Многоэлектронные атомы. Рентгеновские спектры

Состояние каждого электрона в атоме характеризуется четырьмя квантовыми числами:

главным – n = 1, 2, 3…,

орбитальным – l = 0, 1, 2,…, n -1,

магнитным – m = 0, ±1, ±2,…, ±l,

спиновым – m_s = ±1/2.

Распределение электронов в многоэлектронном атоме по состояниям подчиняется принципу Паули, согласно которому в любом атоме не может быть более одного электрона с одинаковым набором четырех квантовых чисел, т.е.

z(n,l,m,m_s) = 0 или 1.

Пользуясь принципом Паули можно легко найти максимальное число электронов в атоме с заданным значением квантовых чисел по формулам

z(n,l,m) = 2, (7.30)

z(n,l) = 2(2 l + 1), (7.31)

z(n) = 2 n ². (7.32)

Совокупность электронов в атоме, имеющих одно и то же квантовое число n, образует электронную оболочку. В каждой оболочке электроны подразделяются по под- оболочкам, соответствующим заданному значению l. Если все состояния в электронной подоболочке заняты, то она называется замкнутой. Распределение электронов по оболочкам и подоболочкам представлено в таблице.

Номер оболочки n	Число электронов в подоболочке	Количество электронов в оболочке
s l =0	p l =1	d l =2	f l =3	g l =4
		-	-	-	-
			-	-	-
				-	-
					-

U₃ ₃3

U₂ ₂

U₁ 1

U₃>U₂>U₁

λ _min Рис.7.7 Рис.7.8

В исследовании свойств электронных оболочек атомов большую роль сыграло рентгеновское излучение. Для получения рентгеновского излучения используют рентгенов- ские трубки, в которых ускоренные электрическим полем электроны бомбардируют антикатод (рис.7.7).

Рентгеновское излучение представляет собой электро- магнитные волны с длиной l = (10^-12 ¸ 10^-8) м.

Существует два типа рентгеновского излучения. При энергиях электронов, не превышающих некоторой критиче- ской величины, зависящей от материала антикатода, возникает излучение со сплошным спектром (рис.7.8), характеризую- щимся коротковолновой границей l_min. С увеличением

ускоряющего напряжения между катодом и антикатодом, интенсивность излучения возрастает, а длина l_min уменьшается.

Сплошной спектр обусловлен торможением быстрых электронов в материале антикатода и рентгеновское излучение называется тормозным. В соответствии с классической электродинамикой при торможении электронов должны возникать волны всех длин. Наличие коротковолновой границы спектра можно объяснить лишь на основе квантовых представлений. Очевидно, что максимальная энергия рентгеновского кванта, возникшего за счет энергии электрона, не может превышать этой энергии. Отсюда

hn_max = eU

l_min = c/n_max = ch/eU, (7.33)

где U – ускоряющая разность потенциалов.

Вторым типом рентгеновского излучения является характеристическое излучение. Оно возбуждается при достаточно большой скорости электронов и имеет линейчатый спектр, характеризующий вещество антикатода рис.7.9. Атомы каждого элемента, независимо от того, в каких химических соединениях они находятся, обладают своим, вполне определенным линейчатым спектром. Как и оптические спектры, рентгеновские линейчатые спектры состоят из линий, объединенных в серии. У разных элементов наблюдаются однотипные серии линий.

Тот факт, что характеристические спектры не изменяются при химических реакциях атомов, указывает на то, что их возникновение связано с процессами, происходящими во внутренних электронных оболочках. Механизм возникнове-

ния рентгеновских серий схематически показан на рис.7.10.

При выбивании электрона, например с К -оболочки, на его место может перейти электрон с L -, M -, N -оболочки. Такие переходы приводят к возникновению К-серии. Частоты линий возрастают в ряду К_a ® К_b ® К_g, тогда как их интенсивность убывает. Аналогично возникают и другие серии.

