Запуск частиц в обратном направлении

Элементарные частицы не слишком-то хорошо соблюдают постулаты клас-

сической механики: они живут по правилам квантовой механики. Тем не

менее основополагающий принцип остается неизменным: существуют такие

преобразования, что после изменения направления времени на обратное

и применения этих трансформаций мы все так же получаем верное решение

в исходной теории. Часто можно услышать, что элементарные частицы

не инвариантны относительно отражения времени, и периодически выска-

зываются даже не слишком тонкие намеки на то, что это связано со стре-

лой времени. Но это ложный след. Поведение элементарных частиц в усло-

виях «обратного» времени никакого отношения к стреле времени не

имеет, что, однако, вовсе не делает ее менее интересным объектом для ис-

следований.

Давайте попробуем вообразить эксперимент, позволяющий понять, дей-

ствительно ли физика элементарных частиц инвариантна относительно обра-

щения времени. Для этого нам нужно взять какой-либо процесс, включающий

элементарные частицы, и прокрутить его в обратном направлении. Например,

две частицы могут взаимодействовать друг с другом с образованием других

частиц (как в ускорителе), или же одна частица может распадаться на несколь-

ко других. Если продолжительность «прямого» процесса будет отличаться от

продолжительности «обратного», это станет доказательством отсутствия

инвариантности.

Атомные ядра состоят из нейтронов и протонов, которые в свою очередь

состоят из кварков. Нейтроны остаются стабильными только в окружении

протонов и других нейтронов, образующих ядро, а оказавшись в одиночестве,

они распадаются в течение нескольких минут (будучи частицами с тонкой ду-

шевной организацией, они не могут жить без внимания окружающих). Нейтрон

распадается на комбинацию из протона, электрона и нейтрино (очень легкая

нейтральная частица).16 С теоретической точки зрения нет ничего сложного

в том, чтобы сконструировать обратный процесс: нужно всего лишь выстрелить

протоном, электроном и нейтрино в одну точку на правильной скорости и до-

ждаться результата. Проблема, однако, состоит в том, что даже если подобное

взаимодействие и позволило бы получить какие-нибудь новые интересные

знания об обращении времени, реализовать это на практике невозможно. Ни-

кому не под силу поместить протон, электрон и нейтрино в такие положения

и заставить вести себя так, чтобы полностью воспроизвести картину распада

нейтрона в обратном направлении.

 

Глава 7. Время, назад!

 

(d)

 

 

(d)

 

 

 

Рис. 7.8. Нейтральный каон и нейтральный антикаон. Поскольку оба обладают нулевым

электрическим зарядом и суммарное кварковое число в них также равно нулю, каон и анти-

каон могут осциллировать друг в друга, оставаясь при этом разными частицами

 

Однако не всегда все так печально. В физике элементарных частиц встреча-

ются специфические случаи, когда одиночная частица «распадается» в другую

одиночную частицу, которая затем также может «распасться» обратно в ис-

ходную. В действительности это, конечно, нельзя называть распадом, посколь-

ку в процесс вовлечена только одна частица. Такие процессы называются ос-

цилляциями. Очевидно, что осцилляции могут происходить только в весьма

специфических обстоятельствах. Например, протон не может осциллировать

в нейтрон: их электрические заряды отличаются. Две частицы могут осцилли-

ровать друг в друга только в том случае, если они обладают одинаковым элек-

трическим зарядом, одинаковым числом кварков и одинаковой массой, так как

при осцилляции не может исчезать или увеличиваться энергия. Обратите

внимание на то, что кварк и антикварк — это не одно и то же, и, следовательно,

нейтроны не будут осциллировать в антинейтроны. В сущности, нас интере-

суют две практически одинаковые частицы, различия между которыми мини-

мальны.

Природа предоставляет нам идеального кандидата для таких осцилляций:

нейтральный каон. Каон относится к типу мезонов, и это означает, что он со-

стоит из одного кварка и одного антикварка. Если мы хотим, чтобы частица

состояла из кварков разных типов с нулевым суммарным зарядом, то проще

всего сделать ее из одного нижнего (d)-кварка и одного странного (s) анти-

кварка, или наоборот.17 Систему из нижнего кварка и странного антикварка

принято называть «нейтральным каоном», а систему из странного кварка

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

и нижнего антикварка — «нейтральным антикаоном». Массы этих частиц

абсолютно одинаковы и составляют около половины массы протона или нейт-

рона. Вполне естественно ожидать, что между каонами и антикаонами возни-

кают осцилляции, и действительно: изучение осцилляций именно этих частиц

стало уже чем-то вроде промышленной отрасли в экспериментальной физике

элементарных частиц. (Существуют также каоны, обладающие электрическим

зарядом. Такой каон состоит из верхнего (u) кварка и странного кварка и для

наших целей совершенно бесполезен. Даже если в дальнейшем обсуждении

для простоты формулировок мы будем опускать слово «нейтральный», гово-

рить мы все же будем именно о нейтральных каонах.)

Итак, нам нужно сделать несколько каонов и антикаонов, чтобы пона-

блюдать, как они будут осциллировать друг в друга. Если инвариантность

относительно отражения времени отсутствует, то в одну сторону процесс

будет идти дольше, чем в другую; в результате в нашем наборе частиц будет

в среднем немного больше каонов, чем антикаонов (или наоборот). К со-

жалению, на самих частицах мы не найдем маленьких меточек, сообщающих,

с каким типом каонов мы имеем дело. Зато в конечном счете они полностью

распадутся и образуют совершенно новые частицы: каон распадается на пион

с отрицательным зарядом, антиэлектрон и нейтрино, а антикаон — на пион

с положительным зарядом, электрон и антинейтрино. Если оценить, насколь-

ко часто один тип распада происходит по сравнению с другим, то можно

понять, в какой форме первоначальные частицы пребывали дольше — в фор-

ме каона или антикаона.

Несмотря на то что теоретические предсказания были получены уже до-

статочно давно, соответствующий эксперимент CPLEAR провели в лаборато-

рии CERN в Женеве (Швейцария) лишь в 1998 году.18 Ученые обнаружили, что

создаваемый ими пучок частиц, совершающий осцилляции между каонами

и антикаонами, немного чаще (примерно на две трети процента) распадался

как каон, чем как антикаон, то есть частицы в осциллирующем пучке чуть

дольше пребывали в состоянии каонов, чем антикаонов. Другими словами,

процесс превращения каона в антикаон занимал немного больше времени, чем

обратный процесс перехода антикаона в каон. Таким образом, в реальном мире

направление времени в физике элементарных частиц не симметрично.

