Рост денежных средств при начислении простых и сложных процентов

Пример

Дано: PV = 10т.р. i=10%

а) n = 2; n =1/2; n = 2,5;

Определить: FV =?;

Решение.

а) FV = 10(1 + 0,1) ² = 12,1т.р.

б) FV = 10(1 + 0,1) ^1/2 = 10,488т.р.

FV = 10(1 + ½ 0,1) = 10,5т.р

в) FV = 10(1 + 0,1) ² (1 + ½ 0,1) = 12,705т. р.

FV = 10(1 + 0,1) ^2,5 =12,690т.р

Период начисления меньше года(m-кратное начисление процентов)

Jm – номинальная ставка, начисляемая m-раз в год

Продолжительность операции один год:

на конец первого периода начисления –FV = PV+PVj/m= PV(1+j/m)

через m-периодов (конец года) FV = PV(1+j/m)^m

Продолжительность операции n - лет: FV = PV(1+j/m) ^{(m х n)}

Эффективная процентная ставка (эквивалентная)

(1 + iэ) ⁿ = (1+j/m)^mn

(1 + iэ) = (1+j/m)^{m (339)}

iэ = (1+j/m)^m –1

Вычисление номинальной ставки, начисляемой m-раз в год на основе эффективной ставки.

Пример: Дано: PV = 10т.р.

а) i=10%

б) J2 = 10%;

в) J4 = 10%;

г) J12 = 10%;

Определить: FV =?; iэ =?

Решение.

а) FV = 10(1+0,1) = 11,0 т. р. (340)

Продолжение

б) FV = 10(1+0,1/2) ² = 11,025 т.р. (341)

iэ = (1+0,1/2) ² –1 = 10,25%

в) FV = 10(1+0,1/4) ⁴ = 11,038 т.р. (342)

iэ = (1+0,1/4) ⁴ –1 = 10,38%

г) FV = 10(1+0,1/12) ¹² = 11,047 т.р. (343)

iэ = (1+0,1/12) ¹² –1 = 10,47% (344)

 

Задача 19.

Непрерывное начисление процентов

Множитель наращения:

Где: д - сила роста (номинальная ставка)

℮ - основание натуральных логарифмов (2,718)

Будущая стоимость:

Пример

Дано: PV = 10т.р.; δ = 10%

Определить: FV =?; iэ =?

Решение.

FV = 10 ℮ ^0,1 = 10 х (2, 718…)^0,1 =11,052т.р. (345)

iэ = 2, 718…^0,1 –1 = 0,1052 (10,52%) (346)

Задача дисконтирования по сложной процентной ставке (математическое дисконтирование)

Пример

Дано: FV = 20т.р.;n = 4

а) i = 10%; б) j4 = 10%

Определить: PV =?

Решение:

а) FV = 20/(1 + 0,1) ⁴ = 13,66 т.р. (347)

б) FV = 20/(1 + 0,1/4) ¹⁶ = 13,47 т.р. (348)

 

Задача 20.

Задача дисконтирования по сложной учетной ставке(банковский учет) Срок операции больше года Начисление ставки один раз в год:

 

PV = FV(1-d) ^{n (345)}

M-кратное начисление ставки

fm – номинальная учетная ставка, начисляемая m – раз в год

PV = FV(1-f/m) ^{(m х n)}

Эффективная учетная ставка

(1-dЭ) = (1-f/m) ^{m (346)}

dЭ = 1- (1-f/m) ^{m (347)}

Пример.

Дано: FV = 20т.р.; n = 5 лет; f4 = 5%

Определить: PV =?; dэ =?

Решение:

PV = 20 х (1 – (0,05/4) ^4x5 = 15,552 т.р. (348)

Dэ = 1 - (1 – (0,05/4)⁴ = 0,049 то есть = 4,9% (349)

 

Задача 21.

Наращение по сложной учетной ставке.

Срок операции больше года. Определение величины сложных ставок

Определение сложной процентной ставки

Определение сложной учетной ставки

Пример.

Дано: PV = 1000 руб.;FV =2595руб.; n = 10 лет;

Определить:i =?;

Решение:

i = (2595/ 1000) ^1/10 - 1 = 0,1 (350)

 

Задача 22

Учет инфляции при определении эффективности финансовых операций

Показатели инфляции:

Iцен

2. (Iцен – 100) = Y(%) – уровень инфляции

Исчисление будущей стоимости с учетом инфляции

Ставка фактической доходности (эквивалентная)

Пример

PV= 100т.р.

i = 90%; Yгод = 50%

 

Задача 23.

Финансовые потоки

Нерегулярные денежные потоки

Параметры финансовых потоков:

Rt –суммарный платеж в t – срок

t – время от начала потока платежей до момента выплаты (t = 0, …, n)

N – срок финансовой операции

I – ставка наращения

Наращенная стоимость

Потока платежей

Пример R01.07.00. = 50 т.р.(t=0); R01.01.01.=150 т.р.(t=0,5); R01.01.03. = 180т.р.(t=2,5)
Возврат – 01.01.04(n=3,5)
i=8%
Текущая стоимость
потока платежей

Пример

R01.07.00. =50 т.р.(t=0); R01.01.01. =150 т.р.(t=0,5); R01.07.03.=180 т.р.(t=2,5);

 

Задача 24.

