Пользователю при работе с программой необходимо задать основные параметры СМО, такие как интенсивности потоков, количество каналов, приоритетных классов, мест в очереди (если количество мест в очереди равно нулю, то СМО с отказами), а также временной интервал модуляции и количество испытаний. Программа преобразовывает сгенерированные случайные числа по формуле (34), таким образом, пользователь получает последовательность временных интервалов 
, распределенных показательно. Затем отбирается заявка с минимальным , и ставится в очередь, согласно ее приоритету. За это же время происходит перерасчет очереди и каналов. Затем эта операция повторяется до окончания времени модуляции, задаваемого изначально. В теле программы присутствуют счетчики, на основании показаний которых и формируются основные показатели СМО. Если для увеличения точности было задано несколько испытаний, то в качестве конечных результатов принимается оценка за серию опытов. Программа получилась достаточно универсальной, с ее помощью могут быть исследованы СМО с любым количеством приоритетных классов, либо вообще без приоритетов. Для проверки корректности работы алгоритма, в него были введены исходные данные классической СМО, исследуемой в разделе 7. Программа смоделировала результат близкий к тому, который был получен с помощью методов теории массового обслуживания. Погрешность, возникшая в ходе имитационного моделирования, может быть объяснена тем, что проведено недостаточное количество испытаний. Результаты, полученные с помощью программы для СМО с двумя приоритетными классами и увеличенным числом каналов, показывают целесообразность этих изменений. Высший приоритет был присвоен более «быстрым» заявкам, что позволяет быстро обследовать короткие задания. Сокращается средняя длина очереди в системе, а соответственно минимизируется средство для организации очереди. В качестве основного недостатка данной организации можно выделить то, что «долгие» заявки находятся в очереди длительно время или вообще получают отказ. Введенные приоритеты могут быть переназначены после оценки полезности того или иного типа заявок для СМО.
При решении таких игр могут быть 2 ситуации:
игроку А неизвестны вероятности pj, с которыми природа реализует свои состояния;
вероятности pj известны.
Для принятия решения в таких играх используют различные критерии.
Если вероятности pj состояний природы неизвестны, то можно пользоваться критериями Ваальда, Лапласа, Сэвиджа, Гурвица и пр. Основное различие между названными критериями определяется стратегией поведения лица, принимающего решение в условиях неопределенности. Например, критерий Лапласа основан на более оптимистичных предположениях, чем критерий Ваальда. Критерий Гурвица можно использовать при различных подходах: от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного.
Таким образом, перечисленные критерии, несмотря на их количественную природу, отражают субъективную оценку ситуации, в которой статистику приходится принимать решение. К сожалению, не существует общих правил оценки применимости того или иного критерия, так как поведение лица, принимающего решение, по всей видимости, является наиболее важным фактором при выборе подходящего критерия. Сформулируем эти критерии.
1. Критерий Лапласа
Этот критерий опирается на принцип недостаточного обоснования, по которому считается, что наступление всех состояний природы равновероятно, то есть p 1= p 2=...= p n=1/ n, а оптимальной считается стратегия Ai, обеспечивающая
. (321)
2. Критерий Вальда (минимаксный или максминный критерий)
Этот критерий является наиболее осторожным, поскольку основан на выборе наилучшей из наихудших возможностей:
– в случае нахождения выигрыша;
– в случае нахождения потерь.
Это пессимистические критерии.
3. Критерий Сэвиджа (минимаксного риска)
Критерий Вальда настолько пессимистичен, что может привести к нелогичным выводам. Рассмотрим следующую матрицу потерь, которая обычно приводится в качестве классического примера для обоснования “менее пессимистичного” критерия Сэвиджа.
Таблица 64.
| В1 | В2 | |
| А1 | ||
| А2 |
Применение минимаксного критерия приводит к выбору стратегии А2, хотя интуитивно можно выбрать А1, так как при этом выборе можно надеется проиграть 90, тогда как выбор А2 всегда приводит к потерям в 10000 единиц при любом состоянии погоды..
Критерий Сэвиджа “исправляет” положение введением новой матрицы потерь, в которой 
заменяются на 
, определяемые следующим образом:
(322)
Это означает, что есть разность между наилучшим значением в столбце j и значением .
По существу, выражает сожаление лица, принимающего решение, по поводу того, что он не выбрал наилучшего действия относительно состояния j. МатрицаR=()называется матрицей сожаления или матрицей риска.
Найдем оптимальную стратегию предыдущей задачи по этому критерию:
.