По крайней мере, это справедливо для «бесхитростного» обращения

времени, как мы определили его выше. Можно ли в мире элементарных частиц

использовать какие-либо дополнительные преобразования, чтобы в результате

добиться инвариантности относительно обращения времени? Ответ положи-

тельный, и сейчас мы обсудим это подробнее.

 

Глава 7. Время, назад!

 

 

Три отражения природы

Если пристальнее всмотреться в принципы работы физики элементарных ча-

стиц, то выяснится, что существует три типа возможных симметрий, включа-

ющих «обращение» физического свойства, и каждое из них обозначено своей

заглавной буквой. Инверсия времени T меняет местами прошлое и будущее.

Четность P обозначает замену «право» на «лево», и наоборот. Мы уже об-

суждали четность в контексте миров шахматных досок, но это понятие точно

так же распространяется и на реальный трехмерный мир. Наконец, существу-

ет «зарядовое сопряжение» C — на самом деле это просто модное название

для процесса замены частиц на античастицы. Преобразования C, P и T обла-

дают одним общим свойством: если повторить любое из них два раза подряд,

то вы вернетесь к исходному состоянию.

В принципе, можно представить себе набор физических законов, инвари-

антный относительно каждого из перечисленных преобразований в отдель-

ности, и на первый взгляд кажется, что так и обстоит дело в нашем мире (глав-

ное, не копать слишком глубоко, например, изучая распад нейтральных каонов).

Если создать атом антиводорода из антипротона и антиэлектрона, то он будет

обладать почти такими же свойствами, как и обычный атом водорода, за ис-

ключением того, что при соприкосновении с атомом обычного водорода эти

элементы проаннигилируют, оставив после себя лишь излучение. Таким об-

разом, преобразование C создает впечатление симметрии нашего мира, так же

как P и T.

В результате, когда в 1950-х годах американские физики китайского про-

исхождения Чжэндао Ли, Чжэньнин Янг и Цзяньсюн Ву показали, что одно

из преобразований — четность — не является симметрией природы, для

многих это стало огромным сюрпризом. Мысль о возможном нарушении

инвариантности относительно четности витала в воздухе уже довольно дав-

но. Об этом говорили разные люди, но всерьез такую возможность никто не

рассматривал. В физике авторство открытия приписывается не тому, кто

случайно высказывает предположение, а тому, кто подходит к этому предпо-

ложению с достаточно основательных позиций, чтобы взять его в работу

и превратить в солидную теорию или убедительный эксперимент. В случае

нарушения принципа четности именно Ли и Янг сели и выполнили тщатель-

ный анализ проблемы. Они поняли, что существует множество эксперимен-

тальных доказательств того, что электромагнетизм и сильное взаимодействие

инвариантны относительно P, однако что касается слабого взаимодействия,

вопрос оставался открытым.

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

Ли и Янг предложили несколько путей поиска доказательств нарушения

четности при слабом взаимодействии. В конце концов они убедили Ву — фи-

зика-экспериментатора, специализирующуюся на слабых взаимодействиях,

и коллегу Ли по Колумбийскому университету, что на этот проект стоит по-

тратить время и силы. Ву пригласила физиков из Национального бюро стан-

дартов США присоединиться к ней для проведения эксперимента над атомами

кобальта-60 в магнитных полях при очень низких температурах.

В ходе подготовки к эксперименту Ву убедилась в том, что этот проект

имеет фундаментальную значимость. Позднее в своих воспоминаниях она живо

описывала свои ощущения от участия в важнейшем событии научного мира:

После визита профессора Ли я глубоко задумалась. Для физика, изучающего

бета-распад, это было великолепной возможностью провести решающий экс-

перимент, и, конечно же, я не могла ее упустить. Той весной мы с моим мужем

Чиа-Лью Юань планировали посетить конференцию в Женеве, а затем от-

правиться на Дальний Восток. Мы оба покинули Китай в 1936 году, ровно

двадцать лет назад. Билеты на рейс Королевы Елизаветы были уже заброни-

рованы, но внезапно я осознала, что обязана провести эксперимент немедлен-

но, до того как его значимость станет очевидной физическому сообществу

и кто-нибудь меня опередит. Поэтому я попросила Чиа-Лью позволить мне

остаться и отправиться в поездку без меня.

Сразу же по завершении весеннего семестра, в конце мая, я начала с энтузиаз-

мом готовиться к эксперименту. В середине сентября я наконец-то поехала

в Вашингтон на первую встречу с доктором Аблером… В перерывах между

экспериментами в Вашингтоне мне приходилось то и дело возвращаться

в Колумбийский университет — я продолжала преподавать, а также должна

была заниматься исследованиями. В канун Рождества я добралась до Нью-

Йорка на последнем поезде; аэропорт был закрыт из-за сильных снегопадов.

Там я рассказала профессору Ли о замеченной асимметрии — она не только

была огромной, но и оказалась воспроизводимой. Параметр асимметрии со-

ставлял почти –1. Профессор Ли отметил, что это замечательный резуль-

тат. Именно тот результат, которого следовало ожидать для двухкомпо-

нентной теории нейтрино. 19

Супруг и возвращение в дом детства подождут — наука зовет! В 1957 году

Ли и Янгу была присуждена Нобелевская премия; в число награждаемых надо

было включить и Ву, однако этого не произошло.

Вскоре после того, как выяснилось, что слабое взаимодействие нарушает

четность, ученые заметили, что эксперименты вроде бы подтверждают инва-

риантность относительно комбинации преобразований — когда к четности

добавляется зарядовое сопряжение C, заменяющее частицы античастицами.

 

Глава 7. Время, назад!

 

 

Более того, что-то подобное предсказывали теоретические модели, популярные

в то время. Таким образом, люди, которых неприятно поразило открытие

асимметрии четности в реальном мире, нашли некоторое утешение в мысли

о том, что комбинация C и P является хорошей симметрией.

