Особенности функционирования программного комплекса СИД

В случае указания нескольких параметров, они разделяются пробелом. Значения параметров указываются через символ ":" (например, "/i:Ltxt /х;1 /w").

При возникновении ошибки в указаниях параметров, а также при запуске с параметром "/?", система математической обработки выведет на экран справочную информацию.

Таким образом, управляющая система организует запуск системы математической обработки с необходимыми параметрами и, тем самым, обозначает свое присутствие, передает требуемую первоначальную информацию. Ключевая роль управления, контроля, мониторинга и взаимодействия при этом отводится так называемому процедурному файлу. Посредством чтения-записи служебной информации и данных, необходимых в определенные моменты функционирования комплекса, происходит "общение" управляющей системы и системы математической обработки. К служебной информации относятся управляющие сигналы, отображающие состояние СМО, запросы к приему дополнительной информации, индикация наличия промежуточных и результирующих данных, сведения об ошибках и принудительном прерывании процесса вычислений.

При этом на управляющую систему не накладывается никаких ограничений по внешнему виду, характеру используемых стандартов и протоколов работы, источнику исходных данных, за исключением соблюдения указанных правил запуска и взаимодействия, определенной структуры входных, выходных и промежуточных файлов, используемых для внутреннего взаимодействия.

Программный комплекс СИД оперирует тремя типами исходных данных.

Во-первых, это статистические данные интервального характера, содержащие ретроспективную информацию об объекте исследования. Сюда же относятся данные о размерности выборки, зависимых и независимых переменных.

Во-вторых, матрица смежности Н, формируемая на основе экспертных данных и представлений о деятельности объекта исследования. Матрица смежности Н представляет собой квадратную матрицу, размерность которой равна числу регрессоров, участвующих в обработке. Элементы матрицы указывают на направление влияния переменных друг на друга. Так, если с ростом значений переменной / значение у-ой переменной из содержательных соображений должно увеличиваться, элементу h.- матрицы присваивается значение "1", в противном случае - "-Г\ Если же это влияние неизвестно или отсутствует, h-} = 0. В третьих, данные о будущих значениях экзогенных переменных (прогнозные данные), которые также могут иметь интервальный характер.

В качестве выходной информации комплекс выдает данные об объекте исследования, общин протокол работы, прогнозную информацию в табличной и графической формах. Поясним, что к числу данных об исследуемом объекте относятся:

во-первых, матрица парных корреляций;

во-вторых, общая спецификация модели;

в-третьих, сама модель, представленная в виде системы линейных уравнений.

Общий протокол работы представляет собой текстовую справочную информацию о функционировании комплекса и содержит пояснения к выполняемым действиям. Как следствие, он включает данные обо всех этапах работы и, в частности, обо всех уравнениях, участвующих в конкурсе моделей. Прогнозная информация содержит вычисленные значения эндогенных переменных на глубину прогнозного периода и может быть отображена в табличном или графическом виде.

Этапы проектирования и разработки, относящиеся к непосредственной реализации составных частей комплекса, модулей и блоков, последующей отладке программных компонент комплекса и разработке информационно-справочной системы заключаются в программной реализации алгоритмической и системной составляющих функциональной структуры комплекса СИД.

Функциональные схемы работы комплекса, отображающие структурные и системные особенности, методика запуска, управления и взаимодействия, характер используемых данных, описанные в предыдущих параграфах, дают представление о системной составляющей функциональной структуры комплекса. Таким образом, дальнейшие действия должны быть ориентированы на построение алгоритмической составляющей функционального представления комплекса.

Данный алгоритм отражает действия комплекса, в составе которого находятся две системы; управляющая (УС) и математической обработки (СМО).

Раздел 3.

Задачник с методическими указаниями

Задача 1.

Смесь можно составить из n продуктов С_j (j=1,n). В каждом из продуктов содержится m компонентов. Минимально допустимый объем содержания i-го компонента в смеси выражается величиной b_i (i=1,3). Содержание i-го компонента в единице j-го продукта выражается величиной а_ij _.Цена единицы j-го продукта равна с_j _.Составить смесь, минимальную по стоимости, выбрав для решения данной задачи наиболее рациональный способ.

	C₁	C₂	C₃	b_i
c_j
A_1j
A_2j
A_3j

Задача 2.

Найти графоаналитическим методом оптимальное решение задачи нелинейного программирования.

maxZ = 3.6x₁ – 0.2x₁² + 0.8x₂ – 0.2x₂²⁽²⁹²⁾

2x₁ + x₂≥ 10

x₁² -10x₁ + x₂≤ 75 (293)

x₂ ≥ 0

Задача 3.

