1) Пусть 
бесконечно малая и при всех 
. Тогда 
является бесконечно большой.
2) Пусть 
бесконечно большая и 
при всех . Тогда 
является бесконечно малой.
3) Если и бесконечно малые, то 
, 
являются бесконечно малыми.
4) Если бесконечно малая и ограниченная последовательность, то 
является бесконечно малой.
Последовательность 
называется ограниченной, если существует число 
такое, что при всех выполняется условие: 
.
В частности, постоянная последовательность 
, где 
- число, является ограниченной.
Можно доказать, что сходящаяся последовательность является ограниченной. Следовательно, к постоянной или сходящейся последовательности можно применять свойство 4): при умножении на бесконечно малую получим бесконечно малую 
.
Свойства можно использовать для вычисления пределов, причем свойства 3) и 4) распространяются на любое конечное число слагаемых и множителей.
Примеры. Найти пределы:
1) 
, так как 
, 
и 
являются бесконечно малыми и их сумма тоже.
2) 
, так как 
- ограниченная и - бесконечно малая. Тогда их произведение является бесконечно малой.
3) 
или по-другому 
- ограниченная, 
- бесконечно малая 
бесконечно малая. Далее ограниченная и 
бесконечно малая.
Действия с пределами.
Даны и 
- две последовательности. Их суммой (разностью) называется последовательность 
; их произведением называется последовательность 
; их частным называется последовательность 
, если 
при всех 
.
Теорема. Если сходится к 
и сходится к 
, то 
, 
и 
при для всех являются сходящимися, причем 
; 
и 
, если 
.
Эту теорему можно сформулировать по-другому:
Теорема. Если существует 
и 
, и - числа, то существуют конечные пределы суммы, произведения и частного при для всех , при этом: 
; 
и 
, если .
Теорема применяется при вычислении пределов, при этом дополнительно могут использоваться и свойства бесконечно малых и бесконечно больших.
Примеры. Найти пределы
1) 
2) 
3) 
Неопределенности.
Теорема о действиях с пределами справедлива лишь в случае, если 
и 
являются числами. Можно доказать обобщенную теорему о действиях с пределами, в которой возможны равенства 
, 
, 
, 
и 
в случае частного . Запишем выводы обобщенной теоремы символически, например, справедливо: если 
, 
, то 
. Из этой строгой записи оставим только символическую запись: 
. Далее всю теорему запишем символически.
Обобщенная теорема.
1)
2) 
3) 
, 
- число
4) 
, 
- число
5) 
- неопределенность
6) 
7) 
, если 
8) 
- неопределенность
9) 
, 
- число
10) 
, - число
11) 
, 
12) 
- неопределенность
13) 
- неопределенность
Рассмотрим конкретные примеры.
1) 
, 
, k – любое число.
, 
.
Можно взять конкретные k: k=3, k=0, k=5.
2) 
, 
, 
3) 
, 
, 
4) , 
, 
не существует, так как последовательность 
или подробнее -1, +1, -1, +1, -1, +1,... не может стремиться ни к какому числу.
Таким образом, складывая 
и 
можем получить любое число k, можем получить также 
, 
, можем получить отсутствие предела. Это и считается неопределенностью, в отличие, скажем, от пункта 6), где при любых конкретных 
и 
обязательно получится, что 
.
Обобщенная теорема позволяет расширить границы решаемых примеров, но не дает ответа в случаях неопределенностей 
, 
, 
и 
, так как в этих случаях ответа в общем виде нельзя дать – ответ зависит от конкретных последовательностей. Нахождение предела в случае неопределенности называется раскрытием неопределенности. Существует ряд приемов раскрытия неопределенностей, которые рассмотрим на примерах.
Примеры. Найти пределы:
1) 
Такой способ решения называется делением числителя и знаменателя на 
в высшей степени (здесь 
) для неопределенности .
2) 
Такой способ называется умножением числителя и знаменателя на выражение, сопряженное числителю или знаменателю.
3) 
Этот способ называется сокращением на общий множитель (здесь 
) числителя и знаменателя. Кроме того, использовали деление на высшую степень.
Напомним, что 