Тем не менее это было ошибкой. В 1964 году Джеймс Кронин и Вал Фитч

совместно провели исследование, объектом которого выступил наш старый

друг нейтральный каон. Они обнаружили, что четность нарушается не только

при распаде каона, но и при распаде антикаона, только во втором случае это

происходит несколько иным образом. Другими словами, комбинация преоб-

разований C и P не является симметрией природы.20 Нобелевскую премию

Кронину и Фитчу присудили в 1980 году.

Долго ли, коротко ли, но обнаружилось, что природа нарушает не только

все потенциальные симметрии — C, P и T, но и комбинацию любых двух

преобразований. Очевидным следующим шагом стала проверка комбинации

всех трех: CPT. Если взять какой-либо процесс природы, заменить все части-

цы античастицами, поменять местами лево и право и изменить направление

времени на обратное, то будет ли получившийся процесс подчиняться законам

физики? С учетом того, что нам уже известно про комбинации двух преоб-

разований, логично ожидать, что и комбинация CPT также не будет инвари-

антной.

Однако и здесь мы ошибаемся! (Хорошо, что и задаем вопросы, и отвеча-

ем на них мы сами.) Пока что все проведенные эксперименты подтверждают,

что преобразование CPT является симметрией реального мира. Более того,

сделав некоторые обоснованные предположения про законы физики, можно

доказать, что преобразование CPT обязано быть симметрией, — это утверж-

дение неудивительным образом называется «CPT -теоремой». Разумеется,

даже обоснованные предположения могут оказываться ошибочными, так что

ни физики-экспериментаторы, ни теоретики не чураются исследовать воз-

можное нарушение CPT -инвариантности. Но насколько можно судить, эта

симметрия пока что не собирается сдавать позиции.

Ранее я говорил, что для того, чтобы получить преобразование, применение

которого не нарушает законов природы, может оказаться необходимым «по-

чинить» операцию обращения времени. В случае стандартной модели физики

элементарных частиц в список преобразований также добавляются зарядовое

сопряжение и четность. Большинство физиков полагают, что следует разделять

гипотетический мир, в котором C, P и T инвариантны по отдельности, и реаль-

ный мир, в котором инвариантностью обладает лишь комбинация CPT. Это

позволяет заявлять, что реальный мир не инвариантен относительно изменения

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

направления времени. Однако необходимо все время помнить, что существует

возможность дополнить инверсию времени другими операциями так, чтобы

результат отвечал всем требованиями симметрии реального мира.

 

Сохранение информации

Мы убедились, что обращение времени включает в себя не только изменение

направления эволюции системы, то есть воспроизведение естественной по-

следовательности состояний в обратную сторону, но также требует применения

определенных преобразований к самим состояниям. Это может быть изменение

импульса на противоположный, зеркальное отражение строки на шахматной

доске или что-то более изысканное, например замена частиц античастицами.

Однако если это так, то можно ли утверждать, что каждый осмысленный

набор физических законов инвариантен относительно той или иной формы

«усложненного обращения времени»? Всегда ли возможно найти такие пре-

образования состояний, после применения которых движение «в обратную

сторону по времени» все так же будет подчиняться законам физики?

Нет. Возможность определить обращение времени таким образом, чтобы

законы физики относительно данной операции оставались инвариантными, за-

висит от одного критически важного предположения: предположения о сохранении

информации. Это всего лишь означает, что два разных состояния в прошлом

всегда переходят в два разных состояния в будущем — пути их эволюции не

могут пересечься в одном и том же состоянии. Если это выполняется, то мы го-

ворим, что «информация сохраняется», так как зная состояние в будущем,

можно понять, каким было соответствующее состояние в прошлом. Физические

законы, в которых заложена такая особенность, считаются обратимыми, и в таком

случае можно утверждать, что существуют какие-то (возможно, очень сложные)

преобразования, которые можно применять к состояниям таким образом, что

инвариантность относительно обращения времени сохранится.21

Для того чтобы посмотреть, как это работает на деле, давайте снова вер-

немся в шахматный мир. Шахматная доска D, показанная на рис. 7.9, выглядит

довольно просто. Серые квадратики на ней образуют несколько диагональных

линий и один вертикальный столбец. Но здесь происходит нечто интересное,

что нам еще не доводилось наблюдать в предыдущих примерах: разные линии

серых квадратиков «взаимодействуют» друг с другом, а именно создается

впечатление, что диагональные линии могут подходить к вертикальному столб-

цу справа или слева, но в месте соприкосновения с вертикальным столбцом

диагональные линии неизменно обрываются.

 

Глава 7. Время, назад!

 

 

 

D

Рис. 7.9. Шахматная доска с необратимой динамикой.

Информация о прошлом не сохраняется в будущем

Казалось бы, правило довольно простое, и его можно считать отличным

«набором законов физики». Но между шахматной доской D и предыдущими

шахматными мирами существует кардинальное отличие: на этой доске проис-

ходящее необратимо. Пространство состояний, как и раньше, представляет

собой простое перечисление белых и серых квадратиков вдоль каждой строки

(с дополнительной информацией о том, является квадратик частью диагонали,

движущейся направо, диагонали, движущейся налево, или вертикального

столбца). Имея на руках такую информацию, мы без труда можем предсказать

развитие «вперед во времени» — мы точно знаем, как будет выглядеть следу-

ющая строка и строка сразу за ней, и так далее.

Однако, зная состояние одной строки, мы не можем прокрутить развитие

системы в обратную сторону. Мы сможем продолжить существующие диаго-

нальные линии, но с точки зрения прокрутки времени в обратную сторону

новые диагонали могут отпочковываться от вертикального столбца в абсолют-

но случайных точках (соответствующих точкам «столкновения» диагоналей

с вертикальным столбцом при развитии вперед во времени). Когда мы говорим,

что физический процесс необратим, мы имеем в виду, что невозможно вос-

становить прошлое состояние, отталкиваясь от знания о текущем состоянии,

и эта шахматная доска служит прекрасным примером.

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

В подобных ситуациях информация теряется. Даже зная о состоянии мира

в какой-то момент времени, мы не можем сказать с уверенностью, в каких со-

стояниях он пребывал в прошлом. У нас есть пространство состояний — опи-

сания строчек из белых и серых квадратиков с дополнительными метками на

серых, сообщающими направление движения: вверх и вправо, вверх и влево

или строго вверх. Это пространство состояний со временем не меняется:

каждая строка остается членом одного и того же пространства состояний

и в каждой конкретной строке может наблюдаться любое из допустимых со-

стояний. Необычно в шахматной доске D то, что двум разным строкам может

соответствовать одно и то же состояние в будущем. Когда мы оказываемся

в этом будущем состоянии, мы уже не можем восстановить информацию о том,

какая прошлая конфигурация стала предшественницей этого состояния; вос-

произвести последовательность смены состояний в обратную сторону не

представляется возможным.