Применим к матрице “сожаления” R минимаксный критерий. Получим, что оптимальной стратегией будет– А.
Отметим, что независимо от того, – доход или потери, – всегда потери. Поэтому к матрице “сожаления” всегда применяется минимаксный критерий.
4. Критерий Гурвица (пессимизма-оптимизма)
Этот критерий охватывает ряд различных подходов к принятию решений: от наиболее оптимистичного до наиболее пессимистичного.
При оптимистичном подходе выбирают стратегию, дающую:
, если (323)
Если – прибыль, то выбирается стратегия по правилу:
(324)
Если – затраты, критерий выбирает стратегию, дающую
Задание 10.
Алгоритмы метода Монте-Карло для решения интегральных уравнений 2-го рода.
Пусть необходимо вычислить линейный функционал 
, где 
, причём для интегрального оператора 
с ядром 
выполняется условие, обеспечивающее сходимость ряда Неймана: 
. Цепь Маркова 
определяется начальной плотностью 
и переходной плотностью 
; вероятность обрыва цепи в точке 
равна
; (325)
— случайный номер последнего состояния. Далее определяется функционал от траектории цепи, математическое ожидание которого равно 
. Чаще всего используется т. н. оценка по столкновениям
, (326)
где
, 
. (327)
Если 
при 
и 
при 
, то при некотором дополнительном условии
(328)
Возможность достижения малой дисперсии в знакопостоянном случае показывает следующее утверждение:
если 
и 
, (329)
где 
, то 
, 
.
Моделируя подходящую цепь Маркова на компьютере, получают статистическую оценку линейных функционалов от решения интегрального уравнения 2-го рода. Это даёт возможность и локальной оценки решения на основе представления: 
, где 
. В методе Монте-Карло оценка первого собственного значения интегрального оператора осуществляется итерационным методом на основе соотношения
(330)
Все рассмотренные результаты почти автоматически распространяются на системы линейных алгебраических уравнений вида 
.
Решение дифференциальных уравнений осуществляется методом Монте-Карло на базе соответствующих интегральных соотношений. Изложенное представляет собой основу для построения эффективных модификаций статистического моделирования.
. Вероятность безотказной работы каждого из них в течение времени Т равна 5/6. Приборы выходят из строя независимо друг от друга. При отказе хотя бы одного прибора вся система перестает работать. Найти вероятность 
того, что система откажет за время Т.
Аналитическое решение.
Событие А – выход из строя хотя бы одного из трех приборов за время Т и событие 
– ни один из трех приборов не выйдет из строя за время Т, противоположные. Вероятность 
– искомая вероятность. Отсюда:
|
Задание 11. Финансовая математика
1) Вексель на 12 000 руб., погашаемый через 90 дней, продан банку, который установил простую учетную ставку 14% годовых. Какой будет выручка? (Используйте 360/360)
2) Клиент банка намеревается получить ссуду 100 000 руб. на 120 дней. Если банк начисляет 16 % процента авансом, какую сумму должен попросить клиент?
3) Какая эффективная годовая ставка соответствует номинальной ставке 11% годовых, начисляемых 3 раза в год (j3=11% годовых)?
4) Номинальная процентная ставка, начисляемая ежемесячно, составляет 10% годовых. Чему равна эквивалентная ей номинальная процентная ставка, начисляемая по полугодиям?
5) Через десять лет следует выплатить 570 тыс. руб. Если деньги стоят j1=10%, найти эквивалентный долг через а) один год (от настоящего момента времени), б) двенадцать лет (от настоящего момента времени).
6) Вклад 100 тыс. руб. сделан на 5 лет по схеме сложных процентов. Найдите итоговую сумму, которую получит вкладчик, если: а) процентная ставка остается неизменной в течение 5 лет и составляет 11% годовых; б) процентная ставка составляет 10,5% годовых, начисляемых ежедневно; в) процентные ставки начисляются 1 раз в год и составляют по годам соответственно 11%, 10.5%, 10%, 10%, 9% годовых; г) процентные ставки начисляются m раз в год и составляют по годам соответственно j12=11%, j6=10.5%, j4=10%, j4=10%, j2=9% годовых; д) процентная ставка составляет 10 % годовых, начисляемых непрерывно.
