Примеры решения задач по квантовой оптике

Пример 1. Железный шар диаметром d = 0,1 м, нагретый до температуры Т₁ =1500 К, остывает на открытом воздухе. Через какое время его температура понизится до Т₂ = 1000 К? При расчете принять, что шар излучает как серое тело с коэффициентом излучения e = 0,5. Теплопроводностью воздуха пренебречь.

Решение

Количество теплоты, теряемое шаром при понижении температуры на малую величину dT, равно

dQ = c m dT, (1)

где c – удельная теплопроводность железа; m – масса шара.

Учитывая, что

m = r V= 4/3 p r r³, (2)

где r – радиус шара; r - плотность железа, получаем

dQ= 4/3 pr r³ c dT, (3)

С другой стороны, количество теплоты, теряемое шаром вследствие излучения, можно найти, используя закон Стефана-Больцмана:

dQ= e s T⁴ S dt = e s T⁴ 4 p r² dt, (4)

где dt – время излучения, соответствующее понижению температуры на dT. Приравнивая правые части равенств (3) и (4), получаем

. (5)

Проинтегрировав это выражение, найдем

t= cr r(1/T₂³ – 1/T₁³)/ 3es. (6)

После подстановки числовых значений получим t = 500 с.

 

Пример 2. Вследствие изменения температуры черного тела максимум спектральной плотности энергети- ческой светимости сместился с длины волны l₁ = 2,4 мкм на l₂ = 0,8 мкм. Как и во сколько раз изменилась энергетическая светимость тела и максимальная спектральная плотность энергетической светимости?

Решение

Зная длины волн, на которые приходятся максимумы лучеиспускательной способности тела, и, используя закон смещения Вина, находим начальную и конечную температуры тела

T₁= b/ l₁, T₂= b/ l₂.

Энергетическая светимость черного тела определяется согласно закону Стефана-Больцмана

R^*= s T⁴,

следовательно, R₁^*/ R₂^* = (T₂/T₁)⁴ = (l₁/l₂)⁴.

Максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости определяется по второму закону Вина

r^*_{l Tmax} = c T⁵.

Тогда r^*_2max/ r^*_1max = (T₂/T₁)⁵ = (l₁/l₂)⁵.

Подставляя числовые значения, получаем

R₂*/R₁* = 81;

r^* _{2 max}/ r^* _{1 max} = 243.

Пример 3. Красная граница фотоэффекта у рубидия равна l₀ =0,8 мкм. Определить максимальную скорость фото- электронов при облучении рубидия монохроматическим светом с длиной волны l = 0,4 мкм. Какую задерживающую разность потенциалов нужно приложить к фотоэлементу, чтобы прекратился ток?

Решение

Энергия фотона вычисляется по формуле e =hc/l и составляет для l = 0,4 мкм e = 3,1 эВ. Эта величина значительно меньше энергии покоя электрона, поэтому максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона может быть выражена классической формулой T_max= ½ mV_max². Выразив работу выхода через красную границу фотоэффекта, на основании уравнения Эйнштейна получим

T_max= ½ m V_max² = h c/ l - h c/ l₀.

Откуда

V_max= (2 h c(l₀ - l)/(m l₀ l))^1/2 .

Подставив числовые значения, найдем V_max = 0,74×10⁸ м/с.

При U<0 внешнее поле между катодом и анодом фотоэлемента тормозит движение электронов. Задерживающая разность потенциалов Uз, при которой сила тока обращается в нуль, определится из уравнения e U_з =m V_max² / 2.

Следовательно, U_з= hc(1/l - 1/l₀) /e = 1,58 В.

 

Пример 4. Уединенный медный шарик облучают ультра- фиолетовыми излучением с длиной волны l = 165 нм. До какого максимального потенциала зарядится шарик?