Финансовые потоки Регулярные денежные потоки (финансовая рента, аннуитет)

Параметры аннуитета:

R – суммарный годовой платеж

p – число платежей в году (размер разового платежа - R/p)

t – время от начала потока платежей до момента выплаты (t = 0, …, n)

N – срок финансовой операции

i;(jm) – сложная процентная ставка (начисляемая m-раз в год)

Наращение регулярного финансового потока(p=1; m=1)

Суммарная будущая стоимость аннуитета

Наращенная стоимость постоянного срочного аннуитета postnumerando (m=1, p=1)

Пример

R = 50

i = 10%

n = 4 года; p=1; m=1

Наращенная стоимость постоянного срочного аннуитета prenumerando (m=1, p=1)

Наращенная стоимость постоянного срочного аннуитета postnumerando (m=р¹1)

Условия предыдущего примера но m=2; p=2

Наращенная стоимость постоянного срочного аннуитета postnumerando (m>р.;p=1)

Наращенная стоимость постоянного срочного аннуитета postnumerando (m>р; p=1)

Условия предыдущего примера, но m = 2;p = 1

Наращенная стоимость постоянного срочного аннуитета postnumerando (p>m, m=1).

Условия предыдущего примера, но р. = 2;m=1

Наращенная стоимость постоянного срочного аннуитета postnumerando

Пример 4

р =2; n=2; m=4; j=80%

FVf = 500млн.р.

 

Задача 25.

Дисконтирование регулярного финансового потока (аннуитета)

Современная стоимость постоянного срочного аннуитета postnumerando (p= m=1)

Пример 5

R=2млн.р.

P= 1; m= 1; i= 10%; n= 4

PVf=?

Вечная рента i=5%

Пример

R=1200

P= 1; m= 1; i= 10%; n= 20

PVf =?

Пример

R=1200

P= 1; m= 1; i= 10%; n = вечно

PVf =?

Современная стоимость постоянного срочного аннуитета prenumerando (p= m=1)

 

 

Раздел 4

Применение пакетов прикладных программ для решения экономико математических моделей

Использование оптимизационных моделей для решения управленческих задач.

 

В управлении и экономике оптимизационные задачи возникают в связи с многочисленностью возможных вариантов функционирования конкретного объекта. В таких случаях возникает ситуация выбора варианта, наилучшего по какому-либо критерию, например, минимум затрат, максимум объема продаж и так далее.

Оптимизационные модели отражают в математической форме смысл конкретной задачи. Эти модели при заданных исходных данных задачи позволяют получить множество решений, удовлетворяющих условиям задачи, и обеспечивают выбор оптимального решения, удовлетворяющего критерию оптимальности.

Наиболее известны следующие оптимизационные модели:

· модели определения оптимальной производственной программы;

· модели оптимального смешивания компонентов;

· модели оптимального раскроя;

· модели оптимального вложения средств в рекламу;

· модели формирования штатного расписания предприятия;

· модели транспортной задачи и др.

В связи с этим современному менеджеру важно уметь использовать оптимизационные модели на практике при решении конкретных управленческих задач.

Для этого необходимо овладеть методологией их построения, навыками решения и анализа полученных результатов, а также практического использования результатов при обосновании управленческих решений.

Методические рекомендации по решению оптимизационных задач в среде ППП Excel.

 

Для решения оптимизационных задач в Excel используется надстройка Поиск решения. В случае отсутствия в меню Сервис команды Поиск решения необходимо ее загрузить. Для этого выберите команду Сервис/Надстройки и активизируйте надстройку Поиск решения.

После выбора команды Сервис/Поиск решения появится диалоговое окно Поиск решения. В этом окне есть три основных параметра:

· установить целевую ячейку;

· изменяя ячейки;

· ограничения.

Сначала нужно заполнить поле Установить целевую ячейку. Во всех задачах для средства Поиск решения оптимизируется результат в одной из ячеек рабочего листа. Целевая ячейка связана с другими ячейками этого рабочего листа с помощью формул. Средство Поиск решения использует формулы, которые дают результат в целевой ячейке, для проверки возможных решений. Можно выбрать поиск наибольшего ил наименьшего значения в целевой ячейке или установить конкретное значение.

Второй важный параметр средства Поиск решения – это параметр, Изменяя ячейки. Изменяемые ячейки – это те ячейки, которые отводятся для искомых переменных. Значения в этих ячейках будут изменяться в процессе решения задачи для того, чтобы оптимизировать результат в целевой ячейке. Для поиска решения можно указать диапазон до 200 изменяемых ячеек. К изменяемым ячейкам предъявляется два основных требования:

1. изменяемые ячейки должны содержать формулы;

2. изменение их значений должно отражаться на изменении результата в целевой ячейке.

Таким образом, целевая ячейка зависит от изменяемых ячеек.

Третий параметр Поиска решения – это Ограничения. Этот параметр служит для указания предельных значений в некоторых ячейках, изменяющихся в процессе поиска решения.

Для решения задачи необходимо:

1. Указать адреса ячеек, в которые будет помещен результат решения (изменяемые ячейки).