 

 

Рис. 7.10. Очевидная потеря информации в стакане воды. Состояние в будущем — «стакан

прохладной воды» — может быть следствием любого из двух состояний в прошлом —

«стакан прохладной воды» или «стакан теплой воды с кубиком льда»

В реальном мире постоянно происходит очевидная потеря информации.

Рассмотрим два разных состояния стакана воды. В одном состоянии в стакане

находится только прохладная вода; в другом состоянии в стакан налита теплая

вода и брошен кубик льда. В будущем эти два состояния могут развиться в то,

 

Глава 7. Время, назад!

 

 

что с нашей точки зрения будет одним и тем же состоянием: стакан прохладной

воды.

Мы уже встречались с этим явлением раньше: это стрела времени. По мере

того как кубик льда тает в теплой воде, энтропия увеличивается; этот процесс

может происходить, но никогда не может быть обращен. Загадка в том, что

движение отдельных молекул, составляющих воду, инвариантно относительно

обращения времени — в этом нет сомнений. И в то же время макроскопическое

описание в терминах льда и жидкости не инвариантно. Для того чтобы понять,

как так получается, что обратимые базовые законы порождают макроскопиче-

скую необратимость, нам необходимо снова вспомнить Больцмана и его идеи

относительно энтропии.

 

Примечания

 

 

 

 

 

 

 

См. O’Connor, J. J., Robertson, E. F. Pierre-Simon Laplace. MacTutor History of Mathematics

Archive, 1999. (http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/ Laplace.html); Rouse

Ball, W. W. A Short Account of the History of Mathematics. Mineola, NY: Dover, 1908; 4-е изд.,

2003. Вы должны помнить Лапласа как одного из тех людей, кто начал говорить о черных

дырах задолго до появления общей теории относительности.

Очевидно, Наполеон нашел это чрезвычайно забавным. Он передал остроумные слова

Лапласа Жозефу Лагранжу, другому выдающемуся физику и математику того времени.

Лагранж ответил: «О, но это же превосходная гипотеза; она объясняет так много всего»

(Rouse Ball, W. W. A Short Account of the History of Mathematics. Mineola, NY: Dover, 1908;

издание 4-е, 2003).

Лаплас П. С. Опыт философии теории вероятностей. М., 1908, с.9 (Laplace, P.-S. A Phi-

losophical Essay on Probabilities / Trans. by F. W. Tuscott, F. L. Emory; переиздание. New

York: Cosimo Classics, 2007).

Не стоит беспокоиться, будто демон Лапласа может жить где-то во Вселенной, самодо-

вольно предсказывая каждое наше движение. Как минимум, он должен быть размером со

всю Вселенную и обладать такими же вычислительными возможностями, как Вселенная

в целом.

Стоппард Т. Аркадия / Пер. с англ. // ИЛ. 1996. № 2 (Stoppard, T. Arcadia, in Plays: Five.

London: Faber and Faber, 1999). Валентайн, по всей видимости, имеет в виду, что идея

детерминизма подрывается таким явлением, как хаос. Хаотическое движение, которое

реально и существует в нашем мире, происходит, когда небольшие возмущения в началь-

ных условиях приводят к огромным изменениям в дальнейшей эволюции. На практике

это означает, что предсказание будущего для хаотичных систем (не все системы являются

таковыми) превращается в невероятно трудную задачу, так как в понимание текущего

состояния системы непременно будут закрадываться ошибки — хотя бы самые ничтожные.

Не уверен, что этот довод имеет смысл использовать в спорах относительно демона Ла-

пласа. С практической точки зрения невозможно даже предполагать, что мы когда-либо

сможем получить полную информацию о состоянии всей Вселенной, не говоря уже о том,

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

 

 

 

 

 

чтобы научиться предсказывать будущее. Эта концепция всегда была и останется лишь

мысленным экспериментом. И перспектива хаотического развития совершенно не меня-

ет картину.

Согласен, мы никогда не встретили бы настоящих физиков на подобной шахматной до-

ске — их появление там невозможно по вполне понятной антропологической причине:

условия в постановке задачи слишком просты для зарождения и развития сложных струк-

тур, которые мы могли бы назвать разумными наблюдателями. Эта удушающая простота

выражается в том числе в отсутствии интересных «взаимодействий» между разными

элементами. В тех шахматных мирах, которые мы будем рассматривать, основную роль

будут играть простые предметы одного вида (например, вертикальные или диагональные

линии), которые не меняются на своем протяжении. Интересный мир — это такой, в ко-

тором предметы могут существовать в течение более или менее длительного периода,

постепенно меняясь под воздействием других предметов из этого же мира или вследствие

взаимодействия с ними.

Сценарий, в котором мы продвигаемся «по одному моменту времени за раз», далек от

идеала. Реальный мир (насколько нам известно) не делится на дискретные моменты вре-

мени. Время непрерывно, оно плавно течет из одного момента в другой, проходя через

все моменты, заключенные между ними. Однако это нам не мешает; у нас есть подходящие

математические инструменты, позволяющие продвигаться вперед во времени «шаг за

шагом», несмотря на то что само время не дискретно.

Обратите внимание на то, что перенос в пространстве и пространственная инверсия

(зеркальное отражение) также являются идеальными симметриями. При взгляде на кар-

тинку это кажется неочевидным, но лишь потому, что сами состояния (шаблоны из нулей

и единицы) не инвариантны относительно смещений и отражений в пространстве. Чтобы

вы не думали, что эти симметрии взяты с потолка, замечу, что некоторые виды симметрии,

которые вроде бы и могли существовать в рассматриваемом мире, в действительности

отсутствуют. Невозможно, например, поменять ролями время и пространство. В целом

чем больше симметрий существует в системе, тем она проще.

