Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными 
:
Составим из коэффициентов 
при неизвестных определитель
и назовем его определителем системы. Если 
, то система имеет единственное решение
(
) (правило Крамера),
где 
- определитель, получающийся из 
при замене элементов k -го столбца соответствующими свободными членами 
.
Если 
, а среди есть не равные нулю, то система не имеетрешения.
Пример. Решить методом Крамера систему уравнений
◄ Вычисляем определитель системы: 
. Система совместна и имеет единственное решение, так как .
Вычисляем вспомогательные определители:
, 
, 
.
По формулам Крамера получаем: 
, 
, 
. ►
Лекция 1.2 «Векторная алгебра»
Учебные вопросы:
1. Векторы. Координаты вектора
2. Линейные операции над векторами
3. Скалярное и векторное произведение векторов
Векторы. Координаты вектора
Векторная величина (вектор) – величина, которая характеризуется не только значением, но и направлением (сила, скорость, ускорение и др.). Скалярная величина (скаляр) – величина, не обладающая направлением (масса, электрический заряд, теплоемкость и др.).
Геометрически вектор представляется направленным отрезком прямой линии (рис. 1). Вектор обозначается как
или
(т.
– начало, т.
– конец вектора).
Длина (модуль, норма, абсолютная величина) вектора обозначается
или
.
Коллинеарные векторы – векторы, лежащие на параллельных прямых (или на одной и той же прямой). На рис. 2 векторы
,
и
– коллинеарные;
и
– однонаправлены,
и
– противоположно направлены.
Компланарными векторами называются векторы, лежащие в параллельных плоскостях. Если компланарные векторы привести (параллельным перемещением) к общему началу, то они будут лежать в одной плоскости.
Нулевой вектор (нуль-вектор) 
– вектор, у которого конец и начало совпадают (его модуль 
).
Вектор, модуль которого равен 1, называется единичным вектором или ортом.
Два вектора и равны
= ,
если они одинаково направлены и имеют один и тот же модуль ( = 
).
Векторы, имеющие равные модули и противоположно направленные, называются противоположными векторами. Вектор, противоположный вектору , обозначается через – ( = 
). Из определения противоположного вектора следует –(– )= .
Ось – прямая, на которой выделено одно из двух ее направлений. Это выделенное направление называется положительным, а противоположное – отрицательным. Ось
можно задать любым вектором, лежащим на ней и имеющим то же направление (рис. 3).
Проекция точки 
на ось есть основание
перпендикуляра
(точка
), опущенного из т.
на эту ось (рис. 4).
Компонентой (составляющей) вектора на ось называется вектор 
, где 
– проекция начала, а 
– конца на эту ось (рис. 4.5). Компоненту вектора называют также геометрической проекцией вектора на ось (обозначают 
). Если ось задана вектором , то вектор называется также компонентой (геометрической проекцией 
) вектора на направление вектора .
Алгебраической проекцией (просто
проекцией) вектора
на ось (или
на направление вектора ) называется длина вектора
(см. рис. 5), взятая со знаком “+”, если вектор
имеет то же направление, что и ось
, или “–“, если ― противоположное направление. Проекция обозначается
или
. Для случая, представленного на рис. 5, проекция вектора
на ось
будет иметь отрицательный знак.
Декартова прямоугольная система координат в пространстве (3-х мерном) представляет собой три взаимно перпендикулярных оси
,
и
, пересекающихся в начале координат
, при заданной единице масштаба для всех трех осей (рис. 6). Название осей:
– ось
абсцисс,
– ось
ординат,
– ось
аппликат.
Декартовы координаты точки 
есть расстояния ее проекций 
(рис. 6) на координатные оси от начала координат, взятые со знаком “+”, если проекция лежит по отношению к началу в положительном направлении оси, и со знаком “–“, если ― в отрицательном. Обозначение координат точки: 
.
Единичные векторы (орты)
,
,
осей
,
и
соответственно (рис. 4.7) образуют
систему базисных векторов (базис (ортонормированный)). Эти единичные векторы попарно перпендикулярны друг другу и носят название
базисных векторов.
Координаты вектора 
есть его алгебраические проекции на оси координат. Если начало вектора совмещено с началом координат (рис. 7), то координатами вектора будут координаты его конца. Запись координат вектора: 
.
Если точка
является началом вектора
, а точка
― его концом (рис. 8), то
, (1)
а его длина (модуль)
. (2)
Направление вектора можно задать углами
,
,
, образуемые положительными направлениями координатных осей
,
и
с вектором
(рис. 9). Косинусы этих углов называются
направляющими косинусами вектора:
,
, (3)
.
Для этих косинусов справедливо равенство:
. (4)
Пример. Найти длину и направляющие косинусы вектора, проведенного из точки 
в точку 
.
◄ По формуле (4.1) находим координаты вектора: 
. Согласно (2) длина вектора 
. По формулам (4.3) находим направляющие косинусы: 
, 
, 
. Проводим проверку на основе равенства (4): 
►