2. Ввести исходные данные.

3. Ввести зависимости для целевой функции.

4. Ввести зависимости для ограничений.

5. Запустить команду Поиск решения.

6. Указать адрес целевой ячейки и ее назначение (максимальное значение, минимальное значение или конкретное значение)

7. Ввести ограничения.

8. Ввести параметры для задач линейного программирования в окне, открывающемся с помощью кнопки Параметры в диалоговом окне Поиск решения.

Рассмотрим порядок решения оптимизационных задач на конкретном примере.

Задача.

В швейной мастерской планируется наладить выпуск четырех видов костюмов: женских, мужских, подростковых и детских. На женский костюм требуется 1м шерсти, 2м лавсана и 3 человеко-день трудозатрат.

На мужской костюм требуется 2м шерсти, 1м лавсана и 3 человеко-день трудозатрат. На подростковый костюм требуется 1м шерсти, 1м лавсана и 1 человеко-день трудозатрат. На детский костюм требуется 1м лавсана и один человеко-день трудозатрат. Всего имеется 18м шерсти, 30м лавсана и 40 дней человеко-день трудозатрат. Требуется определить, сколько костюмов каждого видов необходимо сшить для обеспечения максимальной прибыли, если прибыль от реализации женского костюма составляет 18 денежных единиц, от мужского – 7 денежных единиц, подросткового – 12 денежных единиц и от детского – 10 денежных единиц.

 

Построение математической модели задачи.

Введем следующие обозначения:

x₁ – количество женских костюмов;

x₂ – количество мужских костюмов;

x₃ – количество подростковых костюмов;

x₄ – количество детских костюмов.

Прибыль от реализации всех женских костюмов составляет 18 Х₁, мужских – 7 Х₂, подростковых - 12 Х₃, детских - 10 Х₄. Запишем критерий оптимальности:

F(x)=18*x₁+7*x₂+12*x₃₊10*x₄®max (351)

Ограничения имеют вид:

1*х1+2*х₂+1*х₃+0*х₄<=18 ограничение по шерсти

2*х₁+1*х₂+1*х₃+1*х₄<= 30 ограничение по лавсану

3*х₁+3*х₂+1*х₃+2*х₄<=40 ограничение по труду

х₁>=0, х₂>=0, х₃>=0, х₄>=0.

Решение задачи.

1. Выбор и указание адресов ячеек, в которые будет помещен результат решения (изменяемые ячейки).

В нашей задаче х₁, х₂, х_3, х₄ обозначают количество костюмов каждого типа. Для оптимального значения вектора Х=(х₁, х₂, х_3, х₄) зарезервируем ячейки B2:Е2, а для оптимального значения целевой функции (максимальная прибыль) – ячейку F4.

2. Ввод исходных данных.

Введем исходные данные, как показано на рисунке.

 

Рисунок 171.

Для удобства чтения будущих отчетов присвойте имена следующим ячейкам:

F6 – шерсть_м;

F7 – лавсан_м;

F8 – труд_чел_дн;

В4 – прибыль_1_жен_кост;

С4 – прибыль_1муж_кост;

D4 – прибыль_1 подр_кост;

Е4 – прибыль_1 дет_кост;

F4 – суммарная прибыль.

3. Ввод зависимости для целевой функции.

Поместите курсор в ячейку F4. С помощью мастера функций введите функцию СУММПРОИЗВ. В окне функции в строку Массив1 введите В2:Е2 (ячейки искомых переменных. Этот массив будет использоваться при вводе зависимостей для ограничений, сделайте на него абсолютную ссылку с помощью клавиши F4.

В строку Массив2 введите А3:В3. На экране до нажатия кнопки ОК будем иметь:

Рисунок 172.

После нажатия кнопки ОК, то есть после выполнения функции СУММПРОИЗВ вид экрана показан на рисунке 172.

Напомним, что адреса ячеек во все диалоговые окна удобно вводить не с клавиатуры, а протаскивая мышь по ячейкам, адреса которых следует ввести.

Рисунок 173.

4. Ввод зависимостей для ограничений.

Скопируйте формулу из ячейки F4 в ячейки F6:F8. Экран примет вид:

Рисунок 174.

Проверьте введенные формулы в режиме просмотра формул (см. рисунок).

Рисунок 175.

5. Запустите команду Поиск решения. Появится диалоговое окно Поиск решения (рисунок176):

Рисунок 176.

6. Установка целевой ячейки, указание назначения целевой функции, указание адресов изменяемых ячеек.

· В окне Установить целевую ячейку введите адрес $F$4.

· Отметьте точкой направление целевой функции в зависимости от условий вашей задачи: в данном случае равной Максимальному значению.

· В окно Изменяя ячейки ввести адреса искомых переменных $B$2:$E$2.

7. Ввод ограничений.

· Нажмите кнопку Добавить. Появится диалоговое окно Добавление ограничения (Рисунок):

Рисунок 177.

· В строке Ссылка на ячейку введите адрес $F$6.

· Ввести знак ограничения, в данном случае <=.

· В строке Ограничение введите адрес $H$6.

· Нажмите на кнопку Добавить.

· Аналогично введите остальные ограничения.

