Решение СЛАУ методом Крамера

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными :

Составим из коэффициентов при неизвестных определитель

и назовем его определителем системы. Если , то система имеет единственное решение

() (правило Крамера),

где - определитель, получающийся из при замене элементов k -го столбца соответствующими свободными членами .

Если , а среди есть не равные нулю, то система не имеетрешения.

Пример. Решить методом Крамера систему уравнений

◄ Вычисляем определитель системы: . Система совместна и имеет единственное решение, так как .

Вычисляем вспомогательные определители:

, , .

По формулам Крамера получаем: , , . ►

 

Лекция 1.2 «Векторная алгебра»

Учебные вопросы:

1. Векторы. Координаты вектора

2. Линейные операции над векторами

3. Скалярное и векторное произведение векторов

 

Векторы. Координаты вектора

Векторная величина (вектор) – величина, которая характеризуется не только значением, но и направлением (сила, скорость, ускорение и др.). Скалярная величина (скаляр) – величина, не обладающая направлением (масса, электрический заряд, теплоемкость и др.).

Рис. 1

Геометрически вектор представляется направленным отрезком прямой линии (рис. 1). Вектор обозначается как или (т. – начало, т. – конец вектора). Длина (модуль, норма, абсолютная величина) вектора обозначается или .

Рис. 2

Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой). На рис. 2 векторы , и – коллинеарные; и – однонаправлены, и – противоположно направлены.

Компланарными векторами называются векторы, лежащие в параллельных плоскостях. Если компланарные векторы привести (параллельным перемещением) к общему началу, то они будут лежать в одной плоскости.

Нулевой вектор (нуль-вектор) – вектор, у которого конец и начало совпадают (его модуль ).

Вектор, модуль которого равен 1, называется единичным вектором или ортом.

Два вектора и равны

= ,

если они одинаково направлены и имеют один и тот же модуль ( = ).

Векторы, имеющие равные модули и противоположно направленные, называются противоположными векторами. Вектор, противоположный вектору , обозначается через – ( = ). Из определения противоположного вектора следует –(– )= .

Рис. 3

Ось – прямая, на которой выделено одно из двух ее направлений. Это выделенное направление называется положительным, а противоположное – отрицательным. Ось можно задать любым вектором, лежащим на ней и имеющим то же направление (рис. 3).

Проекция точки на ось есть основание

Рис. 4

перпендикуляра (точка ), опущенного из т. на эту ось (рис. 4).

Компонентой (составляющей) вектора на ось называется вектор , где – проекция начала, а – конца на эту ось (рис. 4.5). Компоненту вектора называют также геометрической проекцией вектора на ось (обозначают ). Если ось задана вектором , то вектор называется также компонентой (геометрической проекцией ) вектора на направление вектора .

Рис. 5

Алгебраической проекцией (просто проекцией) вектора на ось (или на направление вектора ) называется длина вектора (см. рис. 5), взятая со знаком “+”, если вектор имеет то же направление, что и ось , или “–“, если ― противоположное направление. Проекция обозначается или . Для случая, представленного на рис. 5, проекция вектора на ось будет иметь отрицательный знак.

Рис. 6

Декартова прямоугольная система координат в пространстве (3-х мерном) представляет собой три взаимно перпендикулярных оси , и , пересекающихся в начале координат , при заданной единице масштаба для всех трех осей (рис. 6). Название осей: – ось абсцисс, – ось ординат, – ось аппликат.

Декартовы координаты точки есть расстояния ее проекций (рис. 6) на координатные оси от начала координат, взятые со знаком “+”, если проекция лежит по отношению к началу в положительном направлении оси, и со знаком “–“, если ― в отрицательном. Обозначение координат точки: .

Рис. 7

Единичные векторы (орты) , , осей , и соответственно (рис. 4.7) образуют систему базисных векторов (базис (ортонормированный)). Эти единичные векторы попарно перпендикулярны друг другу и носят название базисных векторов.

Координаты вектора есть его алгебраические проекции на оси координат. Если начало вектора совмещено с началом координат (рис. 7), то координатами вектора будут координаты его конца. Запись координат вектора: .

Рис. 8

Если точка является началом вектора , а точка ― его концом (рис. 8), то

, (1)

а его длина (модуль)

. (2)

 

Рис. 9

Направление вектора можно задать углами , , , образуемые положительными направлениями координатных осей , и с вектором (рис. 9). Косинусы этих углов называются направляющими косинусами вектора:

,

, (3)

.

Для этих косинусов справедливо равенство:

. (4)

Пример. Найти длину и направляющие косинусы вектора, проведенного из точки в точку .

◄ По формуле (4.1) находим координаты вектора: . Согласно (2) длина вектора . По формулам (4.3) находим направляющие косинусы: , , . Проводим проверку на основе равенства (4): ►