Деконструкция Бенджамина Баттона

Вторую главу мы открыли несколькими литературными примерами необычной

стрелы времени — это были истории о людях или вещах, для которых время

текло в обратную сторону. В «Стреле времени» у повествователя были вос-

поминания о будущем, но не о прошлом; Белая Королева чувствовала боль от

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

укола еще до того, как булавка касалась ее пальца; а главный герой «Загадочной

истории Бенджамина Баттона» Фрэнсиса Скотта Фицджеральда становился

моложе с течением времени, хотя воспоминания и опыт у него накапливались

обычным образом, как у всех остальных людей. Теперь у нас есть инструменты,

благодаря которым мы можем обоснованно доказать, что ничего подобного

в реальном мире никогда не произойдет.

Если фундаментальные законы физики обратимы, то, зная точное состояние

всей Вселенной (или любой другой замкнутой системы) в произвольный момент

времени, мы с помощью этих законов можем определить, в каком состоянии

она окажется в любой момент в будущем или какой она была в любой момент

в прошлом. Обычно в качестве точки отсчета выбирают «начальный» момент

времени, но это, в принципе, может быть и любое другое мгновение. Более

того, в текущем контексте, когда нас больше всего волнуют стрелы времени,

указывающие во всевозможных направлениях, одного начального момента

времени для всего сущего мы и вовсе не найдем. Итак, вот что нам интересно:

почему настолько сложно, а то и вовсе невозможно найти состояние Вселенной,

обладающее интересующим нас свойством — чтобы по мере нашей эволюции

вперед во времени в некоторых ее частях энтропия увеличивалась, а в других

уменьшалась?

На первый взгляд кажется, что это элементарно. Возьмите два контейнера

с молекулами газа. Создайте в одном из них состояние с низкой энтропией, как

в левом верхнем углу на рис. 8.6. Как только молекулы начинают движение, их

энтропия возрастает, как и ожидалось. Второй контейнер мы возьмем в со-

стоянии с высокой энтропией, которое получилось из состояния с низкой

энтропией в результате временной эволюции. Изменим скорости всех содер-

жащихся в нем молекул на противоположные, как в левом нижнем кадре на том

же рисунке. Таким образом, во втором контейнере все будет готово для того,

чтобы энтропия начала со временем уменьшаться. Итак, начиная с мгновения,

когда вы завершили подготовку, в двух контейнерах энтропия будет меняться

в противоположных направлениях.

Однако нам нужно больше. Совсем не интересно наблюдать, как жизнь

протекает вдоль разнонаправленных стрел времени в двух не связанных друг

с другом мирах. Мы хотим воспроизвести это состояние во взаимодейству-

ющих системах — таких, которые способны каким-то образом общаться друг

с другом.

И это все изменяет.15 Представьте себе, что мы взяли эти два контейнера:

в одном все готово к увеличению энтропии, а во втором — к ее уменьшению.

После этого добавим крошечное взаимодействие: скажем, несколько протонов,

 

Глава 8. Энтропия и беспорядок

 

 

 

Рис. 8.6. На верхних рисунках мы видим обычное поведение молекул в контейнере, которые

из начального состояния с низкой энтропией переходят в конечное высокоэнтропийное

состояние. На нижних рисунках мы обратили импульсы всех частиц из финального состоя-

ния верхней строки, для того чтобы пустить эволюцию в обратную сторону и добиться

снижения энтропии

 

летающих туда и сюда между двумя контейнерами. Столкнувшись с молекула-

ми в одном контейнере, они будут перелетать в другой, отталкиваться там от

новых молекул и т. д. Определенно, тело Бенджамина Баттона взаимодейство-

вало с окружающим миром куда сильнее (так же, как Белая Королева и пове-

ствователь в «Стреле времени» Мартина Эмиса).

Это небольшое взаимодействие приведет к легкому изменению скоростей

тех молекул, с которыми доведется столкнуться протонам (импульс сохраня-

ется, поэтому других вариантов быть не может). Для контейнера, где энтропия

изначально была низкой, это не представляет никакой проблемы, так как для

того, чтобы заставить энтропию расти, специальной тонкой настройки прово-

дить не нужно. Однако это полностью разрушает нашу попытку создать во

втором контейнере условия, при которых энтропия смогла бы уменьшиться.