· После ввода последнего ограничения нажмите на кнопку ОК.

На экране появится диалоговое окно Поиск решения (Рисунок 8).

Рисунок 178.

8. Ввод параметров.

· В диалоговом окне Поиск решения нажмите кнопку Параметры. На экране появится диалоговое окно Параметры поиска решения (Рисунок 9).

· Установите флажки в окнах Линейная модель (это обеспечит применение симплекс-метода) и Неотрицательные значения.

· Нажмите на кнопку ОК. На экране появится диалоговое окно Поиск решения.

· Нажмите на кнопку Выполнить.

Через короткий промежуток времени появится окно Результаты поиска решения и исходная таблица с заполненными ячейками В2:Е2 для значений х_i, и ячейка F4 с максимальным значением целевой функции (Рисунок 179).

Рисунок 179.

Укажите тип отчетов Результаты и Устойчивость. В результате получим на отдельных листах Отчет по результатам и Отчет по устойчивости.

На листе, на котором строилась модель, появилось решение задачи: для обеспечения максимальной прибыли в размере 326 денежных единиц необходимо сшить 18 подростковых костюмов и 10 детских. Мужские и женские костюмы шить не следует.

Распечатайте лист, на котором строилась модель, лист с Отчетом по результатам и лист с Отчетом по устойчивости.

Ваши отчеты будут иметь вид:

 

 

Рисунок 180.

Структура отчета по результатам.

 

В разделе Целевая ячейка указана максимальная суммарная прибыль – 326 денежных единиц.

В разделе Изменяемые ячейки показан оптимальный план:

Х1 (количество женских костюмов) –0;

Х2 (количество мужских костюмов) – 0;

Х3 (количество подростковых костюмов) – 18;

Х4 (количество детских костюмов) – 11.

В разделе Ограничения показано, что при оптимальном плане ресурсы Шерсть и Труд используются полностью (Статус – связанное), а Лавсан недоиспользуется, о чем сообщает Статус – несвязанное.

 

Структура отчета по устойчивости.

В разделе Ограничения есть параметр Теневая цена, который показывает, как влияет увеличение 1 единицы ресурсов на увеличение значения целевой функции. Например, если увеличить запас шерсти на 2м, то прибыль увеличится на 7х2=14 денежных единиц.

По дефицитным видам ресурсов (полностью использованными в оптимальном плане) теневая цена >0, причем самым дефицитным является тот ресурс, у которого теневая цена максимальна.

У недефицитных ресурсов (Лавсан) теневая цена равна 0.

Например, подсчитаем, как изменится суммарная прибыль (целевая функция), если запасы шерсти увеличить на 5 метров, запасы лавсана уменьшить на 2 метра, а труд уменьшить на 4 единицы. Для этого вычислим выражение:

4´7+0´2-5´4=8

То есть, в данном случае суммарная прибыль увеличится на 8 единиц.

Двумя правыми колонками задается допустимый диапазон изменения запаса ресурсов. При изменении запаса ресурсов в указанном диапазоне значение теневой цены сохраняется.

Для того чтобы узнать, в какой ресурс следует вкладывать средства, то есть увеличить его запасы до предельного значения, нужно для каждого ресурса вычислить произведение его теневой цены на допустимое увеличение:

Шерсть: 7´2=14 денежных единиц

Лавсан: 0´1=0 денежных единиц

Труд: 5´2=10 денежных единиц.

Отсюда делаем вывод, что выгоднее всего вкладывать средства в закупку ресурса Шерсть.

Заметим, что значение 1Е+30 свидетельствует о том, что данный параметр не влияет на целевую функцию.

В разделе Изменяемые ячейки есть параметрНормированная стоимость. С помощью этого параметра сравниваются затраты ресурсов на производство единицы продукции (путем умножения теневой цены на норму расхода) и прибыль от единицы продукции.

По тем видам изделий, где нормированная стоимость >=0, делается вывод, что выпуск этих изделий предприятию выгоден (в нашем случае подростковые и детские костюмы). Если нормированная стоимость <0, то выпуск этого изделия предприятию невыгоден, и выпуск каждой единицы этого изделия снижает суммарную прибыль на указанное значение нормированной стоимости.

Нормированная стоимость вычисляется путем умножения теневой цены каждого ресурса на нормы его расхода на единицу изделия и последующего суммирования их. Например, для изделия х1 (женский костюм) нормированная стоимость будет равна:

7´1+0´2+5´3=22

Прибыль от реализации одного женского костюма составляет 18 денежных единиц, тогда нормированная стоимость будет равна разности прибыли и затрат на одно изделие:

Прибыль-затраты=18-22 =-4.

С помощью теневой цены можно исследовать вопрос о целесообразности выпуска нового вида изделия. Например, стоит ли предприятию выпускать изделие х5, о котором, известно следующее:

· Прибыль от единицы этого изделия составляет 10 денежных единиц

· Затраты шерсти на изготовление одного изделия – 3 метра

· Затраты лавсана на изготовление одного изделия – 2 метра

· Затраты по труду 2 чел_дн.

Рассчитываем нормированную стоимость:

7´3+0´2+5´2=31 -затраты на одно изделие

10-31=-21 - нормированная стоимость.

