Производные и дифференциалы высших порядков.

Рассмотрим дифференцируемую на множестве функцию и её производную . Производная является в свою очередь некоторой функцией аргумента . Если производная – дифференцируемая функция на множестве , то по отношению к ней снова можно ставить вопрос о нахождении производной. Назовем производной первого порядка или первой производной.

Производную от производной функции называют производной второго порядка или второй производной и обозначают так: , или , или .

Производная от второй производной называется производной третьего порядка или третьей производной и т.д.

Аналогично производной n-ого порядка от функции называется производная от производной (n-1)-ого порядка, т.е.

Обозначается n-ая производная так: , или , или

Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков. Все они получаются последовательным дифференцированием данной функции.

Пример 1. Найти производные второго порядка от функций

1. .

2. .

Решение.

1.

2.

Пример 2. Найти , если .

Решение.

 

Применение производной. Правило Лопиталя.

Способ раскрытия неопределенностей вида или при помощи производных называют обычно «правилом Лопиталя» (Лопиталь Гильом Франсуа (1661-1704 гг.) – французский математик).

Теорема. Пусть функции и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , кроме, может быть, самой точки , и пусть в этой окрестности. Если или , и при этом существует предел (конечный или бесконечный) отношения производных при , то .

Итак, правило Лопиталя утверждает, что предел отношения бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных, если последний существует.

Эта теорема справедлива также для односторонних пределов и в случае, когда , .

Таки образом, непосредственно правило Лопиталя используется лишь при раскрытии неопределенностей вида или . Тем не менее, к этому виду неопределенностей можно сводить неопределенности других видов.

Пример 1. Найти .

Решение. Если в заданное отношение подставим , то получим неопределенность вида . Применим правило Лопиталя.

.

Пример 2. Найти .

Решение. Имеем неопределенность вида . Применим правило Лопиталя.

.

Заметим, что применять правило Лопиталя можно неоднократно. Следует так же комбинировать правило Лопиталя с любыми другими приемами вычисления пределов. В случае неоднократного применения правила Лопиталя следует выполнить все возможные упрощения в выражении, полученном на предыдущем шаге.

Пример 3. Найти .

Решение.

.

Пример 4. Найти .

Решение. Имеем неопределенность вида .

.