Приклади розв’язання типових задач

1. Довести тотожність для множин: A \ (B Ç C) = (A \ B) È (A \ C)

Розв’язування: Запишемо ланцюжок рівносильних тверджень

x Î A \ (B Ç C) Û (x Î A)i (x Ï B Ç C) Û (x Î A)i (x Î ) Û (x Î A)i (x Î ) Û

(x Î A)i (x Î або x Î ) Û (x Î A i x Î ) або (x Î A i x Î ) Û (x Î A i x Ï B) або (x Î A i x Ï С) Û x Î(A \ B) È (A \ C)

Таким чином, множини A \ (B Ç C) та (A \ B) È (A \ C) співпадають. Тотожність доведено.

2. Дослідити властивості (ін’єктивність, сюр’єктивність та бієктивніть) відображення f: X → Y, де X – множина прямокутників на площині, Y = R ₊ - множина додатніх дійсних чисел, f (x) = площа (x).

Розв’язування: Введемо такі позначення. Довільний прямокутник x можна подати як впорядковану пару довжин його сторін (a_x, b_x) де a_x та b_x – додатні дійсні числа, тоді відображення f (x) = площа (x) визначатиметься виразом f (x) = s_x = a_x × b_x.

a) ін’єктивність. Візьмемо довільне s Î Y та виберемо прямокутник зі сторонами a_x і b_x = . Тоді для довільного a_x, площа f (x) = = s. Отже, довільне число прямокутників будуть переходити при даному відображенні в одне і те ж число s. Тому відображення не є ін’єктивним;

б) сюр’єктивність. Подібно до наведених вище міркувань візьмемо довільне y Î Y та зафіксуємо одну із сторін прямокутника a_x = 1. Тоді b_x = y і для кожного додатнього цілого числа y Î Y у множині X знайдеться прямокутник зі сторонами (1, y). Значить, відображення сюр’єктивне;

б) бієктивність. Оскільки задане відображення не ін’єктивне, то за означенням воно не є бієктивним.

3. Задано відношення R Í X ´ X, X = N, (x, y) Î R, якщо x ² – y ² ділиться на 2 (мається на увазі без остачі). Дослідити відношення на рефлективність, антирефлективність, симетричність, антисиметричність, транзитивність.

Розв’язування: Очевидно, що відношення є рефлективним, бо для довільного x з множини натуральних чисел вираз x ² ‑ x ² рівний нулю, а отже ділиться на 2.

Відношення не є рефлективним, бо скажімо для x =7 пара (7,7) належить до відношення.

При аналізі на симетричність припустимо, що (x, y) Î R, і нехай (x ² – y ²) / 2 = z. Тоді для (y, x), (y ² – x ²) / 2 = - z, отже і (y, x) Î R. Звідси робимо висновок, що відношення R є симетричним.

Дане відношення не є антисиметричним: для різних елементів x =11 та y =3 з множини натуральних чисел одночасно виконуються умови: x ² – y ² ділиться на 2 та y ² – x ² ділиться на 2.

З умови належності пари (x, y) відношенню R випливає, що x та y повинні одночасно бути або парними або непарними числами. Для того, щоб (y, z) Î R, необхідно, щоб число z також було або парним або непарним одночасно з числом y, а, отже, і з числом x. Тому умова транзитивності (x R y і y R z Þ x R z) виконується.

Так як, досліджене відношення R є рефлективним, симетричним та транзитивним, то це - відношення еквівалентності.