Следовательно, выпускать изделие х5 предприятию не выгодно.

 

Задача.

Составить штатное расписание больницы, то есть определить, сколько сотрудников, на какие должности и с каким окладом нужно принять на работу. Общий месячный оклад составляет 550000 рублей. При решении нужно принять во внимание, что для нормальной работы больницы требуется 5-6 санитарок, 8-10 медсестер, 10-12 врачей, 1 зав. аптекой, 3 зав. отделениями, 1 глав. врач, 1 завхоз. и
1 зав. больницей. За основу берется оклад санитарки, а все остальные вычисляются, исходя из него: а*х+в, где х-оклад санитарки, а и в – которые, для каждой должности выбираются советом трудового коллектива. Оклад санитарки должен быть не менее 3500 руб. Для решения задачи целесообразно составить таблицу вида:

Таблица 69.

Рекомендуется, в качестве целевой ячейки выбрать ячейку G4 и поместить в нее формулу вычисления суммарной заработной платы. Изменяемыми ячейками являются ячейки, одержащие зарплату санитарки и количества сотрудников каждой должности. В качестве ограничений нужно задать допустимый диапазон варьирования изменяемых ячеек.

Необходимо решить задачу, распечатать лист, где создавалась модель с результатом решения, отчет по результатам и отчет по устойчивости. Сделать анализ отчетов по приведенной выше методике и распечатать его.

Индивидуальные задания.

Дана задача оптимального использования ресурсов с целью обеспечения максимума выпуска продукции в стоимостном выражении. Ресурсы сырья, нормы их расхода, а также цена продукции задана ниже по двенадцати вариантам.

Необходимо построить экономико-математическую модель задачи, решить ее с помощью команды Поиск решения, распечатать решение, отчет по результатам и отчет по устойчивости. На основе их определить по своему варианту следующее:

1. План выпуска продукции, обеспечивающий максимум выпуска продукции в стоимостном выражении.

2. Ценность каждого ресурса и его приоритет при решении задачи увеличения запасов ресурсов.

3. Максимальный интервал изменения запасов каждого вида ресурсов, в пределах которого структура оптимального решения, то есть номенклатура выпускаемой продукции, остается без изменений.

4. Суммарную стоимостную оценку ресурсов, используемых при производстве единицы каждого изделия. Выпуск, какой продукции нерентабелен?

5. На сколько уменьшится стоимость выпускаемой продукции при принудительном выпуске единицы нерентабельной продукции?

6. Интервал изменения цен на каждый вид продукции, при котором сохраняется структура оптимального плана.

Кроме того, в некоторых вариантах необходимо выполнить еще два пункта задания.

По результатам ответов на вопросы студент представляет в письменном виде развернутые ответы.

Задача

Для изготовления четырех видов продукции используется три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цена каждого продукта приведены в таблице 70:

Таблица 70.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие	Запасы сырья
А	Б	В	Г
I
II
III
Цена изделия

7. Как изменится общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II видов на 120 и 160 единиц соответственно и одновременном уменьшении на 60 единиц запасов сырья первого вида?

8. Целесообразно ли включать в план ценой 1ё2 единиц, на изготовление которого расходуется по 2 единицы каждого вида сырья?

Задача

Для изготовления трех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цена каждого продукта приведены в таблице 71:

Таблица 71.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие	Запасы сырья
А	Б	В
I
II
III
Цена изделия

7. Как изменится общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II видов на 4 единицы каждого?

8. Целесообразно ли включать в план изделие Г ценой 13 единиц, на изготовление которого расходуется соответственно 1, 3 и 2ед. каждого вида сырья, и изделие Д ценой 12 ед., на изготовление которого расходуется по 2 ед. каждого вида сырья?

Задача

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цена каждого продукта приведены в таблице 72:

Таблица 72.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие	Запасы сырья
А	Б	В	Г
I
II
III
Цена изделия

7. Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья I и II вида на 8 и 10 ед. соответственно и одновременном уменьшении на 5 ед. запасов сырья III вида?

8. Целесообразно ли включать в план изделие Д ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по 2 ед. каждого вида сырья?

Задача

На основании информации, приведенной в таблице, решить задачу оптимального использования ресурсов для достижения максимума общей стоимости.

Таблица 73.

Ресурсы	Нормы затрат ресурсов на единицу продукции	Запасы ресурсов
I вид	II вид	III вид
Труд
Сырье
Оборудование
Цена изделия

7. Как изменится общая стоимость выпускаемо продукции и план ее выпуска при увеличении запасов сырья на 18 ед.?

8. Целесообразно ли включать в план изделие IV вида, на изготовление которого расходуется по 2 ед. каждого вида ресурсов ценой 70 единиц?

Задача

На предприятии выпускается три вида изделий, и используется при этом три вида сырья.

Таблица 74.

Сырье	Нормы затрат ресурсов на единицу продукции	Запасы сырья
А	Б	В
I
II
III
Цена изделия

7. Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 45 кг, а II вида – уменьшить на 9 кг?

8. Целесообразно ли выпускать изделие Г ценой 11 ед., если нормы затрат сырья составляют 9, 4 и 6кг соответственно?