7) Клиент банка должен вернуть через 3 года сумму 150 тыс. руб. Клиент и банк пересмотрели условия договора: клиент решил вернуть долг сейчас. Сколько должен вернуть клиент, если: а) процентная ставка остается неизменной в течение 3-х лет и составляет 17% годовых; б) процентная ставка составляет 16,5% годовых, начисляемых ежедневно; в) процентные ставки начисляются 1 раз в год и составляют по годам соответственно 17%, 16.5%, 16% годовых; г) процентные ставки начисляются m раз в год и составляют по годам соответственно j12=16,5%, j6=16%, j4=15,5% годовых; д) процентная ставка составляет 16% годовых, начисляемых непрерывно.
8) Кредит подлежит возврату 31.12.08г. в размере 50 тыс. руб. Стороны договорились о возврате кредита в 2 захода: некоторая сумма будет возвращена 31.08.08г. и втрое больше 31.03.09г. Найдите последнюю выплату, если кредит выдан под сложную ставку 16% годовых: а) эффективную процентную; б) номинальную годовую процентную ставку, начисляемую ежемесячно; в) эффективную учетную; г) номинальную годовую учетную ставку, начисляемую ежеквартально. Используйте схему 365/365.
9) Кредит подлежит возврату в 2 захода: 01.01.08г. в размере 20 тыс. руб. и 01.03.08г. в размере 30 тыс. руб. Стороны договорились о консолидированном возврате кредита 01.05.08г. Найдите выплату, если кредит выдан под сложную ставку 17% годовых: а) эффективную процентную; б) номинальную годовую процентную ставку, начисляемую по полугодиям; в) эффективную учетную; г) номинальную годовую учетную ставку, начисляемую ежемесячно. Используйте схему 365/365.
10) 100 тыс. руб. погашаются через 5 лет и 200 тыс. руб. через 10 лет от начального момента времени. Если деньги стоят j1=10% годовых, через сколько лет оба платежа эквивалентно заменит выплата 250 тыс. руб.?
11) Господин Петров положил 2 года назад 600 тыс. руб. в банк, выплачивающий проценты по ставке j12=9% годовых. Схема вложений предусматривает возможность снятия денег без потери процентов. Восемь месяцев тому назад он снял со счёта 400 тыс. руб., а сегодня снял ещё 100 тыс. руб. Через 3 месяца он желает вложить некоторую сумму так, чтобы через год от сегодняшнего момента закрыть счёт, получив 500 тыс. руб. Какую сумму он должен вложить?
12) Имеется обязательство уплатить 100 000 руб. через 5 лет и ещё 25 000 руб. через 10 лет от начального момента времени. Этот контракт надо заменить на такой: уплатить 46 000 руб. через 3 года, а остальной долг выплатить через 7 лет (от начального момента времени). Какая сумма должна быть выплачена через 7 лет, если на деньги начисляются 12% годовых: а) простая процентная ставка; б) простая учетная ставка; в) непрерывная; г) номинальная годовая учетная ставка, начисляемая по полугодиям; д) номинальная годовая процентная ставка, начисляемая ежеквартально?
13) Кооператор должен выплатить поставщику сырья через полгода после поставки 800 тыс. руб., ещё через полгода 1 500 тыс. руб. и ещё через 8 месяцев —300 тыс. руб. Эти платежи решено объединить в один и выплатить весь долг через год после поставки. а) Какую сумму надо выплатить, если начисляется 22% годовых (сложных)? б) Кооператор хочет выплатить долг одним платежом, равным 2800 тыс. руб. В какой момент он должен сделать такой платеж?
14) Ссуда в размере 230 тыс. руб. выдана 20.03 до 05.12 включительно под 18% годовых. Какую сумму должен заплатить должник в конце срока при начислении простых процентов? При решении применить три метода: 365/365, 360/360, 365/360.
15) Контракт предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год— 18%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2 года для: а) простых; б) сложных процентов.
16) Движение средств на счете характеризуется следующими данными: 05.03 поступило 12 млн. руб., 10.07 снято 4 млн. руб. и 20.10 поступило 8 млн. руб. Найти сумму на счете на конец года. Процентная ставка 9% годовых (простая схема, 365/365).
17) Найти сроки удвоения первоначальной суммы вклада для простой и сложной процентной ставки 12% годовых?
18) Какой сложной годовой процентной ставкой можно заменить в контракте простую процентную ставку 18% годовых, не изменяя финансовых последствий? Срок операции 580 дней. (Используйте 365/365).
19) При разработке условий контракта стороны договорились о том, что доходность кредита должна составлять 24% годовых. Каков должен быть размер номинальной ставки при начислении процентов ежемесячно, поквартально?
20) Какая непрерывная ставка заменит поквартальное начисление процентов по номинальной ставке 20%?