Рис.7.9 Рис.7.10

L - серия

К - серия

При исследовании зависимости частоты ν характеристи- ческого излучения от атомного номера Z элемента антикатода, Мозли установил следующий закон

, (7.34)

где s - постоянная экранирования, с – константа, имеющая свои значения для каждой линии.

Данное соотношение можно представить в виде, напоминающем обобщенную формулу Бальмера

где R’ = Rc = 3.29 ^.10¹⁵ с ^-1 – постоянная Ридберга, m = 1, 2, 3… определяет уровень, на который переходит электрон, n принимает целочисленные значения от (m +1) и определяет уровень, с которого переходит электрон. Постоянная экранирования для К - серии - s = 1, для L - серии - s = 7,5.

7.10. Понятие о квантовых генераторах.

С точки зрения квантовой механики основное, не возбужденное состояние атома должно сохраняться как угодно долго, если нет внешних причин, вызывающих изменение энергии атома. Под действием внешнего излучения атом осуществляет переход в возбужденное состояние, что приводит к поглощению излучения (рис. 7.11,а). Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии по экспериментальным оценкам составляет ~10^-8с. Из этого состояния он сам собой переходит в основное состояние, излучая свет с частотой (рис.7.11,6). Такое излучение, называется самопроизвольным или спонтанным. Поскольку спонтанные переходы атомов взаимно не связаны, то такое излучение является некогерентным. Помимо процес- сов поглощения и спонтанного излучения существует еще один процесс, получивший название индуцированного излучения.

Рис.7.11.

Если на атом, находящийся в возбужденном состоянии Е₂, действует внешнее излучение с частотой ω, удовлетворя- ющее условию =E₂-E₁, то существует вероятность перехода атома в основное состояние, с излучением фотона той же энергии (рис.7.11,в). Важно отметить, что вторичный фотон, испущенный атомом, тождественен первичному. Он имеет такую же частоту, фазу, поляризацию и направление распространения, как и первичный. Таким образом, индуциро- ванное излучение строго когерентно с вынуждающим излуче- нием. Фотоны, появившиеся в результате индуцированного излучения, будут усиливать свет, проходящий через среду.

При прохождении излучения через вещество акты вынужденного испускания фотонов будут преобладать над актами поглощения, если число атомов в возбуждённом состоянии больше, чем в основном (). Такие состояния называют инверсными (обращёнными), а среды в которых за счёт вынужденных переходов происходит усиление света,- активными. Перевод среды в инверсное состояние называют накачкой. Способы достижения и поддержания инверсии в активной среде зависят от её структуры. В твёрдых телах и жидкостях используется главным образом оптическая накачка, в газовых средах используется более эффективные методы: электрический разряд, газодинамическое истечение, химиче- ские реакции и другие, обеспечивающие высокие мощности. Возбуждение полупроводниковых сред может производится постоянным током, пучком электронов, оптической накачкой.

Первый квантовый генератор был разработан в 1954 г. советскими физиками А.М. Прохоровым, Н.Г. Басовым и американским физиком Таунсом.

В настоящее время широкое распространение получили газовые и полупроводниковые лазеры, лазеры на сложных органических соединениях, ионные лазеры и др.

Основными компонентами любого лазера являются:

1) активная среда, в которой осуществляются вынужден- ные переходы;

2) система накачки, обеспечивающая инверсную населен- ность;

3) оптический резонатор, формирующий лазерный луч.

В простейшем случае оптический резонатор состоит из двух вогнутых параллельных зеркал (1,2), расположенных на общей оптической оси с активной средой (рис.7.12). Одно из зеркал (1) полупрозрачно. Любой фотон возникший в активной среде за счёт спонтанного испускания атомов среды является ”затравкой” процесса генерации света. Фотон, который движется параллельно оси резонатора, рождает лавину фотонов, летящих в том же направлении (рис.7.12а). Часть этой лавины частично пройдёт через полупрозрачное зеркало, а часть отразится и будет нарастать в активной среде (рис.7.12.б). Те из фотонов, которые движутся вдоль оси, испытывают многократное отражение, в результате чего поток фотонов, параллельный оси резонатора, будет лавинообразно нарастать. Когда лазерный луч становится достаточно интенсивным, часть его выходит через полупрозрачное зеркало (рис.7.12.в).