Даже самое незначительное изменение скорости очень быстро распростра-

нится на весь объем газа: одна столкнувшаяся с протоном молекула ударит

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

другую, та, в свою очередь, врежется еще в пару и т. д. Для того чтобы энтропия

в контейнере с газом стала волшебным образом уменьшаться, направления

скоростей всех молекул должны быть точно согласованы, и любое дополни-

тельное взаимодействие нарушит это хрупкое согласие. В первом контейнере

энтропия будет вполне ожидаемо возрастать, а во втором она как была высокой,

так высокой и останется — по сути, эта подсистема будет пребывать в равно-

весном состоянии. Во взаимодействующих подсистемах Вселенной не могут

существовать несовместимые стрелы времени.16

 

Энтропия как беспорядок

Мы часто говорим, что энтропия — мера беспорядка. Это всего лишь удобный

перевод очень специфического понятия на простой человеческий язык — аб-

солютно адекватный на первый взгляд, но таящий пару неточностей, которые

при определенных обстоятельствах могут всплыть на поверхность. Теперь,

когда нам известно настоящее определение энтропии, данное Больцманом, мы

можем проверить, насколько близка к истине эта неформальная идея.

Вопрос в том, что следует понимать под «порядком». В отличие от энтро-

пии, порядок — не такое понятие, которому можно с легкостью дать строгое

определение. В голове мы ассоциируем «порядок» с целенаправленным рас-

положением объектов тем или иным способом в отличие от состояния хаоса.

Действительно, обсуждая энтропию, мы использовали очень похожие выраже-

ния. Неразбитое яйцо кажется нам более упорядоченным, чем яйцо, вылитое

в чашку и взбитое до однородного состояния.

Энтропия кажется естественным образом связанной с понятием беспоряд-

ка, потому что чаще всего путей создания беспорядка больше, чем путей упо-

рядочения объектов. Классический пример роста энтропии — распределение

документов на рабочем столе. Вы складываете их в аккуратные стопки — при-

водите в порядок, в состояние с низкой энтропией, но со временем они рас-

ползаются по столу — порядок утерян, энтропия возросла. Конечно, ваш стол

нельзя назвать замкнутой системой, но основная идея, думаю, понятна.

С другой стороны, если слишком налегать на ассоциации, можно опроверг-

нуть свои же идеи. Взять, например, молекулы воздуха в комнате, где вы сидите

прямо сейчас. Скорее всего, они равномерно распределены по всему объему

помещения и образуют высокоэнтропийную конфигурацию. Теперь пред-

ставьте себе, что все молекулы собрались в центре комнаты в небольшой об-

ласти всего лишь в несколько сантиметров шириной и к тому же выстроились

в фигуру, повторяющую Статую Свободы, только в миниатюрном варианте.

 

Глава 8. Энтропия и беспорядок

 

 

Неудивительно, что энтропия такой конфигурации намного ниже, и все со-

гласятся, что порядка в ней намного больше. Но попробуем зайти еще дальше:

пусть газ сожмется еще сильнее и соберется в крохотную аморфную кляксу

диаметром не больше одного миллиметра. Поскольку область пространства,

в которой теперь сконцентрирован весь газ, стала еще меньше, энтропия новой

конфигурации также уменьшилась по сравнению с конфигурацией «Статуя

Свободы» (расположить молекулы так, чтобы они образовали статуэтку

среднего размера, можно куда большим числом способов, чем собрать их в очень

маленькую кляксу). Однако вряд ли кто-то будет утверждать, что аморфная

клякса более «упорядочена», чем копия знаменитого памятника, даже если эта

клякса действительно крайне мала. Получается, что в данном случае корреляция

между упорядоченностью и малой энтропией отсутствует, так что нам следует

быть более осторожными с выбором примеров.