Задача

Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода ресурсов и цена каждого продукта приведены в таблице 75:

Таблица 75.

Ресурсы	Нормы затрат ресурсов на единицу продукции	Запасы ресурсов
I вид	II вид	III вид
Труд
Сырье I
Сырье II
Оборудование
Цена изделия

7. Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 24 кг?

8. Целесообразно ли выпускать изделие IV ценой 11 ед., если нормы затрат ресурсов на его изготовление составляют 8, 4, 20 и 6 единиц соответственно?

Задача

Предприятие выпускает четыре вида продукции и использует три типа основного оборудования: токарное, фрезерное и шлифовальное. Затраты на изготовление единицы продукции приведены в таблице, в ней же указан общий фонд рабочего времени, а также цена изделия каждого вида.

Таблица 76.

Тип оборудования	Нормы затрат ресурсов на единицу продукции	Общий фонд рабочего времени
А	Б	В	Г
Токарное
Фрезерное
Шлифовальное
Цена изделия

7. Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции м и план ее выпуска, если фонд времени шлифовального оборудования увеличить на 24 часа?

8. Целесообразно ли выпускать изделие Д ценой 11 ед., если нормы затрат оборудования 8, 2 и 2 ед. соответственно?

Вариант 8.

На предприятии выпускается три вида изделий, на которые используется три вида сырья.

Таблица 77.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие	Запасы сырья
А	Б	В
I
II
III
Цена изделия

7. Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 80 кг, а запасы сырья II вида уменьшить на 10кг?

8. Целесообразно ли выпускать изделие Г ценой 7 ед., если нормы затрат сырья на него составляют 2, 4 и 3 кг?

 

Вариант 9.

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цена каждого продукта приведены в таблице 78.

Таблица 78.

Тип сырья	Нормы расхода сырья на одно изделие	Запасы сырья
А	Б	В	Г
I			0,5
II
III
Цена изделия	7,5

7. Как изменится общая стоимость выпускаемой продукции и план ее выпуска, если запас сырья I вида увеличить на 100 кг, а сырья II вида – уменьшить на 150кг?

8. Целесообразно ли выпускать изделие Д ценой 10 единиц, если нормы затрат сырья 2,4 и 1 кг?

Вариант 10.

Предприятие выпускает 2 вида продукции А и Б. Ресурсы предприятия ограничены и составляют: труд – 2500 ед., сырье – 1400 ед., Оборудование – 900 ед. Известны также удельные нормы расходов каждого вида ресурсов на производство единицы каждого вида изделий, прибыль от реализации одной единицы изделия. Составьте оптимальный план производства, обеспечивающий максимум прибыли предприятию.

Таблица 79.

Ресурсы	Нормы затрат ресурсов на единицу продукции	Запасы ресурсов
А	Б
Труд
Сырье
Оборудование
Прибыль на 1 ед. продукции

 

Вариант 11.

Предприятие выпускает 2 вида продукции А и Б. Ресурсы предприятия ограничены и составляют: труд – 200 ед., сырье – 800ед., Оборудование – 950 ед. Известны также удельные нормы расходов каждого вида ресурсов на производство единицы каждого вида изделий, прибыль от реализации одной единицы изделия (у.е.). Составьте оптимальный план производства, обеспечивающий максимум прибыли предприятию.

Таблица 80.

Ресурсы	Нормы затрат ресурсов на единицу продукции	Запасы ресурсов
А	Б
Труд
Сырье
Оборудование
Прибыль на 1 ед. продукции

 

Вариант 12.

Предприятие выпускает 2 вида продукции А и Б. Ресурсы предприятия ограничены и составляют: труд – 1500 ед., сырье – 950 ед., Оборудование – 1250 ед. Известны также удельные нормы расходов каждого вида ресурсов на производство единицы каждого вида изделий, прибыль от реализации одной единицы изделия (у.е.). Составьте оптимальный план производства, обеспечивающий максимум прибыли предприятию.

Таблица 81.

Ресурсы	Нормы затрат ресурсов на единицу продукции	Запасы ресурсов
А	Б
Труд
Сырье
Оборудование
Прибыль на 1 ед. продукции

 

ЗадачаI

 

Составить план перевозок зерна из районов А1, А2, А3, запасы которых составляют соответственно 250, 150 и 100 тыс. ц. в 5 пунктов В1, В2, В3, В4, В5, потребности которых 70, 110, 90, 130, 100 тыс. ц. Затраты на перевозку 1 тыс. ц. зерна приведены в таблице 82.

Таблица 82.

 

	В1	В2	В3	В4	В5
А1
А2
А3

 

Минимизировать общие затраты на реализацию плана перевозок.

Решение:

а). Метод “северо-западного угла”. Установим характер задачи:

 

, итак

Þ модель задачи закрытая. (353)

 

Составим распределительную таблицу 83:

Таблица 83.

