В пятницу вечером вы выбрались с друзьями в клуб поиграть в бильярд. Сейчас
мы говорим о бильярде из реального мира, а не о «бильярде физиков», в кото- 
Глава 8. Энтропия и беспорядок
ром мы пренебрегаем трением и шумом.11 Один из ваших друзей только что
эффектно разбил пирамиду. Раскатившиеся по столу шары остановились, вы
принялись обдумывать свой следующий удар, и вдруг проходящий мимо не-
знакомец восклицает: «Ух ты! Это невероятно!»
В недоумении вы спрашиваете, что же тут невероятного, и слышите в ответ:
«Вы только посмотрите: все эти шары оказались ровно в этих точках на столе!
Какова вероятность того, что вам когда-либо удастся расположить их в точ-
ности таким же образом? Да вы не сможете повторить этого и за миллион лет!»
От загадочного незнакомца попахивает безумием — наверное, он немного
свихнулся, читая слишком много философских трактатов об основах статисти-
ческой механики. Однако в его словах есть определенный смысл. На столе
с несколькими шарами появление любой заданной конфигурации крайне мало-
вероятно. Представьте, что вы запустили биток в группу случайным образом
расставленных по столу шаров, а они, покатавшись туда-сюда, остановились
ровно в тех же точках, в которых находились до удара. Увидев такое, вы были
бы поражены до глубины души! Однако вероятность данной конфигурации
(конечные положения в точности совпадают с начальными) не больше и не
меньше вероятности любого другого расположения шаров на столе.12 Имеем
ли мы право выделять ее на фоне других, называя «поразительной» или «не-
вероятной», а все остальные именовать «непримечательными» или «случай-
ными»?
Этот пример превосходно иллюстрирует центральный вопрос больцманов-
ского определения энтропии и понимания второго начала термодинамики: кто
решает, можно ли считать два данных микроскопических состояния системы
одинаковыми с нашей, макроскопической, точки зрения?
Формула для энтропии, выведенная Больцманом, основывается на величи-
не W, которую мы определили как «количество способов разместить микро-
скопические составляющие системы так, чтобы ее макроскопический образ не
изменился». В предыдущей главе мы определили «состояние» физической
системы как полный набор информации, необходимой для однозначного опи-
сания ее движения с течением времени; в классической механике это положения
и импульсы всех составляющих систему частиц. Теперь, когда мы рассматрива-
ем статистическую механику, удобно использовать термин «микросостояние»,
подразумевая точное состояние системы, в противоположность «макрососто-
янию», включающему лишь те характеристики, которые поддаются наблюдению
с макроскопической точки зрения. В этом случае можно дать величине W
краткое определение: число микросостояний, соответствующих данному ма-
кросостоянию.
Часть III. Энтропия и ось времени
Для контейнера с газом, разделенного перегородкой на две половины,
микросостоянием в любой момент времени является список положений и им-
пульсов всех молекул газа. Однако нас интересовало только, сколько молекул
находится слева от перегородки, а сколько — справа. Неявным образом каждый
вариант деления группы молекул на части — сколько-то слева, а оставшиеся
справа — определял «макросостояние» контейнера. А когда мы вычисляли
значения W, мы всего лишь подсчитывали количество микросостояний, соот-
ветствующих данному макросостоянию.13
Раньше решение не отслеживать ничего, кроме количества молекул в каждой
половине контейнера, казалось нам совершенно безобидным. Но мы могли бы
следить и за массой других параметров. Имея дело с атмосферой в настоящей
комнате, мы можем учитывать намного больше параметров, чем просто коли-
чество молекул в каждой части помещения: например, отслеживать темпера-
туру, плотность и атмосферное давление в каждой точке комнаты или, по
крайней мере, в некотором наборе точек. Если в атмосфере содержится смесь
газов, то мы могли бы по отдельности следить за плотностью и другими пара-
метрами каждого из газов. В любом случае, объем информации, которым нам
пришлось бы при этом манипулировать, все равно был бы намного меньше, чем
если бы мы записывали положения и импульсы всех молекул в комнате. Тем не
менее процедура выбора, какую информацию относить к макроскопическим
характеристикам, а какую отбрасывать как несущественную составляющую
микросостояния, определена недостаточно четко.
Процесс деления пространства микросостояний какой-то физической систе-
мы (газ в контейнере, стакан воды или Вселенная) на наборы, которые мы по-
мечаем как «макроскопически неразличимые», называется «огрублением». Это
такая черная магия, играющая критически важную роль в наших рассуждениях
об энтропии. Рисунок 8.5 демонстрирует, как она работает: мы всего лишь делим
пространство всех состояний системы на области (макросостояния), которые
с точки зрения макроскопического наблюдателя кажутся одинаковыми. Каждая
точка внутри любой такой области соответствует одному из микросостояний,
а энтропия, связанная с данным микросостоянием, пропорциональна логарифму
площади этой области, которому это микросостояние принадлежит (в действи-
тельности не площади, а объема, так как мы говорим о чрезвычайно многомерном
пространстве). При взгляде на подобную схему становится очевидно, почему
энтропия имеет тенденцию к увеличению: как правило, система развивается по
направлению от состояний с низкой энтропией, соответствующих крошечной
части пространства состояний, к состояниям из объемных областей, с которыми
связаны большие значения энтропии.
