Понятие функции. Основные свойства функций

Постоянная величина – это величина, сохраняющая одно и то же значение. Если величина сохраняет постоянное значение лишь в условиях данного процесса, то она называется параметром.

Переменная – это величина, которая может принимать различные числовые значения.

Пусть Х и Y – некоторые числовые множества и пусть указано правило, по которому каждому элементу х множества Х поставлено в соответствие единственное значение у из множества Y. Это соответствие называется функцией и обозначается . Переменная х называется независимой или аргументом, переменная у – зависимой или функцией. Множество Х называется областью определения функции и обозначается D (f). Множество Y (множество всех значений, которые принимает переменная у) называется областью изменения (областью значений) функции и обозначается E (f).

Две функции называются равными, если они имеют одинаковые области определения и каждому значению аргумента они ставят в соответствие одно и тоже число.

Наиболее распространенный способ задания функции – аналитический, то есть с помощью формулы. Например, функцию, ставящую в соответствие каждому неотрицательному числу х его квадратный корень, можно записать в виде или . Этот способ задания функции компактен, содержит полную информацию о свойствах функции и наиболее удобен при проведении расчетов. Если не сделано специальной оговорки, то за область определения функции берут все значения аргумента, для которых указанные в формуле действия выполнимы. Например, область определения функции все неотрицательные значения х, то есть , а для функции – область определения все действительные значения х, кроме , то есть D (g) = ¡\{2}.

Иногда для разных значений х функция задается разными формулами. В этом случае используют обозначение: , причем . График такой функции состоит из n частей.

На практике часто используют табличный способ задания функции. При этом способе задания функции приводится таблица, в которой для имеющихся значений аргумента указываются соответствующие значения функции. Табличный способ важен потому, что он является основным при описании реальных зависимостей, возникающих при проведении различных экспериментов. С математической точки зрения табличное задание функции неполно, так как оно позволяет найти значение функции только для тех значений аргумента, которые заданы в таблице. Однако оно позволяет высказать предположение об аналитическом представлении функции, и, применяя различные методы приближенных вычислений, найти это представление.

Рассмотрим декартову систему координат на плоскости. Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют условию , называется графиком функции y = f (x). Графическое представление функции удобно для непосредственного восприятия ее особенностей, описания свойств. Однако графический способ неудобен при выполнении расчетов.

Сложная функция

Познакомимся с понятием суперпозиции функций, которое состоит в том, что в качестве аргумента одной функции используется другая функция. Полученная в результате суперпозиции функция называется сложной функцией. Записывается сложная функция следующим образом: . Например: , . Тогда сложная функция . Чтобы найти значение сложной функции, подставляют сначала заданное значение во внутреннюю функцию и находят ее значение , а затем уже вычисляют соответствующее значение функции .

При выполнении суперпозиции функций считают, что множество значений внутренней функции содержится в области определения внешней функции .

Сложную функцию можно составить из большего числа более простых функций.

 

Пример. Сложную функцию представить в виде цепочки элементарных функций.

◄ Будем последовательно выполнять операции, которые заданы в формуле: , , . Следовательно, заданная в условии задачи функция является суперпозицией трех основных элементарных функций. ►

 

Пример. Даны функции . Записать сложную функцию .

◄ Подставляя последовательно функции одну в другую, получим сложную функцию .►

Обратная функция

Пусть функция , определенная на множестве Х, такова, что любым двум различным значениям аргумента х ставит в соответствие различные значения у, то есть, если , то . Эта функция устанавливает взаимнооднозначное соответствие между областью своего определения Х и областью изменения Y.

Действительно, каждой точке ставится в соответствие единственное . При этом каждой точке соответствует единственное , такое, что . Таким образом, на множестве Y определена функция , которая называется обратной к функции f. Область определения обратной функции – множество Y, область значений – множество Х. Графики функции и обратной к ней функции симметричны относительно прямой (рис. 4). Для обратных функций верно соотношение .

Для нахождения обратной функции необходимо из равенства выразить х через у, и в полученном выражении букву х заменить буквой у, букву у – буквой х.

Пример. Имеют ли функции и обратные? Если да, то найти их.

◄ Выразим х из формулы . Получим . Обозначив аргумент через х, а функцию через у, получим , то есть функция является обратной к функции .

Функция не имеет обратной, так как она не является взаимнооднозначной. Действительно, . ►

Основные свойства функций:

Функция называется монотонно возрастающей на множестве , если для любой пары точек из условия следует, что , то есть большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Функция называется монотонно убывающей на множестве , если для любой пары точек из условия следует, что , то есть большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Монотонно возрастающие и монотонно убывающие функции называют монотонными.

Монотонные функции обладают следующими свойствами:

1) сумма двух монотонно возрастающих (монотонно убывающих) функций является монотонно возрастающей (монотонно убывающей) функцией;

2) произведение двух положительных монотонно возрастающих (монотонно убывающих) функций является монотонно возрастающей (монотонно убывающей) функцией;

3) если функция монотонно возрастающая (монотонно убывающая), то функция монотонно убывающая (монотонно возрастающая);

4) если положительная функция является монотонно возрастающей (монотонно убывающей), то функция является монотонно убывающей (монотонно возрастающей);

5) если функция монотонная, то она имеет обратную функцию.

Функция называется ограниченной сверху на множестве , если существует такое число М, что значение функции в любой точке не превосходит этого числа, то есть для любого выполняется неравенство .

Функция называется ограниченной снизу на множестве , если существует такое число m, что значение функции в любой точке не меньше этого числа, то есть для любого выполняется неравенство .

Ограниченная сверху и снизу на множестве Х функция называется ограниченной на этом множестве. Другими словами, если функция ограничена на множестве Х, то существуют такие числа m и М, что для всех . Условие ограниченности можно также записать в виде для некоторого положительного числа М.

Точка называется точкой максимума функции , если существует окрестность этой точки такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство .

Точка называется точкой минимума функции , если существует окрестность этой точки такая, что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума называют точками экстремума функции.

Заметим, что функция в области своего определения может иметь несколько точек максимума или минимума.

Будем говорить, что в точке функция принимает наибольшее на множестве Х значение, если для всех точек справедливо неравенство .

Будем говорить, что в точке функция принимает наименьшее на множестве Х значение, если для всех точек справедливо неравенство .

Если множество Х представляет собой отрезок [ a; b ], то наибольшее и наименьшее значения функция принимает либо в точке экстремума, либо на конце отрезка.

Говорят, что множество Х симметрично относительно началакоординат, если для любой точки противоположная точка .

Функция называется четной, если ее область определения симметрична относительно начала координат, и для любого .

Функция называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно начала координат, и для любого .

График четной функции имеет ось симметрии: так как точки и принадлежат графику функции, то он симметричен относительно оси ординат. График нечетной функции имеет центр симметрии: так как точки и принадлежат графику функции, то он симметричен относительно начала координат.

Четные и нечетные функции обладают следующими свойствами:

1) сумма двух четных (нечетных) функций есть функция четная (нечетная);

2) произведение двух четных (нечетных) функций есть функция четная; произведение четной и нечетной функций есть функция нечетная;

3) если нечетная функция определена в нуле, то ;

4) всякая функция, определенная на множестве Х, симметричном относительно начала координат может быть представлена в виде суммы двух функций, определенных на Х, причем одна из этих функций является четной, а другая – нечетной.

Функция называется периодической, если существует такое число , что для любого точка и справедливо равенство .

Наименьшее из чисел Т называют периодом. Периодическая функция имеет бесконечно много периодов, все они кратны числу Т.