Предположим, что функция 
описывает закон движения материальной точки по прямой линии, т.е. 
- путь, пройденный точкой за время 
. За малый промежуток времени 
от момента 
до момента 
материальная точка пройдет путь, равный 
, где 
и средняя скорость движения за время 
составляет 
.
Средняя скорость не характеризует состояние движения в определенные моменты времени, а является обобщенной характеристикой движения на промежутке времени 
.
Реальная механическая система за малый промежуток времени мало меняет свои параметры. В частности, средняя скорость за малый промежуток времени приближенно равна мгновенной или истинной скорости движения, и чем меньше промежуток времени, тем ближе средняя скорость к мгновенной и в пределе дает скорость движения в данный момент времени (мгновенная скорость). Таким образом, 
, т.е. физический смысл производной состоит в следующем: производная 
функции 
в момент времени 
равна мгновенной скорости движения, определяемого законом движения 
, т.е. 
или 
.
Заметим, что между понятиями непрерывности и дифференцируемости функции в точке существует определенная связь. А именно, если функция 
дифференцируема в данной точке 
, то она непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно. Функция может быть непрерывной в точке, но не иметь производной в этой точке. Например, функция 
является непрерывной в точке 
, так как
, 
и 
,
однако производной в этой точке функция не имеет, так как
не существует, так как 
, а это и означает, что функция 
в данной точке производной не имеет.
Правила дифференцирования функций.
Пусть функции 
дифференцируемы в точке , 
– постоянная. Тогда:
1. 
;
2. 
;
3. 
В частности, 
, т.е. постоянный множитель можно выносить за знак производной.
4. 
.
Производные основных элементарных функций:
| 1. | 
| 8. | 
|
| 2. | 
| 9. | 
|
| 3. | 
| 10. | 
|
| 4. | 
| 11. | 
|
| 5. | 
| 12. | 
|
| 6. | 
| 13. | 
|
| 7. | 
|
Производная сложной функции.
Если 
, аргумент которой 
является в свою очередь, функцией независимой переменной, т.е. 
, где функции 
и 
имеют производные, то 
- правило дифференцирования сложной функции.
Таким образом, производная сложной функции по независимой переменной равна её производной по промежуточной переменной, умноженной на производную промежуточной переменной по независимой переменной.
Пример 1. Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
Решение:
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4) 
;
5) 
.
Пример 2. Найти производные следующих сложных функций:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
Решение:
1) Обозначим 
, тогда 
;
2) Полагая 
, получится 
;
3) При 
, имеем 
;
4) 
;
5) 
;
6) 
.