После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:

1) требуется профилактический ремонт;

2) требуется замена отдельных деталей и узлов;

3) требуется капитальный ремонт.

В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:

1) отремонтировать оборудование своими силами, что потребует затрат а;

2) вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b;

3) заменить оборудование новым, реализовав устаревшее по остаточной стоимости.. Совокупные затраты на это мероприятие составят с.

Требуется найти оптимально решение данной проблемы по критерию минимизации затрат с учетом следующих предположений:

а) на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний – q;

б) имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;

в) о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.

	П₁	П₂	П₃
a
b
c
q	0.3	0.45	0.25

λ = 0.7

Задача 4.

	C1	C2	C3	bi
cj
a1j
a2j
a3j

Смесь, минимальная по стоимости:

7x₁ + 5x₂ + 8x₃ ≥ 70

8x₁ + 2x₂ + 3x₃ ≥ 40

9x₁ + 6x₂ + 7x₃ ≥ 50

x₁ ≥ 0; x₂≥ 0; x₃ ≥ 0

F = 9x₁ + 6x₂ + 7x₃ → min (294)

После транспонирования матрицы элементов a_ij, cсимметричная двойственная задача будет иметь вид:

S(y₁,y₂,y₃) = 70y₁ + 40y₂ + 50y₃ → max, (295) при ограничениях:

7y₁ + 8y₂ + 9y₃ ≥ 9

5y₁ + 2y₂ + 6y₃ ≥ 6

8y₁ + 3y₂ + 7y₃ ≥ 7

y₁ ≥ 0; y₂≥ 0; y₃ ≥ 0

Для решения двойственной задачи линейного программирования симплекс – методом, приведём систему неравенств к виду системы уравнений:

7y₁ + 8y₂ + 9y₃ + y₄ ≥ 9

5y₁ + 2y₂ + 6y₃ + y₅ ≥ 6

8y₁ + 3y₂ + 7y₃ + y₆ ≥ 7

y₁≥0;y₂≥0;y₃≥0;y₁≥0;y₂≥0;y₃≥0

S(y₁,y₂,y₃) = 70y₁ + 40y₂ + 50y₃ → max (296)

По правилу соответствия переменных, базисным переменным прямой задачи соответствуют свободные переменные двойственной задачи:

x₁ x₂ x₃ x₄ x₅ x₆

y₁ y₂ y₃ y₄ y₅ y₆

Первая симплексная таблица:

Базис	Сб.	А0	y1	y2	y3	y4	y5	y6
y4
y5
y6
			-70	-40	-50

Вторая симплексная таблица:

Базис	Сб	А0	y1	y2	y3	y4	y5	y6
y4		23/8		43/8	23/8			-7/8
y5		13/8		1/8	13/8			-5/8
y1		7/8		3/8	7/8			1/8
		245/4		-55/4	45/4			35/4

Третья симплексная таблица:

Базис	Сб	А0	y1	y2	y3	y4	y5	y6
Y2		23/43			23/43	8/43		-7/43
y5		67/43			67/43	-1/43		-26/43
y1		29/43			29/43	-3/43		8/43
		2950/43			800/43	110/43		280/43

В последней таблице в строке Δ нет отрицательных элементов. В соответствии с критерием оптимальности точка максимума S_max = 2950/43 достигнута при значениях: y₁ = 29/43; y₂ = 23/43; y₃ = 0.

По теореме двойственности: F_min = S_max = 2950/43.

На основании правила соответствия между переменными, оптимальное решение прямой задачи:

y₄ x₁ = 110/43 y₅ x₂ = 0 y₆ x₃ = 280/43

Ответ: В смесь минимальной стоимости 2950/43 целесообразно включить 110/43 единиц продукта C₁, 280/43 единиц продукта C₃, а продукт C₂ не включать.

Задача 5.

Найти графоаналитическим методом оптимальное решение задачи нелинейного программирования.

maxZ = 3.6x₁ – 0.2x₁² + 0.8x₂ – 0.2x₂²⁽²⁹⁷⁾

2x₁ + x₂≥ 10

x₁² -10x₁ + x₂≤ 75

x₂ ≥ 0

В данной задаче имеется нелинейная целевая функция с нелинейной системой ограничений. Графическая схема позволит определить положение точки оптимума.