а) б) в)

2 3 1

Рис.7.12.

Таким образом, с помощью зеркал в оптическом квантовом генераторе реализуется положительная обратная связь, необходимая для того, чтобы был обеспечен режим генерации, и формируется лазерное излучение с высокими когерентными свойствами.

Основные свойства лазерного излучения:

- временная и пространственная когерентность (l _к~10^{-5 м);}

- строгая монохроматичность (Δλ<10^{-11 м);}

- большая мощность излучения (~10¹⁰ Вт/м);

- узость пучка;

Основные области применения лазеров:

- обработка, резание и микросварка твердых металлов;

- получение и исследование высокотемпературной плазмы,

- управление термоядерным синтезом;

- измерительная техника;

- создание систем голографической памяти с высокой степенью считывания и большой емкостью;

- микрохирургия.

7.11. Примеры решения задач по квантовой механике и физике атома

Пример 1. Поток моноэнергетических электронов падает нормально на диафрагму с узкой щелью шириной b = 2 мкм. Найти скорость электронов, если на экране, отстоящем от щели на L = 50 см, ширина центрального дифракционного максимума D x = 0,36 мм.

Решение

Согласно гипотезе де Бройля длина волны l, соответствующая частице массой m, движущейся со скоростью V, выражается формулой

l= h/ mV. (1)

Δх

При дифракции на узкой щели ширина центрального дифракционного максимума равна расстоянию между дифракционными минимума- ми первого порядка. Дифракциионные минимумы при дифракции на одной щели наблюдаются при условии

b sinj= k l, (2)

где k = 1,2,3… - порядковый номер минимумов.

Для минимумов первого порядка (k =1), угол заведомо мал, поэтому sinj = j, и, следовательно, формула (2) примет вид

b j = l, (3)

ширина центрального максимума

Dx= 2L tg j = 2L j. (4)

Выражая j из (4) и подставляя его в (3), получаем

l = b Dx/ 2L. (5)

Искомую скорость электронов найдем из соотношения (1) с учетом формулы (5):

V= h/m l= 2 h L/ m b Dx. (6)

После вычисления по формуле (6) получим V = 10⁶ м/с.

Пример 2. Определить длину волны де Бройля λ электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов 700 кВ.

Решение

Связь длины волны де Бройля с импульсом

где h = 6,63×10^-34 Дж××с – постоянная Планка, причём импульс вычисляется различным образом для релятивистского () и нерелятивистского () случаев, где m, T, E₀ – соответственно масса, кинетическая энергия, энергия покоя частицы.

Кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряю- щую разность потенциалов U,

Т= | e | U = 0,7 эВ,

а энергия покоя электрона Е₀ = mc ²МэВ, т.е. в данном случае имеем дело с релятивистской частицей.

Тогда искомая длина волны де Бройля

где m = 9,11×10^-31 кг; c =3×10⁸ м/c; е =1,6×10^-19 Кл.

Вичисляя, получаем λ = 1,13 пм.

Пример 3. Используя соотношения неопределенностей DxDp_x ³ h/ 2 p, найти выражение, позволяющее оценить минимальную энергию E электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике шириной l.

Решение

Из данного соотношения следует, что, чем точнее определяется положение частицы, тем более неопределенным становится импульс, а, следовательно, и энергия частицы. Неопределенность координаты электрона D x= l / 2. Тогда соотношение неопределенностей можно записать в виде

l /2 D p ³ h/ 2p,

откуда

Dp ³ h/ p l.

Физически разумная неопределенность импульса Dp, во всяком случае, не должна превышать значения самого импульса, т.е. p ³ Dp.

Энергия E электрона, находящегося в одномерном потенциальном ящике, есть его кинетическая энергия T, величину которой можно связать с импульсом соотношением

T= p² / 2m.

Заменив p на Dp, получим

E_min= (h²/ 2 p ²)/(m l²).

