Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕримеры отношений эквивалентности




Ўирокое применение отношений эквивалентности в современной математике св€зано с тем, что вс€кое отношение эквивалентности осуществл€ет разбиение множества, в котором оно определено, на классы.

ѕ р и м е р 1. ѕусть на множестве всех целых неотрицательных чисел N 0 = {0, 1, 2, 3, Е} задано отношение : Ђчисла х и у имеют один и тот же остаток при делении на 3ї. ƒокажем, что Ц отношение эквивалентности и определим классы эквивалентности, определ€емые этим отношением.

¬ самом деле:

а) отношение Ц рефлексивно, поскольку любое х Î N 0 имеет при делении на 3 тот же остаток, что х;

б) Ц симметрично, поскольку дл€ любых х, у Î N 0, если числа х и у имеют один и тот же остаток при делении на 3, то числа у и х имеют один и и тот же остаток при делении на 3;

в) Ц транзитивно, поскольку дл€ любых трех чисел x, y, z Î N 0, если х и у имеют один и тот же остаток при делении на 3, и у и z имеют один и тот же остаток при делении на 3, то числа х и z имеют один и тот же остаток при делении на 3.

—ледовательно, отношение : Ђчисла х и у имеют один и тот же остаток при делении на 3ї €вл€етс€ отношением эквивалентности, и поэтому оно разбивает множество N 0 на классы. Ёти классы называютс€ классами вычетов по модулю 3.

[0] Ц так обозначаетс€ класс чисел, дающих при делении на 3 остаток 0, т.е. [0] = {0, 3, 6, 9, 12 Е}, или [0] = {3 k }, где k Î N 0.

[1] Ц так обозначаетс€ класс чисел, дающих при делении на 3 остаток 1, т.е. [1] = {1, 4, 7, 10, 13 Е}, или [1] = {3 k + 1};

[2] Ц так обозначаетс€ класс чисел, дающих при делении на 3 остаток 2, т.е. [2] = {2, 5, 8, 11, 14 Е}, или [2] = {3 k + 2}.

»так, отношение разбивает множество N 0 на 3 класса, и вообще, можно доказать, что отношение Ђчисла х и у имеют один и тот же остаток при делении на mї разбивает это множество на m классов.

ѕ р и м е р 2. Ќа множестве N Ц натуральных чисел задано отношение следующим образом: (х 1, у 1) (х 2, у 2) .

”становим, что €вл€етс€ отношением эквивалентности и определим классы эквивалентности, определ€емые этим отношением.

ƒействительно, это отношение:

а) рефлексивно, поскольку дл€ любых пар (х, у) имеет место
ху = ух;

б) симметрично, поскольку дл€ любых двух пар натуральных чисел (х 1, у 1) и (х 2, у 2), если х 1 у 2 = у 1 х 2, то х 2 у 1 = у 2 х 1;

в) транзитивно, поскольку дл€ любых трех пар (х 1, у 1), (х 2, у 2), (х 3, у 3), если х 1 у 2 = у 1 х 2 и х 2 у 3 = у 2 х 3, то х 1 у 2 х 2 у 3 = у 1 х 2 у 2 х 3, т.е. х 1 у 3 = у 1 х 3.

“аким образом, отношение разбивает множество N на классы эквивалентности.  аждый из этих классов называетс€ рациональным числом.

Ќапример, пары (1, 2), (2, 4), (3, 6) принадлежат одному классу {(1, 2), (2, 4), (3, 6), Е}. ћожно этот класс определить следующим образом , т.е. как множество пар, эквивалентных паре (1, 2). ќбычно эти пары записывают так: и называют дроб€ми, а эквивалентность пар называют равенством дробей. ƒл€ упрощени€ замен€ют класс эквивалентности каким-нибудь его элементом (представителем), чаще всего наиболее простым (несократимой дробью), называ€ его рациональным числом. “акое упрощение допустимо, так как рациональное число, как класс эквивалентности, однозначно определ€етс€ любым элементом этого класса, а операции над рациональными числами, как над классами пар, определ€ютс€ через операции над представител€ми этих классов таким образом, что результаты этих операций не завис€т от выбора представителей.

 ак видно, дробь Ц форма выражени€ числа, при этом бесконечное множество дробей, составл€ющих один класс эквивалентности по отношению P на N, выражает одно число, которое может оказатьс€ целым или дробным положительным числом, т.е. одно рациональное число.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-18; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 5102 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

ѕобеда - это еще не все, все - это посто€нное желание побеждать. © ¬инс Ћомбарди
==> читать все изречени€...

507 - | 531 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.008 с.