Глобальная идея, одной из частных реализаций которой являются миры шахматной доски,

носит название клеточных автоматов. Клеточный автомат — это дискретная решетка,

на которой состояние следующей строки можно определить в соответствии с определен-

ными правилами исходя из состояния предыдущей строки. Клеточные автоматы начал

изучать еще в 1940-х годах Джон фон Нейман, математик, одним из достижений которо-

го стала догадка о том, как энтропия должна вести себя в квантовой механике. Множество

причин делает клеточные автоматы захватывающей темой для исследований, и большая

их часть никак не связана со стрелой времени. Клеточные автоматы — чрезвычайно

сложные системы, способные функционировать как универсальные компьютеры. См.:

Poundstone, W. The Recursive Universe: Cosmic Complexity and the Limits of Scientific

Knowledge. New York: W. W. Norton, 1984; Shalizi, C. R. Notebooks, 2009. http://www.cscs.

umich.edu/~crshalizi/notebooks/.

Мы не только проявляем крайнее неуважение к клеточным автоматам, всего лишь ис-

пользуя их для иллюстрации парочки несложных свойств течения времени и сохранения

информации, но также отказываемся говорить на традиционном языке знатоков клеточ-

ной автоматизации. Как минимум, в этой области направлением течения времени при-

 

Глава 7. Время, назад!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нято считать направление сверху вниз. Но ведь это безумие! Каждый знает, что на диа-

граммах время увеличивается снизу вверх. Более того, хотя мы и утверждаем, что каждый

квадратик может находиться лишь в одном состоянии — «белый» или «серый», мы

только что сами признали, что для надежного прогнозирования будущего в примере B

необходимо хранить намного больше информации. Однако это не проблема; это означа-

ет лишь то, что мы имеем дело с автоматом, где «клетки» могут находиться более чем

в двух состояниях. Можно было бы даже выйти за пределы набора из двух цветов и до-

пустить существование клеток четырех разных цветов. Но для наших текущих целей это

слишком высокий уровень сложности, и мы не будем его явно вводить.

В случае недетерминистических физических законов — законов, включающих какой-то

случайный элемент, — мы называем «предсказанием» будущего развития не набор не-

избежных событий, а набор вероятностей. Суть в том, что состояние включает всю ин-

формацию, необходимую для того, чтобы описать эволюцию максимально точно, — с уче-

том действующих законов физики.

Некоторые люди выделяют модели теории относительности в отдельный класс, разделяя

«классическую механику» и «релятивистскую механику», но так бывает редко. Для

многих задач удобно говорить, что теория относительности — это новый вид классической

механики, не новый тип мышления. В релятивистской механике мы описываем состояние

системы практически так же, как в ньютоновской. В то же время квантовая механика

действительно ни на что не похожа. Таким образом, употребляя прилагательное «клас-

сическая», мы противопоставляем некоторое понятие чему-то квантовому (если не

указано иное).

Неизвестно — по крайней мере я не в курсе, — играл ли в бильярд Ньютон, хотя сама

игра, определенно, в то время уже была распространена в Англии. А вот Иммануилу

Канту в студенческие годы бильярд (а также карты) даже служил источником карманных

денег.

Таким образом, импульс — это не просто число. Это вектор, изображаемый чаще всего

в виде небольшой стрелки. Вектор может определяться величиной (длиной стрелочки)

и направлением, а может задаваться в виде суммы подвекторов (компонентов вектора),

указывающих в разных направлениях. Например, можно говорить об «импульсе вдоль

оси x».

Это хороший вопрос, над которым я размышлял в течение многих лет. Когда мы изучали

классическую механику, периодически возникали ситуации, когда преподаватели начи-

нали беззаботно описывать импульсы, совершенно несовместимые с фактической траек-

торией системы. В чем же дело? Проблема в том, что когда нас впервые знакомят с по-

нятием «импульс», звучит определение: импульс — это результат умножения массы на

скорость. Но время идет, и вот мы уже проникаем в эзотерические сферы классической

механики, а то, что раньше было определением, становится следствием, которое неслож-

но вывести из основополагающей теории. Другими словами, мы начинаем воспринимать

суть понятия «импульс» как «некоторый вектор (с величиной и направлением), опре-

деленный в каждой точке траектории частицы», а затем выводить уравнения движения,

из которых следует, что импульс должен быть равен массе, умноженной на скорость (это

называется гамильтоновым подходом к динамике). Именно в таком стиле мы рассуждаем

сейчас, говоря об изменении направления времени. Импульс — это независимая величи-

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

 

 

на, часть состояния системы; он равен произведению массы на скорость только в том

случае, если физические законы соблюдаются.

Дэвид Альберт (Albert, D. Z. Time and Chance. Cambridge, MA: Harvard University Press,

2000) выдвинул совершенно новую теорию на этот счет. Он заявляет, что определять

«состояние» следует с указанием лишь положений частиц, но не положений и импуль-

сов (это он называет «динамическим состоянием»). Альберт оправдывает данное

определение тем, что состояния должны быть логически независимыми в каждый момент

времени, что и происходит. Переформулировав все подобным образом, он получил

возможность пользоваться самым тривиальным определением инвариантности отно-

сительно обращения времени: «последовательность состояний, воспроизведенная

в обратную сторону, все так же подчиняется исходным физическим законам». Это

утверждение не включает в себя никакие непонятные преобразования. Однако ему

пришлось заплатить за это высокую цену: несмотря на то что, согласно данному опре-

делению, ньютоновская механика инвариантна относительно обращения времени,

практически ни о какой другой теории, включая классический электромагнетизм,

этого не скажешь. И Альберт это признает; он утверждает, что посеянное еще Максвел-

лом традиционное убеждение об инвариантности электромагнетизма попросту не-

верно. Как и можно было ожидать, его точка зрения повлекла за собой целую череду

обличительных выступлений; см., например: Earman, J. What Time Reversal Is and Why

It Matters // International Studies in the Philosophy of Science, 2002, 16, p. 245–264;

Arntzenius, F. Time Reversal Operations, Representations of the Lorentz Group, and the

Direction of Time // Studies in History and Philosophy of Science, 2004, Part B 35, p. 31–43;

Malament, D. B. On the Time Reversal Invariance of Classical Electromagnetic Theory //

Studies in History and Philosophy of Science, 2004, Part B 35, p. 295–315.