Глава 8. Энтропия и беспорядок
Рис. 8.5. Процедура огрубления представляет собой разделение пространства всех воз-
можных микросостояний на области, считающиеся неразличимыми с макроскопической
точки зрения, — макросостояния. С каждым макросостоянием связано значение энтропии,
пропорциональное логарифму объема этого макросостояния в пространстве состояний.
Размер областей с низкой энтропией увеличен в целях наглядности; в действительности они
чрезвычайно малы по сравнению с областями с высокой энтропией
Рисунок 8.5 не масштабирован; если бы мы хотели представить реальную
систему, то макросостояния с низкой энтропией занимали бы намного меньшую
площадь по сравнению с площадью, отведенной под макросостояния с высокой
энтропией. Как мы убедились на примере с поделенным на две части контей-
нером, количество микросостояний, соответствующих макросостояниям
с высокой энтропией, куда больше количества микросостояний, определяющих
макросостояния с низкой энтропией. Нет ничего удивительного в том, что
система с низкой начальной энтропией перейдет в более объемные области
пространства состояний, к макросостояниям с высокой энтропией. Если же
вначале система обладает высокой энтропией, то она может очень долго блуж-
дать по пространству состояний, не встречая при этом областей с низкой эн-
тропией. Вот что мы имеем в виду, говоря, что система находится в равновесии:
она не находится в статическом микросостоянии, просто никогда не выходит
из области, соответствующей макросостоянию с высокой энтропией.
Все эти рассуждения могут показаться вам нелепыми. Два микросостояния
принадлежат одному и тому же макросостоянию, если они макроскопически
неразличимы. Но это всего лишь один из способов сказать: «…когда мы не
можем отличить одно от другого, основываясь на своих макроскопических
|
Часть III. Энтропия и ось времени
наблюдениях». Именно это «мы» и должно вызывать у вас тревогу. Почему
вообще мы приплели сюда какие-то свои способности? Мы говорим об энтро-
пии как о характеристике всего мира, а не как об одной из сторон нашего умения
воспринимать мир. Два стакана воды находятся в одном и том же макрососто-
янии, если весь объем воды в них имеет одинаковую температуру, даже если
распределения положений и импульсов молекул воды в них отличаются, по-
тому что мы не можем непосредственно измерить эти величины. Однако пред-
ставьте себе, что нам встретилась раса супернаблюдательных инопланетян,
способных впериться взором в толщу воды и увидеть положения и импульсы
каждой заключенной там молекулы. Неужели эта раса вправе будет заявить, что
энтропии вообще не существует?
Ученые, работающие в области статистической механики, пока что не при-
знали единственно верным ни один из возможных ответов на озвученные выше
вопросы (если бы это произошло, то мы бы только его и рассматривали). Да-
вайте обсудим пару мнений.
Прежде всего, многие считают, что это вообще не важно. То есть вам-то
может быть очень даже важно, как именно вы будете объединять микрососто-
яния в макросостояния в целях какой-то конкретной актуальной для вас физи-
ческой задачи, но в конечном итоге не имеет значения, как вы сделаете это, если
единственная ваша цель — доказать истинность какого-то утверждения вроде
второго начала термодинамики. Если посмотреть на рис. 8.5, станет понятно,
почему второе начало термодинамики работает: в пространстве состояний
гораздо больший объем отведен под состояния с высокой энтропией, чем
с низкой, поэтому если мы начнем путешествие из последнего состояния, нет
ничего удивительного в том, что в итоге мы окажемся в первом. Однако так
будет всегда, независимо от того, как мы отсортируем микросостояния. Второе
начало термодинамики непоколебимо; оно зависит от определения энтропии
как логарифма от некоего объема внутри пространства состояний, но не от
точного способа выбрать этот объем. Как бы то ни было, на практике из мно-
жества альтернатив мы выбираем что-то одно, поэтому такая прозрачная по-
пытка избежать прямого ответа не может нас полностью удовлетворить.
Второе мнение заключается в том, что выбор — как именно провести
огрубление — не может быть абсолютно произвольным и зависящим от чело-
века, даже если без определенной степени предвзятости не обойтись. Действи-
тельно, мы сортируем микросостояния естественным, на наш взгляд, образом,
учитывая реальные физические условия, а не собственные прихоти. Например,
наблюдая за температурой и давлением в стакане воды, мы отбрасываем ту
информацию, получить которую можно лишь путем изучения содержимого
Глава 8. Энтропия и беспорядок
данного стакана под микроскопом. Мы определяем средние свойства в отно-
сительно небольших областях пространства, потому что так работают наши
органы чувств. Определившись с доступными критериями огрубления, мы
получаем относительно хорошо определенный набор поддающихся макроско-
пическому наблюдению величин.
Усреднение величин в небольших областях пространства — это не случай-
ный метод и не специфическая особенность функционирования человеческих
органов чувств в противоположность органам чувств гипотетических ино-
планетян. Это совершенно естественный подход с учетом того, как работают
законы физики.14 Когда я среди нескольких чашек кофе отмечаю те, куда только
что вылили ложку молока, и те, в которых молоко уже хорошенько перемешали
с основным содержимым, мои решения, к какой категории «состояний кофе»
отнести ту или иную чашку, не случайны; я руководствуюсь тем, как кофе, с моей
точки зрения, выглядит — непосредственно и феноменологически. Итак, даже
если, в принципе, наш подход к огрублению микросостояний в макросостояния
кажется абсолютно произвольным, в действительности мудрая природа одари-
ла нас умением делать это правильно и разумно.