21) Сравните разновременные платежи. Имеются два обязательства. Условия первого: выплатить 400 тыс. руб. через 4 месяца; условия второго: выплатить 450 тыс. руб. через 8 месяцев. Можно ли считать их равноценными? Примените простую ставку, равную 20% годовых.
22) Долговое обязательство на сумму 320 тыс. руб., срок оплаты которого наступает через 5 лет, продано с дисконтом по учетной ставке 15% годовых. Каков размер полученной за долг суммы и величина дисконта? Используйте: а) простую учетную ставку; б) сложную учетную ставку; в) номинальную учетную ставку, начисляемую поквартально.
23) Начальный уровень силы роста δ=8%, процентная ставка непрерывно и экспоненциально увеличивается (годовой прирост 20%, а = 1,2, δt= δ·at), срок наращения 5 лет. Необходимо определить множитель наращения.
24) Предполагается поместить 300$ на рублевом депозите. Курс продажи, $а на начало срока депозита 24,5 руб. за 1$, курс покупки, $а в конце операции 24 руб. Процентные ставки: рублевая ставка – 11% (i=11%), $овая ставка – 7% (j=7%). Срок депозита 1 год 3 месяца. а) Чему равна сумма в $ах в конце срока? б) Если бы курс в конце операции составил 25 руб., какая была бы тогда сумма? в) Найти наращенную сумму в $ах при $овом депозите. При расчетах используйте смешанный метод (начисление процентов за целое число лет по сложной ставке, за оставшуюся часть года – по простой).
25) Предполагается поместить 300 тыс. руб. на валютном депозите. Курс продажи, $а на начало срока депозита 24,5 руб. за 1$, курс покупки, $а в конце операции 24 руб. Процентные ставки: рублевая ставка – 11% (i=11%), $овая ставка – 7% (j=7%). Срок депозита 1 год 3 месяца. а) Чему равна сумма в рублях в конце срока? б) Если бы курс в конце операции составил 25 руб., какая была бы тогда сумма? в) Найти наращенную сумму в рублях при рублевом депозите. При расчетах используйте смешанный метод (начисление процентов за целое число лет по сложной ставке, за оставшуюся часть года – по простой).
26) Вексель оформлен 9 февраля 1994 г. с датой погашения 9 февраля 1995 г. под простой процент 6% годовых на 150 тыс. руб. 16 ноября 1994 г. вексель был продан банку под 7%-ную ставку процента авансом. а) Какой будет выручка (полученная сумма P)? б) Какую ставку процента реализует банк при такой инвестиции? (Используйте 365/365)
27) Эффективная процентная ставка составляет 10% годовых. Чему равны эквивалентные ставки: 1) процентные: при начислении процентов ежемесячно (j12), ежеквартально (j4), по полугодиям (j2), 2) непрерывная ставка (j∞), 3) дисконтные ставки: эффективная дисконтная ставка (dсл), при начислении дисконта ежемесячно (d12) ежеквартально (d4), по полугодиям (d2), 4) простая процентная ставка (iпр), 5) простая дисконтная ставка (dпр).
28) Если деньги стоят j4=11%, найти одноразовую выплату, эквивалентную серии из 10000 руб., погашаемых через 2 года, и 15000 руб., погашаемых через 5 лет, для настоящего момента времени (t=0).
29) Клиент банка имеет 2 векселя: один - с датой погашения через 3 года на 100 тыс. руб., второй – с датой погашения через 8 лет на 200 тыс. руб. Деньги стоят 13% годовых, начисляемых по полугодиям (j2=13%). Клиент банка и банк договорились изменить условия контракта: клиент получит 50 тыс. руб. сейчас, остальное – через 5 лет. Сколько получит клиент через 5 лет?
30) Если деньги стоят 12% эффективных, какие равные платежи через 1 год и через 3 года от начального момента времени будут эквивалентно заменяться следующей серией обязательств: выплатить 100 тыс. руб. через 3 года и 200 тыс. руб. с накопленным процентом по ставке j2=12,5% годовых через 4 года от начального момента времени.
31) Предполагается поместить 1000 у.е. (СКВ) на рублевом депозите. Курс продажи у.е. на начало срока депозита 27 руб. за 1 у.е., курс покупки у.е. в конце операции 26 руб. Процентные ставки: ставка для суммы в рублях – 12% годовых (i=12%), ставка для СКВ – 8% годовых (j=8%). Срок депозита 3 месяца. А) Чему равна сумма в СКВ в конце срока? Б) Если бы курс в конце операции составил 28 руб., какая была бы тогда сумма? В) Найти наращенную сумму в СКВ при депозите в СКВ.
