Взаимно однозначные соответствия

Определение. Соответствие между Х и Y называют взаимно однозначным, если каждый элемент множества Х имеет единственный образ в множестве Y и каждый элемент множества Y является образом точно одного элемента множества Х.

П р и м е р ы.

1) Пусть Х = { a, в, с } – множество сторон треугольника, Y = { A, B, C } – множество его углов. Соответствие R = {(а, А), (в, В),
(с, С)} – является взаимно однозначным.

2) Пусть Х – множество дней недели, Y = {пн, вт, ср, чт, пт, сб, вс}. Соответствие R = {(понедельник, пн), (вторник, вт), (среда, ср), (четверг, чт), (пятница, пт), (суббота, сб), (воскресенье, вс)} является взаимно однозначным.

3) Пусть N – множество натуральных чисел, В – множество четных натуральных чисел. Соответствие между ними зададим так: каждому натуральному числу n сопоставляется четное натуральное число 2 n и обратно, каждому натуральному числу 2 n сопоставляется число n Î N. Ясно, что это соответствие является взаимно однозначным.

Понятие взаимно однозначного соответствия позволяет определить понятие «равномощности множеств».

Определение. Множества X и Y называют равномощными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.

Если множества X и Y равномощны, то пишут X ~ Y.

Нетрудно заметить, что пары множеств, которые были рассмотрены в примерах 1, 2, 3 равномощны. В примерах 1 и 2 были рассмотрены пары конечных равномощных множеств, а в примере 3 – пара бесконечных равномощных множеств.

Равномощные конечные множества имеют одинаковое число элементов и называются равночисленными.

Среди бесконечных множеств бывают счетные и несчетные множества. Если бесконечное множество равномощно множеству N (натуральных чисел), его называют счетным. Пример счетного множества приведен выше – это множество четных натуральных чисел. Вообще, легко доказать, что любое бесконечное подмножество множества N счетно: чтобы пронумеровать его элементы, надо расположить элементы подмножества в порядке возрастания и присвоить им номера по порядку. Можно доказать, что множество Z (всех целых чисел), множество Q (всех рациональных чисел) являются счетными множествами. Множество действительных чисел R является несчетным множеством (доказательство приводится в [16], с. 51).

§ 4 Обратное соответствие. Противоположное соответствие

Приведенный рисунок 2 можно описать словами двояко: «треугольник х вписан в окружность у» и «окружность у описана вокруг треугольника х». Хотя геометрический смысл этих предложений один и тот же, речь в них идет о хотя и тесно связанных друг с другом, но разных соответствиях.

В первом случае речь идет о соответствии между множеством треугольников X и множеством окружностей Y. Во втором случае между множествами Y и X. Графики этих двух соответствий связаны друг с другом следующим образом: если пара (х, у) принадлежит графику первого соответствия, то пара (у, х) принадлежит графику второго соответствия, и обратно. Такие соответствия называют обратными друг другу.

Определение. Если R – соответствие между множествами X и Y, то обратным ему называют такое соответствие, обозначаемое R ^-1, между множествами Y и X, для которого y R ^-1 x в том и только в том случае, когда xRy.

Графики взаимно обратных соответствий между числовыми множествами симметричны относительно биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов. Чтобы получить граф соответствия R ^-1, надо изменить на обратное направление всех стрелок в графе соответствия R. На рисунках 3 и 4 приведены графы взаимно обратных соответствий R и R ^-1 между множествами X и Y.

Рис. 3 Рис. 4

Для любого соответствия R можно указать не только обратное, но и противоположное соответствие.

Определение. Если R соответствие между X и Y, то противоположным ему называют такое соответствие, обозначаемое , между множествами X и Y, которое является дополнением соответствия R до множества X ´ Y.

Таким образом, x y в том и только в том случае, когда не имеет место соответствие xRy, здесь х Î Х, у Î Y.

Например, если между множеством прямых X и множеством плоскостей Y задано соответствие R указанием характеристического свойства «прямая х параллельна плоскости у», где х Î Х, у Î Y, то противоположное соответствие между этими же множествами задается характеристическим свойством «прямая x не параллельна плоскости у».