Уравнения плоскости и прямой в пространстве

В пространстве каждая его точка (рис. 35) представляется тремя декартовыми координатами: абсциссой , ординатой и аппликатой (записывается ). Точка также может быть задана своим радиус-вектором

Рис. 35

,

проведенным из начала координат в эту точку.

Расстояние между точками пространства и

;

координаты середины отрезка :

,

Уравнение вида

или (26)

связывающее координаты , и точек пространства, называется уравнением поверхности , если:

a)

координаты каждой точки поверхности удовлетворяют этому уравнению (рис. 1.36);

b) координаты любой точки, не лежащей на поверхности , неудовлетворяют этому уравнению.

Уравнение (26) в общем случае задает в пространстве некоторое точечное множество, которое может быть и не поверхностью в пространстве.

Пример. Уравнение есть уравнение шара радиуса с центром в точке с координатами ; уравнение не задает ни одной точки в пространстве (его решением является пустое множество).

 

Значения координат , , и , которые удовлетворяют системе уравнений двух поверхностей

определяют линию пересечения этих поверхностей. Если система не имеет решений, то поверхности не пересекаются.

Рис. 37

Уравнение плоскости можно получить следующим образом. Пусть – любой вектор, перпендикулярный данной плоскости (нормальный вектор плоскости), а – точка, через которую плоскость проходит (рис. 37). Любой вектор , проведенный из точки в произвольную точку плоскости , будет перпендикулярен вектору и, следовательно, их скалярное произведение , т. е.

.(27)

Полученное уравнение есть уравнение плоскости, проходящей через заданную точку плоскости перпендикулярно заданному вектору . Оно первой степени относительно декартовых прямоугольных координат (линейно).

Уравнение (27) можно переписать в виде

или (28)

где . Это уравнение также линейно относительно координат и называется общим уравнением плоскости: при , и не равных нулю одновременно оно определяет плоскость с нормальным вектором . Обратно, каждую плоскость можно определить уравнением первой степени относительно декартовых прямоугольных координат вида (28).

 

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно плоскости .

◄ Так как искомая плоскость параллельна плоскости , для нее можно взять в качестве нормального вектора нормальный вектор плоскости : . Величину найдем из условия, что искомая плоскость проходит через точку , т. е. координаты этой точки должны удовлетворять уравнению плоскости: . Окончательно, искомое уравнение плоскости . ►

Особые случаи положения плоскости относительно системы координат, задаваемых общим уравнением (28):

1) плоскость , проходящая через начало координат;

2) плоскость параллельна оси (оси при , оси при );

3) плоскость параллельна координатной плоскости ( при , при );

4) – уравнение координатной плоскости ( – , – ).

Уравнение плоскости в зависимости от решаемой задачи может быть задано в различных формах.

Рис. 38

Плоскость, пересекающая ось в точке , ось в точке и ось в точке (рис. 38) имеет уравнение (уравнение плоскости в отрезках)

. (29)

Рис. 39

Пусть – расстояние плоскости от начала координат (длина перпендикуляра , опущенного из начала координат на плоскость) (рис. 39), , , – направляющие косинусы нормального вектора : , длина , т. к. . Тогда уравнение плоскости имеет вид (нормальное уравнение плоскости)

. (30)

Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , , , не лежащие на одной прямой, имеет вид

. (31)

 

Пример. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки , и .

◄ Подставляя координаты данных точек в формулу (31), будем иметь

. Так как в полученном уравнении плоскости нет слагаемого с координатой , делаем вывод, что она параллельна оси . ►

 

Прямая в пространстве

Система двух линейных уравнений

Рис. 40

(32)

определяет прямую как пересечение двух плоскостей и (рис. 40) при условии, что эти плоскости не параллельны . При (и только в этом случае) прямая проходит через начало координат.

Рис. 1.41

Пример. Рассмотрим систему . Первое уравнение системы задает координатную плоскость , а второе – плоскость, параллельную оси . Пересечение этих плоскостей дает прямую линию, лежащую в координатной плоскости (рис. 41).

Рис. 42

Если прямая проходит через точку параллельно вектору (направляющий вектор прямой), то из условия , где – вектор, проведенный из точки в произвольную точку прямой (рис. 42), получаем канонические уравнения прямой:

(33)

Уравнения прямой, проходящей через две точки и , следуют из (33), если в качестве направляющего вектора прямой взять вектор и одну из двух точек (все равно какую), через которые прямая проходит:

(34)

Направляющий вектор прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей (системой (32)), может быть получен при помощи векторного произведения нормальных векторов и этих двух плоскостей:

. (35)

Обозначив в канонических уравнениях (33) отношение через ( – переменный параметр), получаем параметрические уравнения прямой в пространстве:

(36).

Пример. Составить параметрические уравнения прямой , заданной как пересечение двух плоскостей и : .

◄ Направляющий вектор прямой найдем по формуле (35) при , : =

. Произвольную точку, через которую проходит прямая, можно найти, положив одну из ее координат любому значению и решив затем получающуюся из исходной системы систему двух уравнений с двумя остающимися неизвестными координатами точки. Положив , получаем систему . Решение этой системы: , т. е. прямая проходит через точку с координатами . Подставив эти координаты и координаты направляющего вектора в (36), получаем искомые уравнения прямой: . ►

 

3 Линии (кривые) второго порядка на плоскости