Задание 12 “Потоки платежей: аннуитеты”
1) Клиент банка делает вклады по 2 тыс. руб. в конце каждого месяца по ставке 12% годовых, начисляемых ежемесячно (j12=12%). Сколько будет находиться на счете через 2 года, если а) в начальный момент времени на банковском счете не было никакой суммы, б) в начальный момент времени на банковском счете была сумма 12 тыс. руб.?
2) Клиент выплачивает заем, делая платежи по 7000 руб. в конце каждого квартала. Проценты начисляются поквартально и составляют 18% годовых. Какой является неуплаченная часть займа в настоящий момент, если осталось сделать 10 платежей по 7000 руб. и 1 взнос 3000 руб. через 1 год (от настоящего момента времени)?
3) Телевизор куплен в кредит на 2 года с ежемесячными взносами по 740 руб. в начале каждого месяца. Найти эквивалентную стоимость телевизора в настоящий момент (0-й момент), если деньги стоят 24% годовых, начисляемых ежемесячно (j12=24%).
4) В начале каждого полугодия делается вклад по 10 тыс. руб. Какая сумма будет лежать на счете через 3 года, если деньги стоят j2=11%?
5) Фирма продала товар в рассрочку. По договору ей будут поступать денежные средства по 150 тыс. руб. каждые полгода (6 выплат) в течение 3-х лет. Чему равна эквивалентная сумма в настоящий момент, если деньги стоят j2=11,5%. Первая выплата поступит через год. Рассмотрите аннуитет как отсроченный постнумерандо и отсроченный пренумерандо.
6) Клиент банка собирается накопить за 3 года сумму 200 тыс. руб., делая ежемесячные взносы в начале каждого месяца. Какой величины должны быть взносы, если банк начисляет проценты по ставке 11% годовых, конвертируемых ежемесячно (j12=11%).
7) Холодильник стоит 12 тыс. руб. наличными. Его можно приобрести в рассрочку, заплатив начальную сумму 10% от стоимости и делая одинаковые ежемесячные взносы в конце каждого месяца. Кредит на 1 год, деньги стоят j12=30%. Чему равен ежемесячный платеж?
8) Обучение стоит 30 тыс. руб. в год. Студент собирается рассчитаться за кредит 2-мя квартальными выплатами. Первая выплата будет сделана через полгода. Чему равен размер выплаты, если деньги стоят j4=22%.
9) Клиент банка делает вклады по 5 тыс. руб. ежемесячно в конце каждого месяца. Начисление процентов ежемесячное по ставке 11,4% годовых (j12=11,4%). Сколько необходимо сделать вкладов, чтобы сумма на счете стала равной 150 тыс. руб. Чему будет равен заключительный вклад?
10) Оплата кредита, данного на год, составляет 13 тыс. руб. в конце каждого полугодия. Какие ежемесячные выплаты в конце месяца эквивалентны этой сумме, если деньги стоят 24% годовых, начисляемых ежемесячно (j12=24%)?
11) Замените ежеквартальные платежи по 15 тыс. руб. в конце каждого квартала на полугодовые платежи, если деньги стоят 12% годовых, начисляемых 2 раза в год (j2=12%).
12) Вклады 15 тыс. руб. делаются в конце каждого полугодия по ставке 11,5% годовых (j1=11,5%). Какая сумма будет на счете через 3 года? Решите задачу 2-мя способами: через эквивалентность ставок и через преобразование общего аннуитета в простой.
13) Найти текущую стоимость серии ежеквартальных платежей по 5 тыс. руб. в течение 5 лет (20 платежей). Первый платеж делается в конце 1-го года. Деньги стоят 11% годовых, начисляемых 2 раза в год (j2=11%). Решите задачу 2-мя способами: через эквивалентность ставок и через преобразование общего аннуитета в простой.
14) Найти текущую стоимость серии полугодовых платежей по 20 000 руб. в течение 3-х лет (6 платежей). Первая выплата через 2 года. Деньги стоят 12,2% годовых, начисляемых ежеквартально (j4=12,2%). Решите задачу 2-мя способами: через эквивалентность ставок и через преобразование общего аннуитета в простой.
15) Автомобиль стоит 500 тыс. руб. наличными. Его можно купить за 350 тыс. руб. наличными, остальное – в виде одинаковых платежей в течение 2-х лет (4 платежа). Чему равны платежи, если деньги стоят 12% годовых, начисляемых ежеквартально (j4=12%)?Решите задачу 2-мя способами: через эквивалентность ставок и через преобразование общего аннуитета в простой.
