Частини, суграфи і підграфи графу.
Лекции.Орг

Поиск:


Частини, суграфи і підграфи графу.




Операції з частинами графу

Визначення. Граф Н називається частиною графу G (позначається H Í G), якщо:

а) V(H) Í V(G);

б) E(H) Í E(G).

Визначення. Граф Н називається суграфом графу G, якщо він є частиною графу G і

V(H) = V(G).

На Рис. 4 зображені граф G і його три частини. Граф H3 є суграфом.

 

Рис.4.

 

Визначення. Суграф H називається покриваючим для графу G, якщо будь-яка вершина H інцидентна хоча б одному ребру з G. Зауважимо, що якщо в графі G є ізольовані вершини, то для нього не існує покриваючого графу H.

Визначення. Підграфом G(U) графу G(V) називається така його частина, яка містить всі ребра графу G(V), що з’єднують дві будь-які вершини з множини U.

На рис. 4 H1 не є підграфом G (не містить ребро e(2, 4)), а H2 – підграф графу G.

Визначення. Зірковим графом, який визначається деякою вершиною a Î V, називається граф, що містить всі ребра даного графу G(V), інцидентні вершині „a”.

За аналогією з операціями поміж множинами можна виконувати і операції між графами.

Визначення. Якщо H – частина графу, то (доповнення графу H) – це граф, в який входять всі ребра графу G, які не належать H:

.

Визначення. Нехай H1 і H2 - дві частини графу G. Тоді H = H1 È H2 (об’єднання або сума) це також частина графу G, яка складається зі всіх ребер, що належать або H1 або H2.

Визначення. Нехай H1 і H2 - дві частини графу G. Тоді H = H1 Ç H2 (перетин) це частина графу G, яка складається зі всіх ребер, що належать H1 та H2 одночасно.

Визначення. Якщо дві частини H1 і H2 графу G не мають спільних вершин, то їх сума H = H1 È H2 називається прямою. Якщо H1 і H2 не перетинаються по ребрах, то їх сума називається прямою по ребрах.

Наприклад: - пряма сума за ребрами.

 

Маршрути, ланцюги і цикли

Деякі визначення

 

Нехай G - неорієнтований граф.

Визначення. Маршрутом в G називається скінченна або нескінченна послідовність ребер S = {…, e0, e1, …, en, …} в якій кожні два сусідні ребра ei - 1 і ei мають спільну вершину, тобто

e0 = (v0, v1)

e1 = (v1, v2)

e2 = (v2, v3)

. . .

en = (vn, vn + 1).

 

Визначення. Якщо в S немає ребер, які стоять перед e0, то v0 називається початковою вершиною S; якщо немає ребер після en - 1, то vn - кінцевою вершиною. Якщо вершина vi належить і ei - 1 і ei, то вона називається внутрішньою.

Визначення. Якщо маршрут S має початкову і кінцеву вершини, то він називається скінченним; якщо S має початок і не має кінцевої вершини (або навпаки), то він називається односторонньо-нескінченним; якщо немає ні початкової вершини ні кінцевої – то двосторонньо-нескінченними. Якщо S має початкову вершину v0 і кінцеву vn, то позначається

S = S(v0, vn)

(тобто S - це маршрут довжини n, який з’єднує вершини v0 і vn ).

Визначення. Якщо v0 = vn, то маршрут називається циклічним.

Визначення. Якщо vi і vj - дві вершини маршруту S, то

S(vi, vj) = (ei, …, ei + 1, …, ej - 1)

називається підмаршрутом.

На рис.5 маршрут S = (e1, e2, e3, e4, e5) є скінченним, має довжину 5, початкову вершину v1 і кінцеву v5. Маршрут S = (e2, e3, e4) є підмаршрутом даного маршруту.

 

Рис.5

 

Визначення. Ланцюг – це маршрут, кожне ребро якого зустрічається рівно один раз. Циклічний ланцюг називається циклом.

Визначення. Нециклічний ланцюг називається простим, якщо в ньому жодна вершина не повторюється. Цикл з початком (і кінцем) в v0 називається простим, якщо в ньому жодна вершина, крім v0 не повторюється.

Зрозуміло, що частина ланцюга або циклу теж є ланцюгом або циклом.

Для орієнтованих графів вводяться в розгляд як неорієнтовані маршрути (ланцюги) (тобто не приймається до уваги орієнтація ребер), так і орієнтовані маршрути (ланцюги).

 

Зв’язаність

 

Нехай G - неорієнтований граф.

Визначення. Дві вершини „a” і „b” графу G називаються зв’язними, якщо існує маршрут S(a, b).

Якщо в S(a, b) деяка вершина vi повторюється більше одного разу, то відкидаючи циклічну ділянку S(vi, vi), отримаємо новий маршрут S’(a, b), в якому вершина vi зустрічається тільки один раз. Повторюючи цю процедуру для всіх таких вершин vi, приходимо до висновку: якщо дві вершини в графі можуть бути зв’язані маршрутом, то існує і простий ланцюг, який зв’язує ті ж вершини.

Визначення. Граф G називається зв’язним, якщо зв’язна будь-яка його пара вершин.

Всі підграфи G(Vi) зв’язного графу G(V) є теж зв’язними і називаються зв’язними компонентами графу.

Зауважимо, що зв’язність – відношення еквівалентності між вершинами графу:

а) довільна вершина v графу зв’язана сама з собою;

б) якщо „a” і „b” – зв’язні (тобто існує маршрут S(a, b)), то в силу неорієнтованості графу „b” і „а” теж зв’язані (маршрутом S(b, a));

в) якщо зв’язані „а” і „b” (маршрутом S1(a, b)) і „b” і „с” (маршрутом S2(b, c)), то існує маршрут з „а” в „с” (S1(a, b) + S2(b, c)), тобто вершини „a” і „c” теж зв’язані.

В силу відомого твердження з алгебри, граф G розбивається на класи еквівалентності – підграфи, в яких всі вершини є зв’язаними між собою і які не мають спільних вершин:

, (пряма сума)

таким чином, істинне

Твердження. Довільний неорієнтований граф розбивається на пряму суму своїх зв’язаних компонент.

Це дозволяє більшість задач зводити до випадку зв’язаних графів.

 





Дата добавления: 2016-11-24; просмотров: 331 | Нарушение авторских прав | Изречения для студентов


Читайте также:

Рекомендуемый контект:


Поиск на сайте:



© 2015-2020 lektsii.org - Контакты - Последнее добавление

Ген: 0.005 с.