Свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.

1) Пусть бесконечно малая и при всех . Тогда является бесконечно большой.

2) Пусть бесконечно большая и при всех . Тогда является бесконечно малой.

3) Если и бесконечно малые, то , являются бесконечно малыми.

4) Если бесконечно малая и ограниченная последовательность, то является бесконечно малой.

Последовательность называется ограниченной, если существует число такое, что при всех выполняется условие: .

В частности, постоянная последовательность , где - число, является ограниченной.

Можно доказать, что сходящаяся последовательность является ограниченной. Следовательно, к постоянной или сходящейся последовательности можно применять свойство 4): при умножении на бесконечно малую получим бесконечно малую .

Свойства можно использовать для вычисления пределов, причем свойства 3) и 4) распространяются на любое конечное число слагаемых и множителей.

Примеры. Найти пределы:

1) , так как , и являются бесконечно малыми и их сумма тоже.

2) , так как - ограниченная и - бесконечно малая. Тогда их произведение является бесконечно малой.

3) или по-другому - ограниченная, - бесконечно малая бесконечно малая. Далее ограниченная и бесконечно малая.

Действия с пределами.

Даны и - две последовательности. Их суммой (разностью) называется последовательность ; их произведением называется последовательность ; их частным называется последовательность , если при всех .

Теорема. Если сходится к и сходится к , то , и при для всех являются сходящимися, причем ; и , если .

Эту теорему можно сформулировать по-другому:

Теорема. Если существует и , и - числа, то существуют конечные пределы суммы, произведения и частного при для всех , при этом: ; и , если .

Теорема применяется при вычислении пределов, при этом дополнительно могут использоваться и свойства бесконечно малых и бесконечно больших.

Примеры. Найти пределы

1)

2)

3)

Неопределенности.

Теорема о действиях с пределами справедлива лишь в случае, если и являются числами. Можно доказать обобщенную теорему о действиях с пределами, в которой возможны равенства , , , и в случае частного . Запишем выводы обобщенной теоремы символически, например, справедливо: если , , то . Из этой строгой записи оставим только символическую запись: . Далее всю теорему запишем символически.

Обобщенная теорема.

1)

2)

3) , - число

4) , - число

5) - неопределенность

6)

7) , если

8) - неопределенность

9) , - число

10) , - число

11) ,

12) - неопределенность

13) - неопределенность

Рассмотрим конкретные примеры.

1) , , k – любое число.

,

.

Можно взять конкретные k: k=3, k=0, k=5.

2) ,

,

3) ,

,

4) ,

,

не существует, так как последовательность или подробнее -1, +1, -1, +1, -1, +1,... не может стремиться ни к какому числу.

Таким образом, складывая и можем получить любое число k, можем получить также , , можем получить отсутствие предела. Это и считается неопределенностью, в отличие, скажем, от пункта 6), где при любых конкретных и обязательно получится, что .

Обобщенная теорема позволяет расширить границы решаемых примеров, но не дает ответа в случаях неопределенностей , , и , так как в этих случаях ответа в общем виде нельзя дать – ответ зависит от конкретных последовательностей. Нахождение предела в случае неопределенности называется раскрытием неопределенности. Существует ряд приемов раскрытия неопределенностей, которые рассмотрим на примерах.

Примеры. Найти пределы:

1)

Такой способ решения называется делением числителя и знаменателя на в высшей степени (здесь ) для неопределенности .

2)

Такой способ называется умножением числителя и знаменателя на выражение, сопряженное числителю или знаменателю.

3)

Этот способ называется сокращением на общий множитель (здесь ) числителя и знаменателя. Кроме того, использовали деление на высшую степень.

Напомним, что