16) Долг 50 тыс. руб. погашается равными ежемесячными платежами по 4500 руб. Первая выплата делается через месяц после займа. Сколько потребуется сделать ежемесячных платежей, если ставка процента равна 20% годовых, начисляемых ежеквартально (j4=20%)? Чему равен заключительный платеж?
17) Найти число полных платежей и величину заключительного платежа, необходимых для аннулирования долга в сумме 340 тыс. руб., если 85 тыс. руб. выплачивается в конце каждого года и деньги стоят 22% годовых, начисляемых ежеквартально (j4=22%).
18) Какие первоначальные инвестиции необходимы для того, чтобы ежегодно из частного фонда делать благотворительные взносы по 100 млн. руб. в конце каждого года, если деньги стоят 10% годовых?
19) Авиакомпании для обслуживания самолетов требуется 150 млн. руб. в конце каждого месяца. А) Какую сумму следует инвестировать компании, чтобы на получаемые проценты поддерживать обслуживание самолетов, если деньги стоят 9% годовых? Б) Какую сумму следовало бы инвестировать, если бы обслуживание осуществлялось в начале каждого месяца?
20) Заемщику предложены на выбор 3 графика погашения ссуды: а) по 6500 в течение 5 лет; б) по 7600 в течение 4-х лет; в) по 4500 в течение 9 лет. Какой график наиболее привлекателен для заемщика, если процентная ставка составляет 15% годовых?
Задание 13 «Потоки платежей: погашение долга. Погасительные фонды»
1) Заемщик взял кредит 87 тыс. руб. на 3 месяца под 13,8% годовых, начисляемых ежемесячно (j12=13,8%). По условиям кредита заемщик должен выплачивать проценты в конце каждого месяца и равными суммами погашать основную сумму долга. Составить график выплат процентов и основной суммы долга.
2) Заемщик взял кредит 87 тыс. руб. на 3 месяца под 13,8% годовых, начисляемых ежемесячно (j12=13,8%). По условиям кредита заемщик должен гасить кредит равными суммами в конце каждого месяца. Составить график выплат процентов и основной суммы долга.
3) Для задачи 2 определить неоплаченную сумму долга в конце 2-го месяца после выплаты. Используйте оба метода: перспективный и ретроспективный. Сравните с графиком выплат, полученным в задаче 2.
4) Долг в сумме 50 тыс. руб. будет погашаться равными платежами в конце каждого месяца. Кредит дан на 2 года. Если деньги стоят 19,2% годовых, начисляемых 2 раза в год (j2=19,2%), найти неоплаченную часть долга в конце года, используя ретроспективный и перспективный методы.
5) Необходим кредит 120 тыс. руб. на 3 года. Клиент выбирает между 2-мя банками. Банк 1, условия: 14% годовых, погашение долга равными суммами каждый год. Банк 2, условия: 13% годовых, выплата процентов в конце каждого года и основного долга в конце срока. При этом для гарантии банк требует создание погасительного фонда, который накапливает 10% годовых. Сколько можно сэкономить, выбрав вариант с меньшими издержками долга?
Задание 13 «Потоки платежей: инвестиционные проекты.»
1) Определить существует ли у проектов (–100, –90, –50, 375, 100) и (–100, 90, -20, 15, 150) внутренняя норма доходности.
2) Проверьте, имеет ли характеристическое уравнение проекта (–4, 36, –129, 230, –204, 72) корни 10%, 100% и 50%. Можно ли сделать вывод о существовании IRR?
3) Найдите минимум средств, необходимых для финансирования проекта (-20, 30, -15, 6, 15), если процентная ставка составляет 12% за период выплат.
4) Исследуйте прибыльность проекта (–50, 300, –600, 400) у.е. и в случае прибыльности найдите минимум средств (ММ), необходимых для финансирования проектов при процентных ставках за период выплат а) 10%, б) 20%. Исследуйте возможность финансирования при ставке заимствования (iz) 40% и начальном капитале 25 у.е.
5) Из трех инвестиционных проектов
(-125, 750, -1500, 1000),
(-125, 1000, -750),
(-500, 3500, -7000, 4125),
выберите наиболее прибыльный при процентной ставке 10% за период выплат. В случае прибыльности найти минимум средств, необходимых для финансирования проекта, индекс рентабельности.