Большинство физиков скажут, что это просто не имеет значения. Не существует един-

ственного верного значения термина «инвариантность относительно отражения време-

ни», скромно дожидающегося того момента, когда мы, наконец-то, додумаемся до него

и разберемся в его сути. Есть лишь набор понятий, которые могут пригодиться или не

пригодиться в размышлениях на тему того, как устроен мир. Ни у кого не возникает аль-

тернативных мнений относительно движения электронов в присутствии магнитного поля;

разногласия касаются лишь терминов, с помощью которых следует описывать данную

ситуацию. Физикам часто трудно понять, почему философы так трепетно относятся к вы-

бору слов. Философов, с другой стороны, раздражают физики, которые постоянно жон-

глируют словами, но не понимают, что же эти слова в действительности означают.

Существуют две разновидности элементарных частиц: «частицы материи», называемые

фермионами, и «частицы силы», именуемые бозонами. Среди известных нам бозонов —

фотон, переносящий электромагнитную силу, глюон, переносящий сильное взаимодей-

ствие, и W- и Z-бозоны, переносчики слабого взаимодействия. Известные фермионы

подразделяются на два типа: шесть видов кварков, которые под влиянием сильного взаи-

модействия образуют составные частицы, такие как протоны и нейтроны, и шесть видов

лептонов, на которые сильное взаимодействие не распространяется, благодаря чему они

свободно перемещаются по произвольным траекториям. Фермионы также можно до-

полнительно разделить на четыре набора по три частицы в каждом: есть три кварка

с электрическим зарядом +2/3 (верхний (u), очарованный (c) и истинный (t) кварки),

 

Глава 7. Время, назад!

 

 

 

 

 

 

три кварка с электрическим зарядом –1/3 (нижний (d), странный (s) и прелестный (b)),

три лептона с электрическим зарядом –1 (электрон, мюон и тау) и три лептона с нулевым

зарядом (электронное нейтрино, мюонное нейтрино и тау-нейтрино). Чтобы еще больше

запутать ситуацию, каждому типу кварков и лептонов соответствует античастица с про-

тивоположным электрическим зарядом: например, существует верхний антикварк с за-

рядом –2/3 и т. п.

Все это позволяет нам чуть более конкретно говорить о процессе распада нейтрона (два

нижних кварка и один верхний): в действительности при этом появляется протон (два

верхних кварка и один нижний), электрон и электронное антинейтрино. Важно понимать,

что это именно антинейтрино, так как суммарное число лептонов не меняется. Электрон

считается за один лептон, а антинейтрино — за минус один; таким образом, они компен-

сируют друг друга. Физикам еще не доводилось наблюдать процесс, в котором менялось

бы суммарное число лептонов или суммарное число кварков, хотя есть подозрение, что

такие процессы должны существовать. В конце концов, в реальном мире кварков намно-

го больше, чем антикварков (у нас нет возможности точно оценить суммарное количество

лептонов, так как находить нейтрино во Вселенной чрезвычайно сложно; вполне воз-

можно, что антинейтрино может быть куда больше).

«Проще всего» означает, что этот способ позволяет сделать самую легкую частицу. Чем

тяжелее частица, тем больше энергии требуется для ее создания; к тому же тяжелые ча-

стицы распадаются быстрее. Самые легкие типы кварков — это верхний (с зарядом,

равным +2/3) и нижний (с зарядом, равным –1/3). Однако соединив верхний кварк

с нижним антикварком, мы не получим нейтральную частицу; следовательно, придется

воспользоваться более тяжелыми кварками. Следующий по массе — странный кварк,

обладающий зарядом –1/3, и мы можем получить каон, если объединим его с нижним

антикварком.

Angelopoulos, A. et al. (CPLEAR Collaboration). First Direct Observation of Time Reversal

Noninvariance in the Neutral Kaon System // Physics Letters, 1998, B 444, p. 43–51. Группа

KTeV из лаборатории Fermilab под Чикаго провела похожий эксперимент. Его целью

также была оценка с помощью нейтральных каонов инвариантности относительно об-

ращения времени, но выполнен он был немного другим способом (Alavi-Harati, A. et al.

(KTeV Collaboration). Observation of CP Violation in KL → π+π-e+e- Decays // Physical Review

Letters, 2000, 84, p. 408–411).

Процитировано из работы Maglich, B. Adventures in Experimental Physics, Gamma

Volume. — Princeton, NJ: World Science Communications, 1973. Первоначальные публи-

кации: Lee, T. D., Yang, C. N. Question of Parity Conservation in Weak Interactions, // Physical

Review, 1956, 104, p. 254–258; Wu, C. S., Ambler, E., Hayward, R. W., Hoppes, D. D., Hudson, R. P.

Experimental Test of Parity Nonconservation in Beta Decay // Physical Review, 1957, 105,

p. 1413–1415. В полном соответствии с опасениями Ву другие физики сумели очень быстро

воспроизвести достигнутый ею результат. Действительно, еще одна группа ученых Ко-

лумбийского университета поспешно провела эксперимент, подтвердивший правильность

первоначальных выводов, и их статья была опубликована немедленно после выхода рабо-

ты Ву и др. (Garwin, R. L., Lederman, L. L., Weinrich, M. Observation of the Failure of

Conservation of Parity and Charge Conjugation in Meson Decays: The Magnetic Moment of

the Free Muon // Physical Review, 1957, 105, p. 1415–1417).

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

 

 

 

Christenson, J. H., Cronin, J. W., Fitch, V. L., Turlay, R. Evidence for the 2π Decay of the K20

Meson // Physical Review Letters, 1964, 13, p. 138–140. В стандартной модели физики эле-

ментарных частиц существует общепринятый способ учета нарушения CP-инвариантности,

разработанный Макото Кобаяси и Тосихидэ Масукава (Kobayashi, M., and Maskawa, T. CP-

Violation in the Renormalizable Theory of Weak Interaction // Progress of Theoretical Physics

49 (1973): 652–57), которые обобщили идею Николы Кабиббо. Кобаяси и Масукава

удостоились Нобелевской премии в 2008 году.

Здесь мы также делаем пару предположений: во-первых, мы считаем, что физические

законы инвариантны относительно сдвига по времени (то есть не меняются от одного

момента к другому), а во-вторых, что они детерминированы (будущее можно пред-

сказать абсолютно точно, а не просто с какой-то вероятностью). Если любое из этих

предположений оказывается неверным, то определение, является ли интересующий нас

набор законов инвариантным относительно направления времени, становится несколь-

ко сложнее.

