Исследование функций и построение графиков. Исследование функций можно проводить по следующей схеме:

Исследование функций можно проводить по следующей схеме:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать функцию на четность и нечетность.

3. Найти асимптоты графика функции.

4. Найти интервалы возрастания и убывания функции, её экстремумы.

5. Найти интервалы выпуклости и вогнутости кривой и точки ее перегиба.

6. Найти точки пересечения графика функции с осями координат (если это возможно).

7. Построить график.

Иногда порядок исследования целесообразно выбирать, исходя из конкретных особенностей данной функции.

Пример 1. Построить график функции

Решение.

1. Область определения функции .

2. Функция ни четная, ни нечетная.

3. Выясним вопрос о существовании асимптот. Исследуем поведение функции вблизи точки разрыва .

Так как ,

то прямая является вертикальной асимптотой.

Для нахождения наклонных асимптот, вычисляем:

Таким образом, прямая наклонная асимптота. Горизонтальных асимптот нет

4. Вычислим производную

Очевидно, что при и . Кроме того, не существует при , но эта точка не принадлежит области определения функции, следовательно, точка не может быть точкой экстремума.

Методом пробных точек определяем знак производной в каждом из интервалов: .

 

Следовательно, функция возрастает на интервалах и убывает на интервале .

В точке функция имеет максимум. Так как при переходе через критическую точку производная знака не меняет, то в этой точке экстремума нет.

Имеем, .

5. Находим вторую производную

.

при и не существует при .

Определяем знак второй производной в каждом из интервалов .

График функции выпуклый на интервалах и вогнутый на интервале .

Точка с абсциссой - точка перегиба, так как при переходе через нее вторая производная меняет знак с минуса на плюс, а график функции изменяет выпуклость на вогнутость.
Имеем , следовательно, точка является точкой перегиба.

6. Для нахождения точек пересечения графика функции с осями координат полагаем , получаем . Затем полагаем , откуда или .

Последнее равенство возможно при , т.е. при . Других действительных значений, при которых нет, так как для равенства имеем дискриминант

.

Таким образом, имеем две точки пересечения графика функции с осями координат: и .

7. Построим график данной функции.

РАЗДЕЛ 5. Интегральное исчисление функций одной переменной

Неопределенный интеграл.

Пусть функция определена на некотором промежутке . Тогда функция называется первообразной для функции на промежутке , если для всех .

Если функция является первообразной функции на промежутке , то множество всех первообразных для задается формулой , где - некоторое постоянное число.

Совокупность всех первообразных для функции , определенных на некотором промежутке , называется неопределенным интегралом от функции на этом промежутке и обозначается символом .

Если является первообразной для функции на промежутке Х, то

Функция называется подынтегральной функцией, - подынтегральным выражением, – переменной интегрирования, символ - знаком неопределенного интеграла, С – постоянной интегрирования.

Назовем график какой-либо первообразной функции интегральной кривой.

Тогда геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство интегральных кривых, каждая из которых получается из любой другой кривой параллельным переносом вдоль оси Оу.