Пример 4. Электрон находится в бесконечно глубокой одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной L. Вычислить вероятность обнаружения электрона на первом энергетическом уровне в интервале L /4, равноудаленном от стенок ямы.

Решение

Вероятность P обнаружить частицу в интервале x₁<x<x₂ определяется равенством

(1)

где Y(x) – нормированная собственная волновая функция, отвечающая данному состоянию.

Нормированная собственная волновая функция, описывающая состояние электрона в потенциальной яме, имеет вид

Y_n(x)= (2/L)^½ sin(pn x/L).

Невозбужденному состоянию (n = 1) отвечает волновая функция

Y₁(x)= (2/L)^½ sin(p x/L). (2)

Подставив Y₁(x) в подынтегральное выражение формулы (1) и вынося постоянные за знак интеграла, получим

(3) Согласно условию задачи x₁= 3 L / 8и x₂= 5 L / 8. Произведя замену

sin²(p x/L) = 1 /2 [1 – cos( 2 p x/L)],

получим

Пример 5. Электрон в возбужденном атоме водорода находится в 3 d – состоянии. Определить изменение механи- ческого и магнитного моментов, обусловленных орбитальным движением электрона, при переходе атома в основное состояние.

Решение

Изменение механического DL и магнитного DP_m моментов находится как разность моментов в конечном (основном) и начальном (возбужденном) состояниях, т.е.

DL = L₂ – L₁,

DP_m = DP_m₂ - DP_m₁.

Механические и магнитные моменты орбитального движения электрона зависят только от орбитального квантово- го числа l:

L = (h / 2 p) (l (l + 1 ))^½, P_m = m_Б (l (l + 1 ))^½.

Учитывая, что в основном состоянии l =0, L₂ = 0, P_m = 0, а в возбужденном состоянии (3 d) l = 2, найдем изменение орбитального механического и магнитного моментов:

Знак минус показывает, что в данном случае происходит уменьшение орбитальных моментов.

Подставив значения, получим

DL = -2,57×10^-34 Дж с;

DP_m = -2,27×10^-23 Дж/Тл.

Пример 6. Определить скорость электронов, падающих на антикатод рентгеновской трубки, если минимальная длина волны l_min всплошном спектре рентгеновского излучения равна 1 нм.

Решение

В рентгеновской трубке электрон приобретает кинетиче- скую энергию T=mV² /2, которая связана с ускоряющей разностью потенциалов U соотношением

T= eU, (1)

где e – заряд электрона.

Следовательно, скорость электронов, падающих на анти- катод рентгеновской трубки, зависит от напряжения, приложенного к рентгеновской трубке:

V= ( 2 e U/m)^½. (2)

Тормозное рентгеновское излучение возникает за счет энергии, теряемой электроном при торможении. В соответ-ствии с законом сохранения энергии энергия фотона не может превысить кинетическую энергию электрона. Максимальная энергия фотона определяется равенством

hn_max = h c /l_min = T = eU. (3)

Из последнего выражения находим U и, подставляя в (2), получаем:

V= (2 hc/ (m l_min))^½.

Произведя вычисления, найдем:

V » 21 Мм/с.

Пример 7. Вычислить длину волны l и энергию e фотона, принадлежащего K_a -линии в спектре характеристи- ческого рентгеновского излучения платины.

Решение

K_a- линия в спектре характеристического рентгенов- ского излучения платины возникает при переходе электрона с L -слоя на K -слой. Длина волны этой линии определяется по закону Мозли:

1 /l= R(z- σ)²(( 1 /m²) – ( 1 /n²)). (1)

Учитывая, что m = 1, n = 2, s = 1 (для K –серии), z = 78 (для платины), а постоянная Ридберга R = 1,1´10^-7 1/ м, находим:

l = 20,5´10 ^-12 м

Зная длину волны, определим энергию фотона по формуле

e= hc /l. (2)

Подстановка числовых значений дает e = 60,5 кэВ.

8. ОСНОВЫ ФИЗИКИ ЯДРА