Сначала необходимо преобразовать формулу целевой функции так, чтобы получить её графическое отображение. Воспользуемся методом выделения полного квадрата двучлена относительно x₁ и x₂, разделив левую и правую части формулы на -0.2:

-5Z = x₁² -18x₁ + x₂² – 4x₂

Добавим к левой и правой частям уравнения числа, необходимые для выделения полных квадратов двучлена в правой части выражения:

9² и 2² в сумме составляют 85:

85 – 5Z = (x₁ – 9)² + (x₂ – 2)^{2 (298)}

В результате получилась формула, позволяющая графически изобразить целевую функцию в виде линии уровня на плоскости X₁OX₂. Данные линии уровня представляют собой окружности с общим центром в точке O (9;2). Данная точка является точкой абсолютного экстремума целевой функции.

Для определения характера экстремума нужно провести анализ целевой функции на выпуклость/вогнутость. Для этого необходимо определить вторые частные производные и составить из них матрицу:

Z^”_x1x1 Z^”_x1x2 = -0.4 0

Z^”_x2x1 Z^”_x2x2 0 -0.4

Определим знаки главных миноров данной матрицы.

Главный минор первого порядка -0.4 < 0.

Главный минор второго порядка 0.16 > 0.

Т.к. знаки миноров чередуются, функция Z - строго вогнута. Экстремум вогнутых функций – max, следовательно, в точке О у целевой функции находится абсолютный максимум.

Для построения области допустимых значений преобразуем второе неравенство системы ограничений:

x₁² – 10x₁ + x₂ ≤ 75

x₁² – 10x₁ + 25 + x₂ ≤ 100

(x₁ – 5)² + x₂ ≤ 100

(x₁ – 5)² ≤ 100 – x₂

Уравнение (x₁ – 5)² = 100 – x₂ выразим через переменные x₁^* и x₂^*:

x₁^* = x₁ – 5

x₂^* = 100 – x₂

Уравнение примет вид: x₁^*2 = x₂^*.

В системе координат X₁^*O^*X₂^* данное уравнение является каноническим уравнением параболы.

Рисунок 165

На рисунке 165 область допустимых значений – ограниченная часть плоскости ABCD. Из полученного графика видно, что точка абсолютного максимума Z лежит внутри ОДР. Следовательно, целевая функция принимает максимальное значение в этой точке:

max Z = Z(O) = Z(9;2) = 17

Задание 6

После нескольких лет эксплуатации оборудование может оказаться в одном из трех состояний:

1) требуется профилактический ремонт;

2) требуется замена отдельных деталей и узлов;

3) требуется капитальный ремонт.

В зависимости от ситуации руководство предприятия может принять следующие решения:

1) отремонтировать оборудование своими силами, что потребует затрат а;

2) вызвать специальную бригаду ремонтников, расходы в этом случае составят b;

б) имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;

в) о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.

	П1	П2	П3
a
b
c
q	0.3	0.45	0.25

λ = 0.7

Составим платёжную матрицу, в которой П_j – состояния оборудования, А_i – альтернативы принятия решений:

	П1	П2	П3
А1	-13	-9	-15
А2	-20	-12	-11
А3	-18	-10	-14

Для принятия оптимального решения в случае а). воспользуемся критерием Байеса; в случае б). критерием Лапласа; в случае в). критериями Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

а). на основе обобщения опыта эксплуатации аналогичного оборудования определены вероятности наступления соответствующих состояний: q₁ = 0.3; q₂ = 0.45; q₃ = 0.25

Критерий Байеса.

Для каждой альтернативы найдём средний выигрыш: `a_i = ∑a_ij×q_j

`a₁ = -11.7 `a₂ = -14.15 `a₃ = -13.4

	П1	П2	П3	`ai
А1	-13	-9	-15	-11.7
А2	-20	-12	-11	-14.15
А3	-18	-10	-14	-13.4
qj	0.3	0.45	0.25

Из средних выигрышей выбираем максимальный: max a_i = `a₁ = -11.7 – первая альтернатива оптимальна в случае известных вероятностей наступления событий при выборе решения по критерию Байеса.

б). имеющийся опыт свидетельствует о равной вероятности наступления соответствующих состояний;

Критерий Лапласа.

Для каждой альтернативы найдём средний выигрыш: `a_i = 1/3∑a_ij

`a₁ = -12.3 `a₂ = -14.3 `a₃ = -14

	П1	П2	П3	`ai
А1	-13	-9	-15	-12.3
А2	-20	-12	-11	-14.3
А3	-18	-10	-14	-14

Из средних выигрышей выбираем максимальный: max a_i = `a₁ = -12.3 – первая альтернатива оптимальна в случае равной вероятности наступления событий при выборе решения по критерию Лапласа.