 

Гл а в а 8

Энтропия и беспорядок

 

Никому не дано представить в телесных об-

разах обращение времени. Время необратимо.

Владимир Набоков.

Смотри на арлекинов!

 

Почему обсуждения энтропии и второго начала термодинамики так часто за-

канчиваются разговорами о еде? Вот несколько популярных (и вкусных) при-

меров, когда энтропия увеличивается в ходе необратимых процессов:

‹

‹

‹

‹

‹

вы разбиваете яйца и готовите яичницу;

смешиваете кофе с молоком;

проливаете вино на новый ковер;

вынимаете пирог из духовки, и его аромат распространяется по квартире;

кидаете кубики льда в стакан воды, и они постепенно тают.

Честно говоря, не все эти примеры одинаково аппетитны; тот, что с кубиком

льда, пресноват, — хотя это легко исправить, заменив воду джином. Кроме того,

пример с приготовлением яичницы требует дополнительного разъяснения. На

самом деле приготовление яиц нельзя считать прямолинейной демонстрацией

второго начала термодинамики. Готовка — химическая реакция, вызываемая

нагреванием, и этот процесс не был бы возможен, если бы яйца не были от-

крытыми системами. Энтропия вступает в игру, когда мы разбиваем яйца

и перемешиваем белки с желтками; смысл тепловой обработки получившейся

смеси в том, чтобы избежать отравления сальмонеллой, а не продемонстриро-

вать принципы термодинамики.

Взаимоотношения между энтропией и едой основываются по большей

части на таком вездесущем процессе, как смешивание. На кухне мы очень часто

именно этим и занимаемся — смешиваем два вещества, которые до этого су-

ществовали сами по себе или хранились раздельно. Это могут быть как две

разные формы одной и той же субстанции (лед и жидкая вода), так и два со-

вершенно разных ингредиента (молоко и кофе, белки и желтки яиц). Перво-

проходцы термодинамики были чрезвычайно заинтересованы в изучении

влияния тепла на различные объекты из повседневной жизни, и таяние кубика

льда стало бы для них проблемой первоочередной важности. Куда меньшее

любопытство у них вызвали бы процессы, в которых принимают участие

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

ингредиенты, имеющие одинаковую температуру, например пролитое на ковер

вино. Однако совершенно очевидно, что независимо от температуры между

всеми этими процессами есть нечто сходное: изначально субстанции разъеди-

нены, а в конечном состоянии перемешаны между собой. Смешать вещи очень

легко, а вот разъединить куда труднее. Стрела времени накладывает свой от-

печаток на все, что мы делаем на кухне.

Почему смешивать ингредиенты легко, а отделять их друг от друга сложно?

Когда мы смешиваем две жидкости, мы видим, как разноцветные завихрения

постепенно сливаются, образуя равномерно окрашенную текстуру. Это зрели-

ще не слишком помогает разобраться, что именно там происходит. Так что

давайте вместо этого рассмотрим смешивание песка двух разных цветов. Важ-

но то, что песок состоит из дискретных частей — отдельных песчинок. Это ни

у кого не вызывает сомнения. Смешивая, например, синий песок с красным,

мы получаем песок фиолетового цвета. Но это не означает, что каждая песчин-

ка из обеих порций окрасилась в фиолетовый цвет. Песчинки сохраняют ин-

дивидуальность — синие остаются синими, а красные красными; они просто

беспорядочно перемешиваются. Только если мы глядим издалека («макроско-

пически») смесь кажется однообразно фиолетовой; если приглядеться (по-

смотреть на нее «микроскопически»), мы увидим те же самые синие и красные

песчинки.

Одним из величайших достижений пионеров кинетической теории — Да-

ниила Бернулли из Швейцарии, Рудольфа Клаузиуса из Германии, Джеймса

Клерка Максвелла и Уильяма Томсона из Великобритании, Людвига Больцма-

на из Австрии и Джозайи Уилларда Гиббса из США — было то, что они пер-

выми стали рассматривать все жидкости и газы так, как мы только что описы-

вали песок: как наборы крохотных кусочков, сохраняющих свои отличительные

черты. Разумеется, мы не ищем в жидкостях и газах песчинки; мы знаем, что

они сделаны из атомов и молекул. Однако принцип остается неизменным.

Когда мы наливаем молоко в кофе, не происходит никакого чудесного объеди-

нения отдельных молекул молока с отдельными молекулами кофе, и молекулы

нового вида не появляются в этой смеси. Два набора молекул просто переме-

шиваются. Даже тепло — это свойство атомов и молекул, а не какая-то отдель-

ная самостоятельная жидкость. Теплота объекта — характеристика энергии

быстро движущихся молекул, из которых он состоит. Когда кубик льда тает

в стакане воды, молекулы не меняются. Они всего лишь сталкиваются друг

с другом, вследствие чего их энергия равномерно распределяется между всеми

молекулами, содержащимися в стакане.

 

Глава 8. Энтропия и беспорядок

 

 

Не давая (пока что) точного математического определения энтропии, на

примере смешивания песка двух цветов мы можем показать, что перемешивать

вещи значительно проще, чем разделять их обратно. Представьте себе миску,

в которую насыпали песок: все синие песчинки находятся у одного бортика,

а все красные у противоположного. Очевидно, что эта конфигурация доста-

точно специальная: если потрясти миску или помешать содержимое ложкой,

то красный песок начнет смешиваться с синим. Если же с самого начала на-

сыпать в миску смесь двух типов песка, то конфигурация будет устойчива:

сколько ни перемешивай, менее разнородной смесь не станет. Причина про-

ста: для того чтобы разделить два типа песка, нам потребуется применить

намного более точное действие, чем простое потряхивание или перемеши-

вание. Нам придется взять увеличительное стекло и аккуратно порабо-

тать пинцетом, перенося красные песчинки к одному бортику миски, а си-

ние к другому. Для создания нестабильного специального состояния

необходимо вкладывать куда больше труда, чем для создания стабильной

неразберихи.