 

	B1	B2	B3	B4	B5	ai
A1
A2
A3
bj

 

Итак, получили план X1 такой, что в пункт В1 надо отправить зерна 70 тыс. ц., а в В2 110 тыс. ц. из района А1. В пункт В3 70 тыс. ц. из района А1 и 20 тыс. ц. из района А2. В пункт В4 130 тыс. ц. из района А2 и наконец, в пункт В5 100 тыс. ц из района А3. Суммарные расходы на перевозку зерна составляют:

Z(X1) =70×10+110×4+70×6+20×12+130×7+100×5 =

= 700+440+420+240+910+500=3210 руб.

б). Метод “ минимального элемента “. Составим распределительную таблицу 84:

Таблица 84.

 

	B1	B2	B3	B4	B5	ai
A1
A2
A3
bj

 

В результате полного распределения зерна получаем план X2, для которого значение целевой функции:

Z(X2) =10×10+110×4+130×8+50×5+100×4+10×9+90×5=

=100+440+1040+250+400+90+450=2770 руб.

в). Построение нового улучшенного опорного плана по методу потенциалов.

Рассмотрим опорный план, найденный по методу “минимального элемента”.

Таблица 85.

	B1	B2	B3	B4	B5	ai	ui
A1
A2	+ 5 50				- 4		- 5
A3	- 9				+ 5		- 1
bj
uj

 

Проверяем условие m+n-1=3+5-1=7, число занятых клеток удовлетворяет этому условию.

Для определения потенциалов составляем уравнения:

 

u1+u1=10 Пусть u1=0, тогда u1=10

u1+u2=4 u2=4

u1+u4=8 u4=8

u2+u1=5 u2=5-10=-5

u2+u5=4 u5=4-(-5) =9

u3+u1=9 u3=9-10=-1

u3+u3=5 u3=5-(-1) =6

 

Определяем оценки свободных клеток:

 

S13=6-(6+0) =0 S23=12-(6-5) =11 S34=10-(8-1) =4

S15=20-(9+0) =11 S24=7-(8-5) =4 S35=5-(9-1) =-3

S22=11-(4-5) =12 S32=7-(4-1) =4

 

Так как не все Sij³0, то план не оптимальный. Наиболее перспективной клеткой является клетка (3;

5), так как S35 - наименьшая. С вершиной в клетке (3;

5) строим замкнутый цикл. В него войдут вершины: (3;

5), (3;

1), (2;

1), (2;

5).

Найдем l=min(10; 100) =10, после пересчета получим новый цикл. Заменяя старый цикл на новый, получим следующую таблицу 86:

Таблица 86.

 

	B1	B2	B3	B4	B5	ai	ui
A1	- 10 10		+ 6
A2	+ 5		12		- 4		- 5
A3			- 5		+ 5		- 4
bj
uj

 

Для нового плана определяем новые потенциалы и находим новые оценки свободных клеток:

 

S13=-3 S22=12 S24=4 S32=7

S15=11 S23=8 S31=3 S34=6

 

Так как не все Sij³0, то план не оптимальный. Наиболее перспективной клеткой является клетка (1;

3), так как S13 - наименьшая. С вершиной в клетке (1;

3) строим замкнутый цикл.

Найдем l=min(90; 90;

10) =10, после пересчета получим новый цикл. Заменяя старый цикл на новый, получим следующую таблицу 87:

Таблица 87.

	B1	B2	B3	B4	B5	ai	ui
A1
A2							- 2
A3							- 1
bj
uj

 

Для нового плана определяем новые потенциалы и находим новые оценки свободных клеток:

 

S11=3 S22=9 S24=1 S32=4

S15=14 S23=8 S31=3 S34=3

 

Так как все Sij>0, то план оптимальный и единственный. Затраты на перевозки по оптимальному плану составляют:

 

min Z=110×4+10×6+130×8+70×5+80×4+80×5+20×5=

=440+60+1040+350+320+400+100=2710 руб.

 

Ответ: затраты на перевозки по оптимальному плану составляют 2710 рублей.

Задача

 

Решить ТЗ с открытой моделью, если дана матрица планирования перевозок:

Таблица 88.

 

 

Решение:

а). Установим характер задачи:

 

, итак

> Þ (354)

 

модель задачи открытая, значит, вводим фиктивный пункт отправления А5 с запасами груза a5= - = 120 - 115=5, а тарифы перевозки этого груза будут С51=С52=С53=С54= С55=0.

Составляем распределительную таблицу по методу "минимального элемента":

Таблица 89.

 

	B1	B2	B3	B4	B5	ai
A1
A2
A3
A4
A5
bj

 

Итак, получили план X1. Суммарные расходы на перевозку зерна составляют:

 

Z(X1) =24×6+11×30+14×29+26×21+4×5+20×28+1×1+15×14+5×0 =

= 144+330+406+546+20+560+1+210=2217 руб.

 

б). Построение нового улучшенного опорного плана по методу потенциалов.

Рассмотрим опорный план, найденный по методу “минимального элемента”.

Таблица 90.

 

	B1	B2	B3	B4	B5	ai	ui
A1		- 30 25	+ 25
A2	+ 5 19		- 21				- 4
A3							- 20
A4							- 6
A5	- 0	+ 0					- 9
bj
uj

 

Проверяем условие m+n-1=5+5-1=9, число занятых клеток удовлетворяет этому условию.