в). о вероятностях наступления соответствующих состояний ничего определенного сказать нельзя.

Критерий Вальда.

Для каждой альтернативы определим наихудший исход. d_i – минимальный элемент строки. Из наихудших исходов выбираем наилучший, т.е. максимальный d_i.

	П1	П2	П3	di
А1	-13	-9	-15	-15
А2	-20	-12	-11	-20
А3	-18	-10	-14	-18

max d_i = d₁ = -15 – первая альтернатива оптимальна по критерию Вальда.

Критерий Сэвиджа.

Для каждого столбца находим максимальный элемент β_j.

	П₁	П₂	П₃
А₁	-13	-9	-15
А₂	-20	-12	-11
А₃	-18	-10	-14
β_j	-13	-9	-11

Построим матрицу рисков, элементы которой: r_ij = β_j - a_ij

			max ri

В матрице рисков в каждой строке найдём максимальный риск, и из них выберем минимальный: min r = r₁ = 4 – первая альтернатива оптимальна по критерию Сэвиджа.

Критерий Гурвица.

Для каждой строки находим минимальный d_i и максимальный β_j.

	П1	П2	П3	di	βj	χi
А1	-13	-9	-15	-15	-9	-13.2
А2	-20	-12	-11	-20	-11	-17.3
А3	-18	-10	-14	-18	-10	-15.6

χ_i = λ × d_i + (1 – λ) × β_jλ = 0.7

Максимальный из элементов последнего столбца: max χ_i = χ₁ = -13.2 – первая альтернатива оптимальна по критерию Гурвица.

Задача 7.

Выбрать оптимальный режим работы новой системы ЭВМ, состоящей из двух ЭВМ типов А₁ и А₂. Известны выигрыши от внедрения каждого типа ЭВМ в зависимости от внешних условий, если сравнить со старой системой.

При использовании ЭВМ типов А₁ и А₂ в зависимости от характера решаемых задач В₁ и В₂ (долговременные и краткосрочные) будет разный эффект. Предполагается, что максимальный выигрыш соответствует наибольшему значению критерия эффекта от замены вычислительной техники старого поколения на ЭВМ A₁ и А₂.

Итак, дана матрица игры (табл. 60), где A₁, А₂ - стратегии руководителя; В_1,В₂ - стратегии, отражающие характер решаемых на ЭВМ задач.

Таблица 60.

Игрок 2 Игрок 1	В₁	В₂	a_i
А₁	0,3	0,8	0,3
А₂	0,7	0,4	0,4
b_j	0,7	0,8

Требуется найти оптимальную смешанную стратегию руководителя и гарантированный средний результат g, т.е. определить, какую долю времени должны использоваться ЭВМ типов A₁ и А₂.

2.2 Описание алгоритма решения

Запишем условия в принятых обозначениях:

а₁₁ = 0,3; а₁₂ = 0,8; а₂₁ = 0,7; а₂₂ = 0,4.

Определим нижнюю и верхнюю цены игры:

a₁ = 0,3; a₂ = 0,4; a = 0,4; b₁=0,7; b₂ = 0,8; b = 0,7.

Получаем игру без седловой точки, так как

(293)

(294)

Максиминная стратегия руководителя вычислительного центра – А₂.

Для этой стратегии гарантированный выигрыш равен a = 0,4 (40%) по сравнению со старой системой.

Определим g, p_l и р₂ графическим способом (рис. 166).

Рис. 166. Графическая интерпретация алгоритма решения

Алгоритм решения:

1. По оси абсцисс отложим отрезок единичной длины.

2. По оси ординат отложим выигрыши при стратегии А₁.

3. На вертикали в точке 1 отложим выигрыши при стратегии А₂.

4. Проводим прямую b₁₁b₁₂, соединяющую точки а₁₁, а₂₁.

5. Проводим прямую b₂₁b₂₂, соединяющую точки а₁₂, а₂₂.

6. Определяем ординату точки пересечения с линий b₁₁b₁₂ и b₂₁b₂₂. Она равна g.

7. Определим абсциссу точки пересечения с. Она равна р₂, а р₁= l – р_2.

Выпишем решение и представим оптимальную стратегию игры:

р₁ = 0,375; (2.3)

р₂ = 0,625; (295)

g =0,55. (2.5)

Вывод. При установке новой системы ЭВМ, если неизвестны условия решения задач заказчика, на работу ЭВМ А₁ должно приходиться 37,5% времени, а на работу ЭВМ А₂ - 62,5%. При этом выигрыш составит 55% по сравнению с предыдущей системой ЭВМ.

Задание 8.