Все то же самое можно изложить с ужасающе научной количественной

точки зрения — что Больцман и другие, собственно говоря, и сделали

в 1870-х годах. Мы тщательно изучим результаты их работы и попробуем

понять, на какие вопросы они дают ответы, а на какие нет и насколько эти

ответы согласуются с основополагающими законами физики, которые, как

мы знаем, полностью обратимы. Однако уже сейчас должно быть понятно,

что ключевую роль здесь играет большое количество атомов, составляющих

макроскопические объекты в реальном мире. Если бы у нас была только одна

красная песчинка и одна синяя, то между «смешанным» и «несмешанным»

состояниями никакого различия бы не было. В предыдущей главе мы говори-

ли о том, что физические законы работают совершенно одинаково как вперед

во времени, так и назад (при условии, что мы дали надлежащее определение

направлению времени). Это микроскопическое описание, требующее тща-

тельного отслеживания каждой индивидуальной составляющей системы.

Однако в реальном мире, где в различных процессах участвует невообразимое

количество атомов, мы попросту не в состоянии обрабатывать такие объемы

информации. Нам приходится прибегать к упрощениям — рассматривать

средний цвет, или температуру, или давление вместо положения и импульса

каждого атома. Когда мы мыслим макроскопически, мы забываем (или от-

брасываем) детальную информацию об отдельных частицах, — и здесь на

сцену выходят энтропия и необратимость.

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

Огрубление

Главное, что мы хотим понять, — это «как макроскопические характеристики

системы, состоящей из множества атомов, меняются вследствие движения от-

дельных атомов?» (Я буду попеременно использовать все три термина — «ато-

мы», «молекулы» и «частицы», подразумевая примерно одно и то же, так как

для нас важно лишь то, что это крохотные объекты, подчиняющиеся обратимым

законам физики, и что для того, чтобы сконструировать нечто макроскопиче-

ское, нужно взять необычайно много таких объектов.) Чтобы разобраться

в этом, рассмотрим герметичный контейнер, разделенный на две части пере-

городкой, в которой проделано отверстие. Молекулы газа летают в одной по-

ловине контейнера и чаще всего отскакивают от центральной перегородки,

однако периодически часть молекул пролетает сквозь отверстие на другую

половину. Можно предположить, например, что молекулы отскакивают от

перегородки в 995 случаях из 1000, но полпроцента из них при каждом стол-

кновении (которое случается, скажем, каждую секунду) умудряется пробрать-

ся в другую часть контейнера.

 

Рис. 8.1. Контейнер, полный молекул газа, посередине которого установлена перегородка

с отверстием. Каждую секунду у каждой молекулы есть крошечный шанс пролететь сквозь

отверстие на другую сторону

 

Глава 8. Энтропия и беспорядок

 

 

Этот пример весьма специфичен и тем удобен; мы можем в деталях изучить

каждый вариант развития событий и описать, что при этом происходит.1 Про

каждую молекулу в левой половине контейнера мы можем сказать, что каждую

секунду с вероятностью 99,5 % она останется в своей половине, а с вероятно-

стью 0,5 % переместится в противоположную; то же самое верно для правой

половины контейнера. Это правило абсолютно инвариантно относительно

обращения времени: если снять на пленку движение произвольной частицы,

подчиняющейся этому правилу, то при просмотре фильма невозможно будет

сказать, вперед или назад по времени воспроизводится запись. На уровне от-

дельных частиц прошлое и будущее совершенно идентичны.

На рис. 8.2 мы изобразили один из возможных вариантов; как всегда,

значение времени увеличивается снизу вверх. В контейнере 2000 «молекул

воздуха», и в момент времени t = 1 в левой части находится 1600 молекул,

а в правой — только 400. (Пока что вы не должны спрашивать, почему перво-

начальная конфигурация выбрана именно такой, хотя позже, когда мы заменим

«контейнер» на «Вселенную», мы начнем задавать подобные вопросы.)

Итак, мы наблюдаем за молекулами, летающими внутри контейнера и отска-

кивающими от стенок, и то, что происходит далее, нас совсем не удивляет.

Каждую секунду любая молекула с небольшой вероятностью может перелететь

на другую половину, но поскольку в самом начале в одной части контейнера

существенно больше молекул, чем в другой, в целом наблюдается тенденция

к выравниванию. (В точности как с температурами в формулировке второго

начала термодинамики, предложенной Клаузиусом.) Пока в левой части

контейнера молекул больше, общее количество молекул, пролетающих сквозь

отверстие слева направо, превышает количество молекул, перемещающихся

в обратном направлении. Через 50 секунд мы увидим, что количества молекул

в обеих частях начинают выравниваться, а через 200 секунд они станут прак-

тически равными.

Очевидно, что этот контейнер — еще одна иллюстрация существования

стрелы времени. Даже если бы мы не указали моменты времени на различных

конфигурациях, показанных на рисунке, большинство людей без труда угадали

бы, что было в начале, а чем все закончилось. Нас не удивляет тот факт, что

концентрация молекул воздуха выравнивается, но мы бы были поражены, если

бы все (или почти все) молекулы внезапно собрались в одной половине кон-

тейнера. «Прошлое» — это с той стороны стрелы времени, где объекты на-

ходятся в более разделенном состоянии, тогда как «будущее» — это там, где

они перемешались, а их концентрация выровнялась. То же самое происходит,

когда вы наливаете в чашку кофе ложку молока и две жидкости смешиваются.

 

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

 

t = 200

 

 

t = 50

 

 

t =1

 

 

Рис. 8.2. Поведение 2000 молекул газа в контейнере с перегородкой. В самом начале 1600 мо-

лекул находятся в левой части контейнера и 400 молекул — в правой. Через 50 секунд

в левой половине остается около 1400 молекул, а в правой их число уже составляет 600.

По истечении 200 секунд молекулы равномерно распределены между двумя половинами

контейнера

 

Конечно же, это всего лишь статистическая картина, а не абсолютная

действительность. Я хочу сказать, что вполне вероятна ситуация, когда вна-

чале слева и справа в контейнере будет одинаковое число молекул, а потом

по удивительному стечению обстоятельств большинство частиц соберется

в какой-то одной половине, образовав очень неравномерное распределение.

Как мы увидим далее, вероятность такого исхода невелика, и чем больше

⇐ Предыдущая15161718192021222324Следующая ⇒ Поделиться с друзьями: Дата добавления: 2016-12-04; Мы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 539 | Нарушение авторских прав Поиск на сайте: Лучшие изречения: 80% успеха - это появиться в нужном месте в нужное время. © Вуди Аллен ==> читать все изречения... 1504 - | 1342 - © 2015-2024 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.712 с.