6) Сравните следующие инвестиционные проекты по характеристикам: NPV, IRR, IR, срока окупаемости (Т) с учетом дисконтирования:
Таблица 66.
| годы | |||||||
| Проект А | -4 | -2 | |||||
| Проект В | -15 | -3 | |||||
| Проект С | -20 | -2 |
Пусть процентная ставка составляет 10% годовых.
7) Найдите модифицированную рентабельность инвестиционного проекта
(-150, 350, -50, -250, 350, 450, 250)
при процентной ставке 14% годовых. (Модифицированная рентабельность инвестиционного проекта равна отношению чистой приведенной стоимости проекта к минимуму средств, необходимых для финансирования проекта)
8) Найдите внутреннюю норму доходности проекта (-100, 50, 150). Стоит ли финансировать проект при ставке заимствования (iz) а)40%, б)50%, в)60% за период выплат и отсутствии начального капитала.
9) Найдите внутреннюю норму доходности проекта (-100, 150, 50). Исследуйте возможность финансирования при ставке заимствования (iz) а)40%, б)60%, в)80% и отсутствии начального капитала.
10) Определите непрерывный срок окупаемости проекта (-10, 20, -15, 7, 15), если процентная ставка составляет 12% за период выплат.
11) Определите непрерывный срок окупаемости проекта (-20, 30, -15, 6, 15), если процентная ставка составляет 12% за период выплат.
12) Определите непрерывный срок окупаемости проекта (-10, 7, -13, 20, 5), выплаты по которому осуществляются по кварталам, если процентная ставка составляет 12% годовых, начисляемых 4 раза в год.
13) Определите NPV проекта (-8, -7, 10, 20, 5), выплаты по которому осуществляются по полугодиям, если процентная ставка составляет 16% годовых, начисляемых 2 раза в год.
14) Определите NPV проекта (-15, -7, 15, 20, 5), выплаты по которому осуществляются по полугодиям, если эффективная процентная ставка составляет 10% годовых.
15) Определите непрерывный срок окупаемости проекта (-15, -7, 15, 20, 5), выплаты по которому осуществляются по полугодиям, если эффективная процентная ставка составляет 10% годовых.
Задание 14 «Инвестиционный портфель»
1) Найдите оптимальный портфель для жестких предложений
(-200, 50, 100, 100, 200),
(-300, 80, 100, 100, 400),
(-400, 200, 200, 300, 100),
при начальном капитале (К) 300, 400, 500, 700 и банковской процентной ставке (i), равной а)10%, б)20%, в)40% годовых без возможности заимствования.
2) Решите предыдущую задачу, если предложения гибкие.
3) Найдите оптимальный портфель
(-200, -50, 100, 100, 150, 350),
(-300, -80, 200, 200, 300, 300),
(-400, -200, 300, 300, 400, 400)
при начальном капитале 200, 300, 400, 500, 600, 700 и банковской процентной ставке, равной а)10%, б)20%, в)30%, г)50% годовых без возможности заимствования для жестких предложений.
4) Найдите, какую часть проекта (-300, 350, -350, 365) выгоднее всего финансировать, если банковская процентная ставка равна 10% за период выплат, а ставка заимствования равна 20% за период выплат при начальном капитале инвестора, равном 200 у.е.
Задание 15 «Первичные ценные бумаги»
1) По привилегированной акции номиналом 50 у.е. выплачивается дивиденд в размере 9 у.е. Определить цену акции, если требуемая норма прибыли 18 % годовых.
2) На биржевом рынке продаются акции по цене 150 р. за акцию. По прогнозам дивиденды не будут выплачиваться в течение 3-х лет. Прибыль пойдет на развитие компании. Какова должна быть цена акции через 3 года, чтобы обеспечить требуемую норму прибыли 20 % годовых?
3) Предполагается, что в течение следующих 3-х лет вся прибыль компании будет идти на выплату дивидендов, прогнозируемых на уровне 8 у.е. на акцию. Какой должна быть цена акции, чтобы обеспечить требуемую норму прибыли 18% годовых? Решите в предположении, что цена остается неизменной.
4) Продается облигация номиналом 500 у.е. Купонная ставка составляет 15% годовых. Выплата купонов производится 1 раз в год. До погашения облигации остается 5 лет. Требуемая норма прибыли (доходность) на инвестиции с учетом риска, соответствующего данному типу облигаций, составляет 18% годовых. Определите внутреннюю цену облигации.
