Контейнер с газом возвращается

Для примера мы могли бы вычислить энтропию показанного на рис. 8.2 кон-

тейнера с газом, внутри которого есть перегородка с небольшим отверстием.

Наша макроскопическая наблюдаемая — это полное количество молекул

в левой или правой половине контейнера (нам неизвестно, что это за молекулы,

где они находятся и какие у них импульсы). Величина W в данном примере —

это всего лишь число способов распределить 2000 частиц между двумя поло-

винами контейнера так, чтобы их количество в каждой половине оставалось

постоянным. Если слева 2000 частиц, то W равно 1, а lg W равен 0. Еще не-

сколько вариантов перечислено в табл. 8.1.

 

Глава 8. Энтропия и беспорядок

 

 

Таблица 8.1. Количество расположений W и логарифм этого значения, вычислен-

ные для контейнера с 2000 частицами, часть из которых находится слева от пере-

городки, а часть — справа

 

На рис. 8.3 представлено изменение энтропии (в определении Больцмана)

со временем в нашем контейнере с газом. Я перемасштабировал график так,

чтобы максимальное значение энтропии контейнера равнялось 1. Начальное

значение энтропии относительно невелико — оно соответствует первой кон-

фигурации на рис. 8.2, где в левой части контейнера находится 1600 молекул,

а в правой — только 400. По мере того как молекулы постепенно просачива-

ются сквозь отверстие в центральной перегородке, энтропия увеличивается.

Это лишь один пример эволюции системы; поскольку наш «закон физики»

(каждую секунду у каждой частицы есть 0,5-процентная вероятность попасть

на другую сторону) включает вероятностную составляющую, движение систе-

мы в разных экспериментах неизбежно будет отличаться в деталях. Однако

в подавляющем большинстве случаев энтропия все же будет увеличиваться,

поскольку система тяготеет к макроскопическим конфигурациям, соответству-

ющим большему числу микроскопических расстановок. Второе начало термо-

динамики в действии.

Согласно Больцману и коллегам, это и есть источник стрелы времени. Сна-

чала у нас имеется лишь набор микроскопических законов физики, инвариант-

ных относительно обращения времени: для них прошлое и будущее неразли-

чимы. Однако мы имеем дело с системами, включающими огромное количество

частиц, для полного описания состояния которых нам не требуется отслеживать

Число частиц слева / справа W lg W 2000 / 0     1999 / 1   3,3 1998 / 2 1999 000 6,3 1997 / 3 1331 334 000 9,1 … … … 1000 / 1000 2 ∙ 10 600,3 … … … 3 / 1997 1331 334 000 9,1 2 / 1998 1999 000 6,3 1 / 1999   3,3 0 / 2000

 

 

1,1

 

 

0,9

 

0,8

 

0,7

 

0,6

 

Часть III. Энтропия и ось времени

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 8.3. Увеличение энтропии в контейнере с перегородкой, содержащем молекулы газа.

Вначале большая часть молекул сосредоточена в левой половине, но со временем распределе-

ние выравнивается (см. рис. 8.2). Соответственно увеличивается и энтропия, поскольку су-

ществует гораздо больше способов равномерно поделить молекулы между двумя отсеками

контейнера, чем собрать их все с одной или с другой стороны. Для удобства мы показываем

энтропию в единицах ее максимального значения, которое на данном графике равно единице

 

каждую деталь — мы следим лишь за некоторыми поддающимися наблюдению

макроскопическими величинами. Энтропия — это мера числа микроскопиче-

ских состояний, неразличимых с точки зрения макроскопического наблюдате-

ля (и под этим заявлением мы подразумеваем, что она пропорциональна лога-

рифму этого числа). В предположении, что система развивается по направлению

к макроскопическим конфигурациям, соответствующим большему количеству

возможных состояний, естественно говорить о том, что со временем энтропия

увеличивается.

В частности, было бы очень странно, если бы она внезапно уменьшилась.

Стрела времени появляется потому, что система (или Вселенная) с течением

времени естественным образом переходит от редких конфигураций к более

общим.

Все это на первый взгляд кажется весьма правдоподобным, и в конечном

итоге мы убедимся, что это действительно так. Но в ходе наших рассуждений

мы сделали несколько «обоснованных» логических скачков, заслуживающих

более тщательного рассмотрения. В оставшихся разделах этой главы мы про-

льем свет на различные предположения, которые необходимо сделать для

больцмановской интерпретации энтропии, и попробуем решить, насколько

они оправданны.

 

Глава 8. Энтропия и беспорядок