Этот пример кажется несколько надуманным, и действительно, совсем не

нужно так изощряться, чтобы опровергнуть утверждение об эквивалентности

энтропии и беспорядка. Продолжая серию кухонных примеров, рассмотрим

масло и уксус. Если вы смешаете эти два ингредиента в чашке, готовя заправку

для салата, а затем отставите посудину в сторону, то заметите, что смесь очень

быстро перестает быть однородной — масло отделяется от уксуса. Не бойтесь,

это не означает, что салатная заправка способна нарушить второе начало тер-

модинамики. Уксус в основном состоит из воды, а молекулы воды прилипают

к молекулам масла, и, в силу определенных химических свойств масла и воды,

они способны образовывать при этом лишь строго определенные конфигура-

ции. Таким образом, когда вы тщательно перемешиваете масло с водой (или

с уксусом), молекулы воды прилипают к молекулам масла в очень специальных

конфигурациях, соответствующих состоянию с относительно низкой энтро-

пией. Когда же две субстанции по большей части разделены, отдельные моле-

кулы получают возможность свободно перемещаться между другими молеку-

лами того же типа. При комнатной температуре это приводит к тому, что

у масла с водой энтропия выше в конфигурации, когда они разделены, а не

когда их старательно перемешали.17 Порядок спонтанно возникает на макро-

скопическом уровне, но по сути — на микроскопическом уровне — это ба-

нальнейший беспорядок.

В по-настоящему больших системах все еще сложнее. Давайте перейдем от

газа, содержащегося в одном небольшом помещении, к облаку газа и пыли

астрономических масштабов — скажем, галактической туманности. Она про-

изводит впечатление весьма хаотичного и высокоэнтропийного объекта. Од-

нако если размер туманности достаточно велик, она начинает сжиматься под

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

давлением собственной гравитации, в результате чего формируется звезда —

возможно, даже с вращающимися вокруг нее планетами. Поскольку этот процесс

подчиняется второму началу термодинамики, мы можем быть уверены в том,

что в конце него энтропия выше, чем была в начале (мы старательно учитываем

все порожденное коллапсом излучение и другие побочные эффекты). Но звез-

да с несколькими планетами кажется, по крайней мере с неформальной точки

зрения, более упорядоченной системой, чем рассредоточенное межзвездное

облако газа. Энтропия увеличилась, но точно так же возросла степень упоря-

доченности.

Хитрость в данном случае в гравитации. Можно бесконечно говорить о том,

как гравитация в пух и прах разносит наше бытовое понимание энтропии, но

достаточно будет заметить, что взаимодействие гравитации с другими силами

обладает чудесной способностью создавать порядок, одновременно, тем не

менее, повышая энтропию — хотя бы и временно. Это великолепная подсказ-

ка, дающая понять, как работает Вселенная; жаль только, что пока наших знаний

недостаточно для того, чтобы ею воспользоваться.

Пока давайте просто запомним, что связка «энтропия — беспорядок» не

идеальна. В этом нет ничего страшного, и мы можем продолжать неформально

объяснять понятие энтропии на примере захламленного рабочего стола. Од-

нако что в действительности сообщает нам энтропия, так это сколько микро-

состояний с макроскопической точки зрения кажутся нам неразличимыми.

Иногда это напрямую связано с порядком, а иногда нет.

 

Принцип безразличия

С больцмановским подходом ко второму началу термодинамики связаны еще

два надоедливых вопроса, которые не мешало бы прояснить или, по крайней

мере, о которых стоит упомянуть. Итак, у нас есть огромный набор микросо-

стояний, который мы подразделяем на макросостояния, и мы объявляем, что

энтропия равна логарифму числа микросостояний в данном макросостоянии.

Теперь нам предлагают добавить еще один существенный факт — предполо-

жение о том, что все микросостояния, отвечающие одному и тому же макро-

состоянию, «равновероятны».

Следуя по цепочке рассуждений Больцмана, логично было бы утверждать,

что причина возрастания энтропии со временем кроется всего-навсего в коли-

честве микросостояний: куда больше микросостояний образуют макрососто-

яния с высокой энтропией, чем с низкой. Однако это утверждение не имело бы

никакого смысла, если бы типичная система проводила намного больше вре-

 

Глава 8. Энтропия и беспорядок

 

 

мени в низкоэнтропийных микросостояниях (а их относительно немного), чем

в высокоэнтропийных (которых гораздо больше). Представьте себе, будто

у микроскопических законов физики появилось новое свойство: почти все

высокоэнтропийные состояния естественным образом переходят в одно из

немногих низкоэнтропийных состояний. В таком случае тот факт, что состоя-

ний с высокой энтропией больше, не играл бы совершенно никакой роли; мы

все равно знали бы, что если подождать достаточно долго, то энтропия в систе-

ме понизится.