Решение

Вследствие вылета электронов под действием излучения шарик заряжается положительно. Электрическое поле шарика тормозит вылетевшие электроны, однако, если их кинетическая энергия достаточно велика для преодоления электростатического притяжения, то они будут уходить практически в бесконечность. Максимальный потенциал, до которого зарядится шарик, определится из выражения

e j_max= m V_max² /2.

Из уравнения Эйнштейна

m V_max² /2= hn - A = hc/ l - A,

тогда

j_max= (hc/ l - A) /e = 3 эВ.

 

Пример 5. Фотон испытал рассеяние на покоившемся свободном электроне. Найти импульс налетавшего фотона, если энергия рассеянного фотона равна кинетической энергии электрона отдачи при угле j = p/2 между направлениями их разлета.

Решение

Кинетическая энергия T электрона отдачи на основании закона сохранения энергии равна разности между энергией e падающего фотона и энергией e’ рассеянного фотона

T= e - e’.

По условию задачи T= e’, значит, e= 2 e’, или

hc/ l= 2hc/ l’,

откуда l / l’ = 0,5, а с учетом формулы P= h/ l, P’/P = 0,5. Воспользуемся законом сохранения импульса, в соответствии с которым

.

Θ

α

Построим векторную диаграмму.

Угол j = 90° между направлениями разлета рассеянного фотона и электрона отдачи складывается из углов Q и a. Учитывая, что sinα = P^’/P = 0,5, а α = 30⁰, получим Q = j - a = 60°. На основании формулы Комптона l = 0,5 l_k, следователнополучаем

P= h / 0,5 l_k = 2 m₀ с = 1,02 МэВ/с.

 

Пример 6. Определить импульс электрона отдачи при эффекте Комптона, если фотон с энергией, равной энергии покоя электрона, был рассеян под угол Q= 180°.

Решение

Используя формулы для энергии и импульса фотона, определяем длину волны и импульс падающего фотона. Так как по условию

e= hc/ l=m₀c²,

то

h /m₀ c², P= h /l = m₀ c.

В соответствии с формулой Комптона для данного случая

l’ - l = l_k ( 1 – cos 180 °) = 2 l_k,

откуда длина волны рассеянного фотона равна

l’= 2 l_k + l= 2 h/ (m₀ c) + h/ (m₀ c) = 3 h /(m₀ c).

Величина его импульса

P’= h/ l’ = m₀ c/ 3.

Для нахождения импульса электрона отдачи построим векторную диаграмму импульсов.

 

 

 

По закону сохранения импульса , или P = -P’ + mυ

Из полученного уравнения найдем

mυ= P + P’ = 4/3 m₀c.

Подставив числовые значения, получим

mυ = 3,64´10^{-22 кг м/с} .

Пример 7. Пучок монохроматического света с длиной волны λ = 663 нм падает нормально на зеркальную плоскую поверхность. Поток излучения Ф_е = 0,6 Вт. Определить:

1) силу давления F_е, испытываемую этой поверхностью;

2) число фотонов ежесекундно падающих на поверхность.

Решение

1) Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления p на площадь S поверхности:

F = p·S. (1)

Световое давление может быть найдено по формуле

р = Е₀ (ρ + 1)/ c, (2)

где, Е₀ – энергетическая освещённость; с – скорость света в вакууме; ρ - коэффициент отражения.

Подставляя праву часть уравнения (2) в формулу (1), получаем

F = Е₀ S (ρ + 1)/ c. (3)

Так как Е₀ S представляет собой поток излучения Ф_е, то

F = Ф_е (ρ + 1)/ c. (4)

Проведём вычисления, учитывая, что для зеркальной поверхности ρ= 1:

.

2) Произведение энергии ε одного фотона на число фотонов n₁, ежесекундно падающих на поверхность, равно мощности излучения, т.е.потоку излучения: Ф_е= εn₁, а так как ε = hс/λ, то

Ф_е = hс n₁ / λ,

откуда

n₁= Ф_е λ / hс. (5)

Произведя вычисления, получим

n₁= 2·10¹⁸ с^-1.