Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций.

1. Сумма (разность) конечного числа бесконечно малых есть функция бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой функции при на функцию, ограниченную в окрестности точки , есть функция бесконечно малая.

3. Сумма бесконечно больших функций одного знака является бесконечно большой того же знака.

4. Произведение бесконечно большой при функции на функцию, имеющую предел при , не равный нулю, есть бесконечно большая.

5. Если функция является бесконечно малой при , то - бесконечно большая, и обратно, если функция является бесконечно большой при , то - бесконечно малая при ,то есть

(символическая запись ).

 

(символическая запись );

Поведение же функции, являющейся отношением бесконечно малых (неопределенность ), бесконечно больших при ,суммой бесконечно больших разных знаков , произведением бесконечно малой на бесконечно большую требует исследования. Нахождение предела в случае неопределенности называется раскрытием неопределенности.

Замечательные пределы.

Можно доказать следующие утверждения:

1)

2) . Возможно: и .

Они называются первым и вторым замечательными пределами.

Справедливы следствия:

1) ;

2)

С помощью замечательных пределов расширяется возможность вычислять пределы функций.

Приведем некоторые приемы вычисления пределов, излагая их на конкретных примерах.

Пример. Найти пределы (не применяя правило Лопиталя)

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)

Решение:

1)

Так как пределы числителя и знаменателя при равны нулю, то мы имеем неопределенность вида . Эту неопределенность можно раскрыть, разложив на множители квадратные трехчлены в числителе и знаменателе и сократив далее на общий множитель :

2)

Здесь мы имеем неопределенность вида . Домножим числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное числителю:

3)

Числитель и знаменатель дроби - бесконечно большие функции, поэтому здесь имеет место неопределенность вида . Чтобы раскрыть эту неопределенность поделим числитель и знаменатель на старшую степень переменной х в данной дроби:

.

4) .

Применяя первый замечательный предел , получим

.

5)

Используя формулу понижения степени , преобразуем числитель дроби, затем сведем предел к первому замечательному пределу ,

.

6)

Имеем неопределенность вида . Преобразуем функцию так, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом , или следствием .

7)

Преобразуем функцию так, чтобы воспользоваться вторым замечательным пределом:

Непрерывность функции.

Функция называется непрерывной в точке , если .

Ищем условия непрерывности в точке .

Функция непрерывна в точке , если

1. Существует предел

2. Существует значение функции в точке ()

3. Этот предел и значение функции совпадают, то есть .

Условие 3 можно переписать в виде: .

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.

Если правый (левый) предел совпадает со значением функции, то функция называется непрерывной справа (слева) в рассматриваемой точке, то есть

Точка называется точкой устранимого разрыва, если существуют конечные , и выполняется условие .

Этот разрыв можно устранить, изменив значение функции всего в одной точке, а именно, вместо в точке взять значение .

Но это будет уже другая функция, которая будет отличаться от функции всего в одной точке (при ).

Точка называется точкой разрыва I рода с конечным скачком, если существуют конечные и , но . При этом возможна непрерывность функции, с одной стороны.

Точка называется точкой разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних пределов не существует.

Пример. Функция задана различными аналитическими выражениями в различных областях изменения независимой переменной. Найти точки разрыва функции, если они существуют, и построить график функции.

Решение. Функции , , являются непрерывными на . Значит, функция может иметь разрыв только в точке перехода от одного аналитического выражения к другому. Такими точками являются точки и . Проверим условие непрерывности для точек и .

1. Найдем пределы слева и справа в точке и значение функции в этой точке.

.

Вывод: так как , то функция в точке является непрерывной.

2. Найдем пределы слева и справа в точке и значение функции в этой точке.

.

Вывод: так как , то функция в точке терпит разрыв. Поскольку односторонние пределы являются конечными, то точкой разрыва I рода с конечным скачком (слева непрерывна, так как ).

Скачок функции .

3. Строим график функции