. Но, изучая низкую, прикладную науку — механику, он встречался с этой процедурой на каждом шагу и видел, к каким блестящим открытиям новых фактов механика приводит — прежде всего при нахождении центров тяжести. Он решил поэтому перенести методы механики в геометрию, не отдавая себе ясного отчета в том, что дело здесь не в механике, а в применяемой ею чисто математической инфинитезимальной процедуре. «Ненаучность» же самой этой процедуры нисколько не пугала Архимеда, ибо основательно пройденная им евклидовская школа научила его в совершенстве искусству превращать в строго математическое доказательство любой вывод, полученный «без научного доказательства на основании недостаточно очевидных предпосылок»; это делалось при помощи метода исчерпания (с применением reductio ad absurdum).

Чтобы читателю стало ясно, как применял Архимед принцип рычага к решению геометрических задач, приведу содержащееся в его письме в Эратосфену (стр. 137) решение задачи о нахождении площади параболического сегмента, которое он здесь рассматривает лишь как предварительное, нуждающееся в подтверждении при помощи строгого доказательства (фиг. 12). {78}

Уже ранее было доказано, что в параболе

E ₁ O ₁ : O ₁ R ₁ = Qq: qO ₁

(1)

и что, следовательно, ЕмR_m = R_mОм, так как QO_m = O_mq.

Фиг. 12

Но

(2)

Qq: qO ₁ = QO: OH ₁,

откуда

(3)

E ₁ O ₁ : O ₁ R ₁ = QO: OH ₁.

Теперь Архимед продолжает QO на отрезок ОА, равный QO; тогда

(4)

Е ₁ О ₁ : О ₁ R ₁ = ОА: OH ₁.

{79}

Поскольку

(5)

E_мR_м = R_мO_м; O ₁ H ₁ = H ₁ E ₁,

имеем

(6)

qO = OE.

Затем Архимед рассматривает прямую AQ, как рычаг, а параболический сегмент qR_мQ и треугольник qEQ как две материальные пластинки, наложенные одна на другую. Для дальнейшего решения он применяет метод математики атомистов, т. е. рассматривает и сегмент qR_мQ и треугольник qEQ как состоящие каждый из чрезвычайно большого числа материальных прямых линий, параллельных qE и плотно прилегающих друг к другу. Из параболической пластинки он вынимает произвольную прямую R ₁ Q ₁ из числа этих материальных прямых и переносит ее в точку А так, чтобы она приняла положение GT и чтобы точка А была ее центром тяжести. Затем он доказывает, что элемент параболического сегмента qR_мQ — прямая O ₁ R ₁, перенесенная в положение GT, — и соответствующий элемент треугольника QEq — прямая О ₁ Е ₁, оставленная на своем месте — взаимно уравновесятся. Для этого.необходимо и достаточно, чтобы плечи АО и OH ₁ рычага АН ₁ были обратно пропорциональны нагрузкам TG и Е ₁ О ₁. Поскольку GT=O ₁ R ₁,из соотношения (4) следует