Основные операции над матрицами

Составил: Лебедев В. Н.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

ПО КУРСУ МАТЕМАТИКИ

Направление подготовки

030300.62 «Психология»

Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр

Казань - 2013

Тема 1 Линейная алгебра с элементами аналитической геометрии

Лекция 1.1 «Матрицы и операции над ними. Системы линейных алгебраических уравнений»

Учебные вопросы:

1. Матрицы. Основные операции над матрицами

2. Определители и их свойства. Обратная матрица

3. Системы линейных алгебраических уравнений. Решение СЛАУ методами обратной матрицы и Крамера

Матрицы. Основные операции над матрицами

Таблицу

называют (прямоугольной) матрицей размера . Элементы называются элементами матрицы; элемент расположен в -й строке и в -м столбце матрицы; есть число строк, а –число столбцов.

Пример. Матрица имеет размер , 2 строки и 3 столбца.

Если в матрице число строк равняется числу столбцов (матрица размера ), то матрицу называют квадратной матрицей порядка . Квадратная матрица =() называется:

симметричной относительно главной диагонали, если = ;

диагональной, если =0 при (все элементы, не стоящие на главной диагонали, равны нулю);

треугольной (наддиагональной), если =0 при (все элементы, стоящие ниже главной диагонали, равны нулю);

строго треугольной, если =0 при (все элементы, стоящие на главной диагонали и ниже ее, равны нулю).

Пример. Матрица - квадратная 3-го порядка; матрица

- симметричная относительно главной диагонали; матрица - диагональная; матрица - треугольная (наддиагональная); матрица - строго треугольная.

Единичной матрицей называется диагональная матрица с единичными диагональными элементами:

, где

Пример. Матрица - единичная матрица 2-го порядка.

Матрица размера

называется столбцом, а матрица размера

– строчкой.

Нулевой матрицей размера называется матрица этого размера, все элементы которой равны нулю.

Пример. Матрица - нулевая матрица размера .

Матрицей, транспонированной по отношению к матрице =() размера , называется матрица =() размера (столбцы матрицы являются строками матрицы с теми же номерами).

Пример. Пусть . Транспонированной матрицей будет

Основные операции над матрицами

Две матрицы =() и =() равны друг другу, если они одинакового размера и их соответствующие элементы равны, т. е.

если

для всех и .

Сумма двух матриц =() и =() размера есть матрица =() размера , у которой элементы являются суммой соответствующих элементов матриц слагаемых, т. е.

если

= +

для всех и .

Произведение матрицы =() размера на число есть матрица размера , у которой элементы равны соответствующим элементам матрицы , умноженным на :

= ()=( ).

Пример. Даны матрицы и . Найти матрицу .

◄ = = =

= = . ►

Вычитание матриц можно выполнять либо вычитанием соответствующих элементов матриц, либо, как в приведенном примере, через прибавление противоположной матрицы – (– ):

= .

Произведение матрицы =() размера на матрицу =() размера есть матрица =() размера

() () (),

где

= .

Таким образом, элемент матрицы есть сумма произведений элементов -й строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы . В каждом произведении матриц форма матриц и должна быть согласованной: число столбцов матрицы должно равняться числу строк матрицы . Из существования произведения вовсе не следует существование произведения .Если существуют оба произведения и (это, в частности, будет всегда, если и – квадратные матрицы одного порядка), то, вообще говоря, .