Определяем потенциалы и находим оценки свободных клеток:

 

S11=-3 S25=-4 S41=16 S52=-21

S14=-1 S31=29 S42=-1 S53=-16

S15=-6 S32=12 S43=-11 S54=-1

S22=3 S34=40 S45=-1 S55=-12

S52 - наименьшая оценка.

 

С вершиной в клетке (5;

2) строим замкнутый цикл.

Найдем l=min(5; 16; 25) =5, после пересчета получим новый цикл. Заменяя старый цикл на новый, получим следующую таблицу 91:

Таблица 91.

 

	B1	B2	B3	B4	B5	ai	ui
A1
A2			- 21 11	+ 4			- 4
A3							- 20
A4			+ 8	- 2			- 6
A5							- 30
bj
uj

 

Определяем потенциалы и находим оценки свободных клеток:

 

S11=-3 S25=-4 S41=16 S51=21

S14=-1 S31=29 S42=-1 S53=5

S15=-6 S32=12 S43=-11 S54=22

S22=3 S34=40 S45=-1 S55=9

S43 - наименьшая оценка. С вершиной в клетке (4;

4) строим замкнутый цикл. Найдем l=min(11; 15) =11, после пересчета получим новый цикл. Заменяя старый цикл на новый, получим следующую таблицу 92:

Таблица 92.

	B1	B2	B3	B4	B5	ai	ui
A1	+ 6 -		- 25
A2	- 5		-	+ 4			- 15
A3							- 20
A4			+ 8	- 2			- 17
A5							- 30
bj
uj

 

Определяем потенциалы и находим оценки свободных клеток:

 

S11=-14 S23=11 S34=29 S51=10

S14=-12 S25=7 S41=16 S53=5

S15=-6 S31=18 S42=10 S54=11

S22=14 S32=12 S45=10 S55=9

S11 - наименьшая оценка. С вершиной в клетке (1;

1) строим замкнутый цикл. Найдем l=min(24; 15;

4) =4.

Таблица 93.

 

	B1	B2	B3	B4	B5	ai	ui
A1	+ 6 4		- 25
A2	- 5		-		+ 13		- 1
A3			+ 5		- 1		- 20
A4							- 17
A5							- 30
bj
uj

 

Определяем потенциалы и находим оценки свободных клеток:

 

S14=2 S25=-7 S41=30 S51=24

S15=-6 S31=32 S42=10 S53=5

S22=0 S32=12 S44=14 S54=25

S23=-3 S34=43 S45=10 S55=9

S25 - наименьшая оценка. С вершиной в клетке (2;

5) строим замкнутый цикл. Найдем l=min(20; 11; 21) =11.

Таблица 94.

 

	B1	B2	B3	B4	B5	ai	ui
A1
A2							- 1
A3							- 13
A4							- 10
A5							- 30
bj
uj

 

Определяем потенциалы и находим оценки свободных клеток:

 

S13=7 S23=4 S41=23 S51=24

S14=2 S31=25 S42=3 S53=12

S15=1 S32=39 S44=7 S54=25

S22=0 S34=36 S45=10 S55=16

Так как все Sij>0, то план оптимальный и единственный. Затраты на перевозки по оптимальному плану составляют:

 

min Z=15×6+20×30+9×5+20×4+11×13+15×5+10×1+15×8+5×0=

=90+600+45+80+143+75+10+120+0=1163 руб.

Ответ: затраты на перевозки по оптимальному плану составляют 1163 рубля.

Финансовые функции

При использовании традиционных (ручных) технологий экономисты традиционно производили огромное количество расчетов при помощи счет или калькулятора трудности при таких технологиях возрастали прямо пропорционально объёму входной информации, кроме того необходимо было знать большое количество самых разных формул. В ЕХСEL процесс вычислений максимально автоматизирован при помощи Мастера функций куда заложены практически все функции необходимые для работников офисов. Первая категория это так называемые финансовые функции ЕХСELдля расчета различныхопераций изучаемых в курсах финансовой математики, финансовой статистики, бухгалтерского учета, финансам и кредиту и ряда других предметов.

Цель работы: научиться использовать соответствующие финансовые функции Финансовые функции ЕХСEL предназначены для вычисления базовых величин при проведении сложных финансовых расчетов изучаемых в предмете финансовая математика и финансовый менеджмент. При использовании финансовых функций ЕХСЕL:

1) на рабочем листе в отдельные ячейки вводятся значения основных аргументов функции.

2) курсор устанавливается в ячейку, предназначенную для записи результатов.

3) вызываете Мастер функций.

4) выбирается категория Финансовые, а в списке Функция выбирается нужная функция.

5) нажимается кнопка Далее (Шаг) для перехода к работе с диалоговым окном выбранной функции.

6) в этом окне осуществляется ввод аргументов в поля ввода. При этом можно вводить ссылки на адреса ячеек, содержащих значения аргументов, или сами значения аргументов.

7) после завершения ввода аргументов запуск расчета выполняется нажатием кнопки Готово.

В мастере функций ЕХСEL, существует группа функций, предназначенных для расчета финансовых операций, формулы по которым изучаются финансовой математикой, финансовой статистикой и бухгалтерскому учету. Эта группа функций охватывает следующие расчеты:

- определение наращенной суммы (будущей