5) Продается облигация номиналом 1000 у.е. Купонная ставка составляет 15% годовых. Выплата купонов производится 1 раз в год. До погашения облигации остается 5 лет. Требуемая норма прибыли в течение первых 3-х лет – 18% годовых, 4-ый год – 17%, 5-ый год – 15% годовых. Определите внутреннюю цену облигации.
6) Бескупонная облигация номиналом 500 у.е. погашается по номиналу через 3 года. Определите внутреннюю цену облигации, если ставка дисконтирования составляет 15% годовых.
7) Определите цену краткосрочной облигации номиналом 500 у.е., погашение через 180 дней. Требуемая норма прибыли по данному типу облигаций составляет 14% годовых.
8) Последний выплаченный дивиденд по акции равен 1 у.е. (D0=1 у.е.) Ожидается, что он будет возрастать в течение следующих 3-х лет с темпом 14% в год, затем темп прироста стабилизируется на величине 5% в год. Какова внутренняя стоимость акции (P0), если рыночная норма прибыли 15% годовых?
9) В следующем году по акциям компании Х предполагается выплата дивидендов в размере 2 у.е. на акцию. Темп прироста дивидендов постоянный, на уровне 6% в год. Рыночная ставка по ценным бумагам с такой же степенью риска 20% годовых, начисляемых 2 раза в год. Какова внутренняя стоимость акции?
10) Инвестор купил акции фармацевтической компании Х. Ожидается, что в следующем году бездивидендная цена акции составит 40 руб., а дивиденды 2 руб. на акцию. Темп прироста дивидендов постоянный, 10% в год. На какую норму прибыли ориентировался инвестор при покупке акций?
11) Компания переживает период быстрого роста. Ожидается, что прибыль и дивиденды будут возрастать на 16% в год в следующие 2 года, на 15% в 3-й год, а затем ежегодно с постоянным приростом 7% в год. Норма прибыли по подобным акциям составляет 10% годовых, а выплаченный в конце отчетного года дивиденд на акцию равен D0=10 руб. Следует ли покупать акцию, если текущий рыночный курс равен 510 руб.?
12) Последний выплаченный компанией АА дивиденд равен 7 у.е. Темп прироста дивидендов 3% в год. Какова внутренняя стоимость акций, если сила роста 11,33% годовых?
13) 2 года назад компания платила дивиденды 20 руб. на акцию. Последний выплаченный дивиденд (D0=28,8) составил 28,8 руб. на 1 акцию. Ожидается, что такой же среднегодовой темп прироста дивидендов сохранится и в последующие 2 года, затем темп прироста стабилизируется на уровне 15% в год. Текущая рыночная цена акции 600 руб. Следует ли покупать акции, если рыночные ставки на активы данной группы риска ожидаются в размере 25% в 1-й год, 23% годовых - в последующие годы?
14) Облигация сроком 5 лет, проценты по которой выплачиваются раз в году по ставке 8% годовых, куплена за 65 у.е. Номинал 100 у.е. Определите: а) текущую доходность облигации, б) доходность к погашению, в) годовую доходность за период владения, если инвестор продаст облигацию через 3 года за 80 у.е. г) реализованный процент при условии, что инвестор сможет реинвестировать процентные доходы под 20% годовых. Если бы инвестор не реинвестировал процент, какова была бы доходность в этом случае?
15) Для облигации предыдущей задачи определите характеристики риска: а) средний срок, б) дюрацию, в) модифицированную дюрацию. Определите, насколько процентов изменится цена облигации при увеличении доходности к погашению на 1%? Найдите это двумя способами: г) приближенно, д) точно. (Примечание: в качестве ставки приведения берется полная доходность облигации, т.е. доходность к погашению).
16) Даны 3 облигации корпорации Х с выплатами 5%, 6%, 10% от номинала и сроками 8, 9, 9 лет соответственно. Какая облигация наименее рискована?
Задание 16 “Финансовый риск. Формирование портфеля”
1) Цена акции может принимать значения 5, 12 и 18 с вероятностями, равными соответст-венно 0.4, 0.5 и 0.1. Найдите среднюю цену и риск акции.
2) Дано 5 видов акций, средние цены которых равны соответственно 1, 2, 3, 4, 5, а дисперсии цен – 2, 4, 5, 10, 15. Найдите средние цены и дисперсии портфелей, составленных поровну из акций первых двух видов, первых трех видов, первых четырех видов, всех пяти видов в предположении независимости цен всех акций.
3) Ответьте на вопрос задачи 2 в предположении, что коэффициент корреляции цен первых двух бумаг равен 0.8, четвертой и пятой –0.8, остальные равны нулю. Сравните полученные результаты.