Несложно вообразить мир с подобными безумными законами физики.

Давайте еще раз вернемся к бильярдному столу с катающимися по нему шара-

ми. Шары перемещаются по столу совершенно обычным образом, за одним

важным исключением: каждый раз, когда шар врезается в какой-то один бортик

стола, он мгновенно к нему прилипает. (Мы предполагаем, что в нашем мыс-

ленном эксперименте нет злоумышленника, намазавшего бортик клеем, или

еще чего-то подобного, демонстрирующего, тем не менее, обратимое поведение

на микроскопическом уровне, — в данном случае мы вводим совершенно новый

фундаментальный закон физики.) Обратите внимание на то, что пространство

состояний этих бильярдных шаров абсолютно такое же, каким оно было бы

в традиционном мире: зная положение и импульс каждого шара, мы можем

с идеальной точностью предсказать их будущее. Тонкость лишь в том, что

с громадной вероятностью в конце эволюции этой системы все шары будут

находиться возле одного из бортиков. Энтропия такой конфигурации чрезвы-

чайно низка; подобных микросостояний совсем немного. В таком мире энтро-

пия могла бы спонтанно уменьшиться даже в замкнутой системе, такой как

бильярдный стол.

Совершенно очевидно, что в этом примере, хоть и притянутом за уши,

фигурирует новшество: необратимый закон физики. А сама система очень на-

поминает шахматную доску D из предыдущей главы: там диагональные линии

серых квадратиков обрывались после соприкосновения с одним из вертикаль-

ных столбцов. Информации о положениях и импульсах всех шаров на этом

забавном столе достаточно для того, чтобы предсказывать будущее, но восста-

новить прошлое она не позволит. Увидев шар, лежащий рядом с бортиком, мы

уже не сможем узнать, как долго он там находится.

Реальные же законы физики на фундаментальном уровне обратимы. И если

вдуматься, это их свойство гарантирует, что высокоэнтропийные состояния

не будут стремиться переходить в состояния с низкой энтропией. Как вы пом-

ните, основа обратимости — сохранение информации. Информация, необхо-

димая для описания конкретного состояния, сохраняется, несмотря на то что

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

система движется, меняясь с течением времени. Это означает, что два разных

состояния с течением времени всегда переходят в два разных состояния; если

бы в будущем они приходили в какое-то одно состояние, то мы не могли бы

восстановить прошлое этого состояния. Поэтому совершенно невозможно,

чтобы все высокоэнтропийные состояния стремились в низкоэнтропийные:

состояний с низкой энтропией просто-напросто слишком мало, для того чтобы

это было реально. Данный результат называется теоремой Лиувилля в честь

французского математика Жозефа Лиувилля.

Это почти то, что нам нужно, но не совсем. И, как это часто случается, мы

хотим того, что вряд ли сможем в действительности получить. Предположим,

что у нас есть какая-то система, мы знаем, в каком макросостоянии она на-

ходится, и хотели бы сделать какие-то предсказания относительно ее будуще-

го. Пусть это будет, например, стакан воды с плавающим в ней кубиком льда.

Согласно теореме Лиувилля, большинство микросостояний этого макросо-

стояния будут стремиться к увеличению (либо сохранению) энтропии. То

же самое говорит нам второе начало термодинамики: кубик льда, скорее

всего, растает. Однако система находится ровно в одном конкретном микро-

состоянии, даже если мы не знаем точно, в каком. Можем ли мы быть увере-

ны, что это не одно из того крошечного набора микросостояний, в которых

энтропия способна в любое мгновение внезапно уменьшиться? Как гаранти-

ровать, что кубик льда не увеличится, одновременно нагрев окружающую

его воду?

Ответ прост: никак. В макросостоянии «вода с кубиком льда» обязательно

присутствует какое-то конкретное, очень редкое микросостояние, которое

действительно будет эволюционировать по направлению к микросостоянию

с меньшей энтропией. Статистическая механика (основанная на атомах версия

термодинамики), по сути, наука вероятностная: нам неизвестно, что в точности

произойдет; мы можем лишь утверждать, что вероятность определенных со-

бытий наиболее высока. По крайней мере, нам хотелось бы иметь возможность

делать такие утверждения. В действительности же мы можем говорить лишь

о том, что большинство состояний с небольшой энтропией будут развиваться

в сторону увеличения, а не уменьшения энтропии. Вы обратили внимание на

тонкое различие между «большинство микросостояний данного макрососто-

яния развиваются в сторону увеличения энтропии» и «принадлежащее дан-

ному макросостоянию микросостояние с большой вероятностью будет раз-

виваться в сторону увеличения энтропии»? Первое утверждение — это всего

лишь подсчет относительного числа микросостояний, обладающих разными

свойствами («кубик льда тает» или «кубик льда растет»), однако во втором

 

Глава 8. Энтропия и беспорядок

 

 

мы уже делаем заявление о вероятности какого-то события в реальном мире.

Это не одно и то же. В мире больше китайцев, чем литовцев; однако это не

означает, что вы с большей вероятностью столкнетесь с китайцем, чем с литов-

цем, прогуливаясь по улицам Вильнюса.

Другими словами, традиционная статистическая механика основывается

на критически важном допущении: если мы находимся в определенном макро-

состоянии и знаем полный набор составляющих его микросостояний, мы можем

предполагать, что все эти микросостояния одинаково вероятны. В любых по-

добных рассуждениях допущения неизбежны, потому что без их помощи нам

никак не перейти от банального подсчета количества состояний к точному

вычислению вероятностей. У предположения о равной вероятности есть на-

звание, которое также отлично подошло бы в качестве заглавия для стратегии

поиска спутника жизни, особенно если вы человек эмоциональный: «принцип

безразличия». Впервые оно прозвучало в контексте теории вероятностей за-

долго до того, как на сцене появилась статистическая механика, и озвучил его

наш старый друг Пьер-Симон Лаплас. Он был упертым детерминистом, одна-

ко, как и любой другой человек, понимал, что чаще всего нам приходится

оперировать далеко не всеобъемлющими наборами фактов. Тем не менее ему

было интересно, какие выводы человек способен делать в ситуациях неполной

информированности.

Так вот, чаще всего лучшее из всего, что мы можем предпринять, — при-

менить принцип безразличия. Если нам не известно ничего, кроме того, что

система находится в определенном макросостоянии, мы предполагаем, что

все образующие его микросостояния одинаково вероятны (не забывая, од-

нако, об одном принципиальном исключении, которое называется гипотезой

о прошлом, — о нем мы поговорим в конце главы). Было бы очень здорово,

если бы у нас была возможность доказать истинность данного предположе-

ния, — и действительно, многие люди пытались это сделать. Например, если

бы система в процессе своего движения проходила через все возможные

микросостояния (или по крайней мере через достаточно большой их набор,

почти полностью охватывающий все возможные микросостояния) за разум-

ный промежуток времени, то у нас были бы определенные основания считать

все микросостояния одинаково вероятными. Система, посещающая каждое

(или почти каждое) состояние в своем пространстве состояний и, таким об-

разом, перебирающая все (или почти все) возможные исходы, называется

эргодической. Проблема в том, что даже если система действительно является

эргодической (а таковыми являются далеко не все системы), ей потребовалась

бы целая вечность, чтобы пройти вблизи всех своих микросостояний. Ну ладно,

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

может быть, не вечность, но это все равно заняло бы ужасно много времени.

Макроскопическая система может пребывать в таком огромном числе со-

стояний, что для того, чтобы перепробовать их все, потребуется время, со-

поставимое с возрастом Вселенной.

Настоящая причина существования принципа безразличия заключается

в том, что ничего лучше у нас просто нет. Ну и, конечно, потому что он вроде

бы работает.